Sách bài tập Toán 7 Bài 6 (Cánh diều): Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh

Sách bài tập Toán 7 Bài 6 (Cánh diều): Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc

Van Anh Ngày: 23-09-2024 Lớp 7

2.5 K

Với giải sách bài tập Toán 7 Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 7. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 7 Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc

Giải SBT Toán 7 trang 81 Tập 2

Bài 37 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Nêu thêm một điều kiện để hai tam giác trong mỗi hình 31a, 31b, 31c, 31d là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc.

Nêu thêm một điều kiện để hai tam giác trong mỗi hình 31a, 31b, 31c, 31d là hai tam giác

a) ∆CAB = ∆DBA (Hình 31a).

b) ∆NRQ = ∆RNP (Hình 31b).

c) ∆OAC = ∆OBD (Hình 31c).

d) ∆SRQ = ∆IKH (Hình 31d).

Lời giải:

Nêu thêm một điều kiện để hai tam giác trong mỗi hình 31a, 31b, 31c, 31d là hai tam giác

Để ∆CAB = ∆DBA theo trường hợp góc – cạnh – góc thì một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia.

Mà hai tam giác trên có cạnh AB là cạnh chung và $\hat{C A B} = \hat{D B A} (= 90 °)$ .

Mặt khác, trong ∆CAB thì cạnh AB có hai góc kề là $\hat{C A B}$ và $\hat{A B C}$ ;

Trong ∆DBA thì cạnh AB có hai góc kề là $\hat{D B A}$ và $\hat{B A D}$ .

Do đó điều kiện còn lại là điều kiện về góc, đó là $\hat{A B C} = \hat{B A D}$ .

Vậy Hình 31a cần thêm điều kiện $\hat{A B C} = \hat{B A D}$ .

Nêu thêm một điều kiện để hai tam giác trong mỗi hình 31a, 31b, 31c, 31d là hai tam giác

Để∆NRQ = ∆RNP theo trường hợp góc – cạnh – góc thì một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia.

Mà hai tam giác trên có cạnh NR là cạnh chung và $\hat{P N R} = \hat{QRN} (= 40 °)$ .

Mặt khác, trong ∆NRQ, cạnh NR có hai góc kề là $\hat{P N R}$ và $\hat{P R N}$ ;

Trong ∆RNP, cạnh NR có hai góc kề là $\hat{Q R N}$ và $\hat{Q N R}$ .

Do đó điều kiện còn lại là điều kiện về góc, đó là $\hat{P R N} = \hat{Q N R} .$

Vậy Hình 31b cần thêm điều kiện $\hat{P R N} = \hat{Q N R} .$

Nêu thêm một điều kiện để hai tam giác trong mỗi hình 31a, 31b, 31c, 31d là hai tam giác

Để∆OAC = ∆OBD theo trường hợp góc – cạnh – góc thì một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia.

Mà hai tam giác trên có OA = OB và $\hat{O}$ là góc chung.

Mặt khác, trong ∆OAC, cạnh OA có hai góc kề là $\hat{O}$ và $\hat{O A C}$ ;

Trong ∆OBD, cạnh OB có hai góc kề là $\hat{O}$ và $\hat{O B D}$ .

Do đó điều kiện còn lại là điều kiện về góc, đó là $\hat{O A C} = \hat{O B D}$ .

Vậy Hình 31c cần thêm điều kiện $\hat{O A C} = \hat{O B D}$ .

Nêu thêm một điều kiện để hai tam giác trong mỗi hình 31a, 31b, 31c, 31d là hai tam giác

Để∆SRQ = ∆IKH theo trường hợp góc – cạnh – góc thì một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia.

Mà hai tam giác này có $\hat{Q} = \hat{H} (= 50 °)$ và $\hat{S} = \hat{I} (= 100 °)$

Mặt khác, trong ∆SRQ, $\hat{Q}$ và $\hat{S}$ là hai góc kề của cạnh QS;

Trong ∆IKH, $\hat{H}$ và $\hat{I}$ là hai góc kề của cạnh HI.

Do đó điều kiện còn lại là điều kiện về cạnh, đó là QS = HI.

Vậy Hình 31d cần thêm điều kiện QS = HI.

Bài 38 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho ∆ABC = ∆A’B’C’. Vẽ AH vuông góc với BC tại H, A’H’ vuông góc với B’C’ tại H’. Chứng minh AH = A’H’.

Lời giải:

Cho tam giác ABC = tam giác A’B’C’. Vẽ AH vuông góc với BC tại H, A’H’ vuông góc với B’C’ tại H’

Do ∆ABC = ∆A’B’C’ (giả thiết)

Nên AB = A’B’ (hai cạnh tương ứng) và (hai góc tương ứng).

Xét ∆ABH và ∆AB’H’ có:

$\hat{A H B} = \hat{A' H' B'} (= 90 °)$ ,

AB = A’B’ (chứng minh trên),

$\hat{A B H} = \hat{A' B' H'}$ (do $\hat{A B C} = \hat{A' B' C'}$ )

Suy ra ∆ABH = ∆A’B’H’ (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó AH = A’H’ (hai cạnh tương ứng).

