Với giải Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1 Cánh diều chi tiết trong Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$;

b) $cos\alpha =-\frac{2}{3}$ với $-\pi <\alpha <0$ ;

c) tanα = 3 với ‒π < α < 0;

d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Lời giải:

a) Do $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên cosα < 0.

Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1, ta có:

${\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2+co{s}^2\alpha =1$

$\Rightarrow co{s}^2\alpha =1-{\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2=1-\frac{15}{16}=\frac{1}{16}$

$\Rightarrow cos\alpha =-\frac{1}{4}$ (do cosα < 0).

Ta có: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}}=-\sqrt{15}$ ;

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\sqrt{15}}=-\frac{\sqrt{15}}{15}$ .

Vậy $cos\alpha =-\frac{1}{4}$ ; $\tan \alpha =-\sqrt{15}$ và $\cot \alpha =-\frac{\sqrt{15}}{15}$.

b) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0.

Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1, ta có:

${\sin }^2\alpha +{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=1$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha =1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$.

$\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$ (do sinα < 0).

Ta có: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$;

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{15}}{15}$.

Vậy $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$ ; $\tan \alpha =\frac{\sqrt{15}}{2}$ và $\cot \alpha =\frac{2\sqrt{15}}{15}$.

c) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0 và cosα > 0.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$.

Áp dụng công thức $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$, ta có

$1+3^2=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ hay$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=10$

$\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$ (do cosα > 0).

Áp dụng công thức $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ , ta có:

$1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$hay $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=\frac{10}{9}$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{9}{10}\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{3}{\sqrt{10}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$ (do sinα < 0).

Vậy $\sin \alpha -\frac{3\sqrt{10}}{10}$ ; $\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$; $\cot \alpha =\frac{1}{3}$.

Sơ đồ tư duy Gía trị lượng giác của góc lượng giác