Sách bài tập Toán 7 Bài 7 (Cánh diều): Tam giác cân

Van Anh Ngày: 23-09-2024 Lớp 7

3.1 K

Với giải sách bài tập Toán 7 Bài 7: Tam giác cân sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 7. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 7 Bài 7: Tam giác cân

Giải SBT Toán 7 trang 83 Tập 2

Bài 43 trang 83 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tìm các tam giác cân trên Hình 35. Kể tên các cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đáy, góc ở đỉnh của mỗi tam giác cân đó.

Tìm các tam giác cân trên Hình 35. Kể tên các cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đáyv

Lời giải:

Ta có:

Tên tam giác cân	Cạnh bên	Cạnh đáy	Góc ở đáy	Góc ở đỉnh
∆ADE (Do AD = AE = 2)	AD, AE	DE	$\hat{A D E}, \hat{A E D}$	$\hat{D A E}$
∆ABC (Do AB = AC = 4)	AB, AC	BC	$\hat{A B C}, \hat{A C B}$	$\hat{B A C}$
∆AHC (Do AC = AH = 4)	AC, AH	CH	$\hat{A C H}, \hat{A H C}$	$\hat{H A C}$

Bài 44 trang 83 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Ở Hình 36 có AB song song cới CD, BC song song với AD. Tia phân giác của góc BAD cắt BC tại E và cắt tia DC tại F.

Ở Hình 36 có AB song song cới CD, BC song song với AD. Tia phân giác của góc BAD

a) Chứng minh các tam giác ABE, CEF, DAF là các tam giác cân.

b) Tính số đo mỗi góc của tam giác ADF, biết $\hat{B A D} = 60 °$ .

Lời giải:

a) • Vì AE là tia phân giác của $\hat{B A D}$ nên $\hat{B A E} = \hat{E A D}$ .

Vì BC // AD nên $\hat{B E A} = \hat{E A D}$ (hai góc so le trong)

Do đó $\hat{B A E} = \hat{B E A}$ .

Suy ra tam giác ABE cân tại B.

• Vì AB // CD nên $\hat{B A E} = \hat{F}$ (hai góc so le trong).

Mà $\hat{B A E} = \hat{B E A}$ (chứng minh trên), $\hat{C E F} = \hat{B E A}$ (hai góc đối đỉnh).

Suy ra $\hat{C E F} = \hat{F}$ .

Nên tam giác CEF cân tại C.

• Ta có $\hat{B A F} = \hat{DAF}$ và $\hat{B A F} = \hat{D F A}$ nên $\hat{D A F} = \hat{D F A}$ .

Do đó tam giác DAF cân tại D.

Vậy ∆ABE cân tại B, ∆CEF cân tại C, ∆DAF cân tại D.

b) Vì AB // CD nên $\hat{B A D} + \hat{A D F} = 180 °$ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra $\hat{A D F} = 180 ° - \hat{B A D} = 180 ° - 60 ° = 120 °$

Xét ∆ADF có $\hat{A D F} + \hat{D F A} + \hat{D A F} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác).

Mà $\hat{A D F} = 120 °$ , $\hat{D A F} = \hat{D F A}$ .

Nên $\hat{D A F} = \hat{D F A} = \frac{180 ° - \hat{A D F}}{2} = \frac{180 ° - 120 °}{2} = 30 °$ .

Vậy $\hat{D A F} = \hat{D F A} = 30 °, \hat{F D A} = 120 ° .$

Bài 45 trang 83 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có $\hat{B A C} = 56 °$ . Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho AC = CM. Tính số đo mỗi góc của tam giác ABM.

Cho tam giác ABC cân tại A có góc BAC = 56 độ. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho AC = CM

Lời giải:

• Vì tam giác ABC cân tại A nên $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ (hai góc ở đáy).

Xét tam giác ABC có $\hat{A B C} + \hat{A C B} + \hat{B A C} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Do đó $\hat{A B C} = \hat{A C B} = \frac{180 ° - \hat{B A C}}{2} = \frac{180 ° - 56 °}{2} = 62 °$ .

