Với giải Bài 3 trang 15 Toán 11 Tập 1 Cánh diều chi tiết trong Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 3 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:

a) $\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$;

b) kπ (k ∈ ℤ);

c) $\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$;

d) $\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Lời giải:

a) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$:

•$cos\left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=cos\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ ;

• $\sin \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

• $\tan \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$;

• $\cot \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\cot \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác kπ (k ∈ ℤ):

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

• cos(kπ) = cos(2nπ) = cos0 = 1;

• sin(kπ) = sin(2nπ) = sin0 = 0;

• tan(kπ) = tan(2nπ) = tan0 = 0;

• Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

• cos(kπ) = cos(2nπ + π) = cosπ = ‒1.

• sin(kπ) = sin(2nπ + π) = sinπ = 0.

• tan(kπ) = tan(2nπ + π) = tanπ = 0.

• Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

Vậy với k ∈ ℤ thì sin(kπ) = 0; tan(kπ) = 0; cot(kπ) không xác định;

cos(kπ) = 1 khi k là số nguyên chẵn và cos(kπ) = ‒1 khi k là số nguyên lẻ.

c) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$:

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

• $cos\left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=cos\left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)=cos\frac{\pi }{2}=0$;

•$\sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)=\sin \frac{\pi }{2}=1$;

• Do $cos\left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0$ nên $\tan \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ không xác định;

• $\cot \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)=\cot \frac{\pi }{2}=0$.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

•$cos\left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=cos\left(\frac{\pi }{2}+2n\pi +\pi \right)=cos\left(\frac{\pi }{2}+\pi \right)=-cos\frac{\pi }{2}=0$ ;

• $\sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi +\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+\pi \right)=-\sin \frac{\pi }{2}=-1$;

• Do $cos\left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0$ nên $\tan \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ không xác định;

•$\cot \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi +\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{2}+\pi \right)=\cot \frac{\pi }{2}=0$.

Vậy với k ∈ ℤ thì $cos\left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0$;$\cot \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0;$

$\tan \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ không xác định;

$\sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=1$ khi k là số chẵn và $\sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=-1$ khi k là số lẻ.

d) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ :

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

•$cos\left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=cos\left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=cos\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

• $\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

• $\tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\tan \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\tan \frac{\pi }{4}=1$;

• $\cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\cot \frac{\pi }{4}=1$.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

• $cos\left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=cos\left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=cos\left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=-cos\frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

• $\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=-\sin \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

• $\tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\tan \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=\tan \left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=\tan \frac{\pi }{4}=1$;

• $\cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=\cot \frac{\pi }{4}=1$.

Vậy với k ∈ ℤ thì:

$cos\left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi k là số nguyên chẵn, $cos\left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi k là số nguyên lẻ;

$\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi k là số nguyên chẵn, $\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi k là số nguyên lẻ;

$\tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1$; $\cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1$.

Sơ đồ tư duy Gía trị lượng giác của góc lượng giác