• Ta có $\hat{A C B} + \hat{A C M} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\hat{A C M} = 180 ° - \hat{A C B} = 180 ° - 62 ° = 118 °$ .

• Vì AC = CM (giả thiết) nên tam giác ACM cân tại C.

Suy ra $\hat{C A M} = \hat{C M A}$ (hai góc ở đáy).

Xét ∆AMC có: $\hat{A M C} + \hat{A C M} + \hat{M A C} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác).

Do đó $\hat{C A M} = \hat{C M A} = \frac{180 ° - \hat{A C M}}{2} = \frac{180 ° - 118 °}{2} = 31 °$ .

Ta có $\hat{B A M} = \hat{B A C} + \hat{C A M} = 56 ° + 31 ° = 87 °$ .

Vậy $\hat{B A M} = 87 °, \hat{A B M} = 62 °, \hat{A M B} = 31 ° .$

Bài 46 trang 83 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC. Tính số đo góc BAC, biết IA = IB = IC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC. Tính số đo góc BAC, biết IA = IB = IC

• Vì IA = IB nên tam giác IAB cân tại I.

Suy ra $\hat{I B A} = \hat{I A B}$

• Vì IA = IC nên tam giác IAC cân tại I.

Suy ra $\hat{I A C} = \hat{I C A}$

Xét ∆ABC có: $\hat{B A C} + \hat{C B A} + \hat{B C A} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác).

Hay $\hat{B A C} + \hat{I A B} + \hat{I A C} = 2 \hat{B A C} = 180 °$

Do đó $\hat{B A C} = 90 °$

Vậy $\hat{B A C} = 90 °$ .

Bài 47 trang 83 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác MNP cân tại P. Lấy điểm A trên cạnh PM, điểm B trên cạnh PN sao cho PA = PB. Gọi O là giao điểm của NA và MB. Chứng minh tam giác OMN là tam giác cân.

Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC. Tính số đo góc BAC, biết IA = IB = IC

Lời giải:

Vì ∆MNP cân tại P nên ta có:

PM = PN (hai cạnh bên), $\hat{P M N} = \hat{P N M}$ (hai góc ở đáy).

Ta có PM = PA + AM, PN = PB + BN.

Mà PM = PN (chứng minh trên), PA = PB (giả thiết).

Suy ra AM = BN.

Xét ∆AMN và ∆BNM có:

AM = BN (chứng minh trên),

MN là cạnh chung,

$\hat{A M N} = \hat{B N M}$ (do $\hat{P M N} = \hat{P N M}$ )

Do đó ∆AMN = ∆BNM (c.g.c).

Suy ra $\hat{A N M} = \hat{B M N}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\hat{O N M} = \hat{O M N}$

Do đó tam giác ONM cân tại O.

Vậy tam giác OMN là tam giác cân tại O.

Bài 48 trang 83 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có $\hat{B A C} = 120 °$ . Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho BD = BA, CE = CA.

a) Chứng minh các tam giác BAD, CAE, AED là các tam giác cân.

b) Tính số đo mỗi góc của tam giác ADE.

Lời giải:

Cho tam giác ABC cân tại A có góc BAC = 120 độ. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E

a) Vì BD = BA (giả thiết) nên tam giác ABD cân tại B.

Suy ra $\hat{B A D} = \hat{B D A}$ (hai góc ở đáy).

Vì CE = CA (giả thiết) nên tam giác ACE cân tại C.

Suy ra $\hat{C A E} = \hat{C E A}$ (hai góc ở đáy).

Vì tam giác ABC cân tại A nên $\hat{A B C} = \hat{A C B}$

• Xét ∆ABC có: $\hat{B A C} + \hat{C B A} + \hat{B C A} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\hat{B A C} = 120 °$ (giả thiết), $\hat{A B C} = \hat{A C B}$

Suy ra $\hat{A B C} = \hat{A C B} = \frac{180 ° - \hat{B A C}}{2} = \frac{180 ° - 120 °}{2} = 30 °$ .

• Xét ∆ABD có: $\hat{B A D} + \hat{D B A} + \hat{B D A} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\hat{A B D} = 30 °$ , $\hat{B A D} = \hat{B D A}$

Suy ra $\hat{A D B} = \frac{180 ° - \hat{A B D}}{2} = \frac{180 ° - 30 °}{2} = 75 °$ .

• Xét ∆ACE có: $\hat{A C E} + \hat{A E C} + \hat{C A E} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\hat{A C E} = 30 °$ , $\hat{C A E} = \hat{C E A}$

Suy ra $\hat{A E C} = \frac{180 ° - \hat{A C E}}{2} = \frac{180 ° - 30 °}{2} = 75 °$ .

Xét tam giác ADE có $\hat{A D E} = \hat{A E D}$ (cùng bằng 75°).

Suy ra tam giác AED cân tại A.

Vậy ∆ABD cân tại B, ∆ACE cân tại C và ∆AED cân tại A.

b) Xét ∆ADE có: $\hat{A D E} + \hat{A E D} + \hat{D A E} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\hat{D A E} = 180 ° - \hat{A D E} - \hat{A E D} = 180 ° - 75 ° - 75 ° = 30 °$ .

Vậy ∆ADE có $\hat{A D E} = \hat{A E D} = 75 °, \hat{E A D} = 30 ° .$

Bài 49 trang 83 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho Hình 37 có AB = AC = BC = BD = CE, $\hat{A B D} = \hat{A C E} = 90 °$ .

Cho Hình 37 có AB = AC = BC = BD = CE, góc ABD = góc ACE = 90 độ

a) Chứng minh tam giác AED là tam giác cân.

b) Tính số đo các góc của tam giác ADE.

c) Chứng minh DC = BE.

Lời giải:

a) Xét ∆ABD và ∆ACE có:

$\hat{A B D} = \hat{A C E} = 90 °$ (giả thiết),

AB = AC (giả thiết),

BD = CE (giả thiết).

Do đó ∆ABD = ∆ACE (hai cạnh góc vuông)

Suy ra AD = AE (hai cạnh tương ứng).

Nên tam giác AED cân tại A.

Vậy tam giác AED cân tại A.

b) • Vì AB = AC = BC (giả thiết) nên tam giác ABC đều.

Suy ra $\hat{A B C} = \hat{A C B} = \hat{B A C} = 60 °$ .

Vì AC = CE , $\hat{A C E} = 90 °$ (giả thiết) nên tam giác ACE vuông cân tại C.

Suy ra $\hat{C E A} = \hat{C A E} = \frac{180 ° - 90 °}{2} = 45 °$ .

Vì AB = BD , $\hat{A B D} = 90 °$ (giả thiết) nên tam giác ABD vuông cân tại B.

Suy ra $\hat{B A D} = \hat{B D A} = \frac{180 ° - 90 °}{2} = 45 °$ .

Ta có $\hat{D A E} = \hat{D A B} + \hat{B A C} + \hat{C A E} = 45 ° + 60 ° + 45 ° = 150 °$ .

• Vì tam giác AED cân tại A nên $\hat{A D E} = \hat{A E D}$

Xét ∆ADE có: $\hat{A D E} + \hat{A E D} + \hat{D A E} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\hat{E A D} = 150 °$ , $\hat{A D E} = \hat{A E D}$

Suy ra $\hat{A D E} = \hat{A E D} = \frac{180 ° - 150 °}{2} = 15 °$ .

Vậy ∆ADE có $\hat{A D E} = \hat{A E D} = 15 °, \hat{E A D} = 150 °$ .

c) Ta có $\hat{D B C} = \hat{A B C} + \hat{A B D} = 60 ° + 90 ° = 150 °$ .

$\hat{B C E} = \hat{A C B} + \hat{A C E} = 60 ° + 90 ° = 150 °$ .

Xét ∆CBD và ∆BCE có:

BC là cạnh chung,

$\hat{D B C} = \hat{B C E}$ (cùng bằng 150°),

BD = CE (giả thiết),

Do đó ∆BDC = ∆CEB (c.g.c).

Suy ra DC = EB (hai cạnh tương ứng)

Vậy DC = BE.

Giải SBT Toán 7 trang 84 Tập 2

Bài 50 trang 84 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác đều ABC. Gọi E, D, F là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, AC, BC sao cho AD = CF = BE. Chứng minh tam giác DEF là tam giác đều.

Lời giải:

Vì tam giác ABC đều (giả thiết)

Nên AB = BC = AC và $\hat{A B C} = \hat{B A C} = \hat{A C B} = 60 °$ .

Ta có AB = AE + BE, AC = AD + DC, BC = BF + FC

Mà AB = BC = AC, AD = CF = BE.

Suy ra AE = BF = CD.

• Xét ∆ADE và ∆BEF có:

AD = BE (giả thiết),

$\hat{D A E} = \hat{F B E}$ (cùng bằng 60°),

AE = BF (chứng minh trên).

Do đó ∆ADE = ∆BEF (c.g.c).

Suy ra DE = EF (hai cạnh tương ứng) (1)

• Xét ∆CFD và ∆BEF có:

CF = BE (giả thiết),

$\hat{F C D} = \hat{E B F}$ (cùng bằng 60°),

CD = BF (chứng minh trên).

Do đó ∆CFD = ∆BEF (c.g.c).

Suy ra FD = EF (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE = EF = FD.

Do đó tam giác DFE đều.

Vậy tam giác DEF là tam giác đều.

Bài 51 trang 84 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Gọi O là giao điểm của DE và BC. Biết OD = OE. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Lời giải:

Cho tam giác ABC. Trên cạnh BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD

Qua D vẽ DK // AC (K ∈ BC) nên $\hat{K D O} = \hat{O E C}$ (hai góc so le trong).

Xét DOKD và DOCE có:

$\hat{K D O} = \hat{O E C}$ (chứng minh trên),

OD = OE (giả thiết),

$\hat{D O K} = \hat{E O C}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆OKD = ∆OCE (g.c.g).

Suy ra KD = CE (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác BD = CE suy ra DB = DK hay tam giác DBK cân tại D.

Suy ra $\hat{D B K} = \hat{D K B}$ (1)

Do DK // AC nên $\hat{D K B} = \hat{A C B}$ (hai góc đồng vị) (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ .

Suy ra tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại A.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

SBT Toán 7 Bài 6 : Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc

SBT Toán 7 Bài 7 : Tam giác cân

SBT Toán 7 Bài 8 : Đường vuông góc và đường xiên

SBT Toán 7 Bài 9 : Đường trung trực của một đoạn thẳng

SBT Toán 7 Bài 10 : Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Lý thuyết Tam giác cân

1. Định nghĩa

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Tam giác cân (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Khi đó, ta gọi:

• Tam giác ABC là tam giác cân tại A;

• AB, AC là các cạnh bên và BC là cạnh đáy;

• $\hat{B}, \hat{C}$ là các góc ở đáy và $\hat{A}$ là góc ở đỉnh.

Ví dụ: Tam giác DEF như hình vẽ.

Tam giác cân (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Tam giác DEF là tam giác cân không? Vì sao? Nếu là tam giác cân hãy nêu các cạnh bên, cạnh đáy, các góc ở đáy và góc ở đỉnh của tam giác.

Hướng dẫn giải:

+ Quan sát hình vẽ ta thấy DE = DF = 8 cm

Xét ∆DEF ta có: DE = DF = 8 cm

Nên ∆DEF cân tại D

Vậy ∆DEF là tam giác cân tại D.

+ Tam giác DEF cân tại D có:

• DE, DF là các cạnh bên và EF là cạnh đáy;

• $\hat{E}, \hat{F}$ là các góc ở đáy và $\hat{D}$ là góc ở đỉnh.

2. Tính chất

Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

Ví dụ:

Cho ∆ABC cân tại A có $\hat{B} = \hat{C}$ (hình 2)

Tam giác cân (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Ví dụ: Cho ∆MNP có MN = MP.

a) Chứng minh $\hat{N} = \hat{P} .$

b) Giả sử $\hat{M} = 80 °$ . Tính số đo góc N và góc P.

Hướng dẫn giải

Tam giác cân (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

a) Vì ∆MNP có MN = MP nên ∆MNP cân tại M

Do đó $\hat{N} = \hat{P}$ (tính chất tam giác cân)

Vậy $\hat{N} = \hat{P}$

b) ∆MNP có $\hat{M} + \hat{N} + \hat{P} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Mà $\hat{M} = 80 °$ nên ta có: $80 ° + \hat{N} + \hat{P} = 180 °$

Hay $\hat{N} + \hat{P} = 180 ° - 80 ° = 100 °$ (1)

Theo phần a ta có: $\hat{N} = \hat{P}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\hat{N} = \hat{P} = \frac{100 °}{2} = 50 °$

Vậy $\hat{N} = \hat{P} = 50 ° .$

Chú ý:

+ Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

+ Trong tam giác vuông cân, mỗi góc ở đáy bằng 45°.

Ví dụ:

∆ABC vuông cân tại A (hình vẽ bên dưới) có: $\{\begin{matrix} AB = AC \\ \hat{B} = \hat{C} = 45 ° \end{matrix}$

Tam giác cân (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

3. Dấu hiệu nhận biết

– Nếu một tam giác có hai cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

– Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Chú ý:

+ Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều.

+ Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.

Ví dụ: Cho tam giác ABC như hình vẽ dưới đây.

Tam giác cân (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Chứng minh tam giác ABC cân tại A.

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABC có: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Hay $120 ° + 30 ° + \hat{C} = 180 °$

Suy ra: $\hat{C} = 180 ° - 120 ° - 30 ° = 30 °$

Xét ∆ABC có $\hat{B} = \hat{C} = 30 °$

Do đó ∆ABC cân tại A (dấu hiệu nhận biết)

Vậy ∆ABC cân tại A.

Ví dụ: Cho tam giác DEF có DE = DF.

a) Chứng minh: ∆DEF cân tại D.

b) Giả sử $\hat{D} = 60 °$ . Chứng minh: ∆DEF là tam giác đều.

Hướng dẫn giải:

a) Vì ∆DEF có DE = DF nên ∆DEF cân tại D

Vậy ∆DEF cân tại D.

b) Theo phần a ta có: ∆DEF cân tại D

Lại có $\hat{D} = 60 °$

Do đó tam giác DEF là tam giác đều.

4. Vẽ tam giác cân

Ví dụ: Dùng thước thẳng (có chia đơn vị) và compa vẽ tam giác HEG cân tại H có cạnh bên HE = HG = a

Để vẽ tam giác HEG, ta làm theo các bước:

– Bước 1: Vẽ đoạn thẳng EG.

Tam giác cân (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

– Bước 2: Vẽ cung tròn tâm E bán kính a và cung tròn tâm G bán kính a. Hai cung tròn cắt nhau tại H.

Tam giác cân (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

– Bước 3: Vẽ các đoạn HE, HG. Ta nhận được tam giác HEG cân tại H.

Tam giác cân (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Từ khóa :

toán 7 Giải sách bài tập tam giác cân

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 4

Vở bài tập Toán lớp 4 Tập 1 trang 58 Bài 17: Yến, tạ, tấn | Kết nối tri thức Lữ Ngọc My My

Toán Lớp 4

Vở bài tập Toán lớp 4 Tập 1 trang 57 Bài 17: Yến, tạ, tấn | Kết nối tri thức Lữ Ngọc My My

Toán Lớp 4

Vở bài tập Toán lớp 4 Tập 1 trang 56 Bài 16: Luyện tập chung trang 53 | Kết nối tri thức Lữ Ngọc My My

Toán Lớp 4

Vở bài tập Toán lớp 4 Tập 1 trang 55 Bài 16: Luyện tập chung trang 53 | Kết nối tri thức Lữ Ngọc My My

Tìm kiếm