Vậy AH = A’H’.

Bài 39 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ CM vuông góc với AB tại M, BN vuông góc với AC tại N. Chứng minh AM = AN.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ CM vuông góc với AB tại M

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

AB = AC (giả thiết),

BD = CD (do D là trung điểm của BC),

AD là cạnh chung

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c).

Suy ra $\hat{A B D} = \hat{A C D}$ hay $\hat{M B C} = \hat{N C B}$ .

Xét ∆BMC và ∆CNB có:

$\hat{B M C} = \hat{C N B} (= 90 °)$ ,

BC là cạnh chung,

$\hat{M B C} = \hat{N C B}$ (chứng minh trên),

Do đó ∆BMC và ∆CNB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BM = CN (hai cạnh tương ứng).

Ta có AB = AM + MB, AC = AN + NC.

Mà AB = AC, BM = CN.

Suy ra AM = AN.

Vậy AM = AN.

Bài 40 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho Hình 32 có $\hat{B A C} = 90 °$ , AH vuông góc với BC tại H, $\hat{x A B} = \hat{B A H}$ , Ay là tia đối của tia Ax. BD và CE vuông góc với xy lần lượt tại D và E. Chứng minh:

a) AC là tia phân giác của góc Hay;

b) BD + CE = BC;

c) DH vuông góc với HE.

Cho Hình 32 có góc BAC = 90 độ, AH vuông góc với BC tại H, góc xAB = góc BAH, Ay là tia đối của tia Ax

Lời giải:

Cho Hình 32 có góc BAC = 90 độ, AH vuông góc với BC tại H, góc xAB = góc BAH, Ay là tia đối của tia Ax

a) •Ta có $\hat{x A y} = \hat{x A B} + \hat{B A C} + \hat{C A y}$

Hay $180 ° = \hat{x A B} + 90 ° + \hat{C A y}$

Suy ra $\hat{C A y} = 90 ° - \hat{x A B}$

•Ta có $\hat{B A H} + \hat{C A H} = \hat{B A C} = 90 °$

Nên $\hat{C A H} = 90 ° - \hat{B A H}$

Mà $\hat{x A B} = \hat{B A H}$ (giả thiết)

Suy ra $\hat{C A H} = \hat{C A y}$

Do đó AC là tia phân giác của $\hat{H A y}$

Vậy AC là tia phân giác của $\hat{H A y}$ .

b)• Xét ∆ABD và ∆ABH có:

$\hat{A D B} = \hat{A H B} (= 90 °)$ ,

AB là cạnh chung,

$\hat{D A B} = \hat{H A B}$ (giả thiết),

Do đó ∆ABD = ∆ABH (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BD = BH , AD = AH (các cặp cạnh tương ứng).

• Xét ∆ACE và ∆ACH có:

$\hat{A E C} = \hat{A H C} (= 90 °)$ ,

AC là cạnh chung,

$\hat{C A H} = \hat{C A E}$ (chứng minh câu a),

Do đó ∆ACE = ∆ACH (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CE = CH, AE = AH (các cặp cạnh tương ứng).

•Ta có BC = BH + CH

Mà BD = BH, CE = CH.

Do đó BC = BD + CE.

Vậy BC = BD + CE.

c) Gọi I là giao điểm của AB và DH, K là giao điểm của EH và AC.

• Xét ∆ADI và ∆AHI có:

AD = AH (chứng minh câu b),

$\hat{D A I} = \hat{H A I}$ (do $\hat{x A B} = \hat{B A H}$ ),

AI là cạnh chung.

Do đó ∆ADI = ∆AHI (c.g.c).

Suy ra $\hat{A D I} = \hat{A H I}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\hat{A D H} = \hat{A H D}$ .

• Xét ∆AHK và ∆AEK có:

AH = AE (chứng minh câu b),

$\hat{H A K} = \hat{E A K}$ (do $\hat{H A C} = \hat{E A C}$ ),

AK là cạnh chung

Do đó ∆AHK = ∆AEK (c.g.c)

Suy ra $\hat{A H K} = \hat{A E K}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\hat{A H E} = \hat{A E H}$ .

Xét ∆ADH có: $\hat{A D H} + \hat{A H D} + \hat{H A D} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác).

Mà $\hat{A D H} = \hat{A H D}$ nên $\hat{A H D} = \frac{180 ° - \hat{H A D}}{2}$

Xét ∆AEH có: $\hat{A E H} + \hat{A H E} + \hat{H A E} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\hat{A H E} = \hat{A E H}$ nên $\hat{A H E} = \frac{180 ° - \hat{H A E}}{2}$

Ta có

$\hat{D H E} = \hat{A H D} + \hat{A H E} = \frac{180 ° - \hat{H A D}}{2} + \frac{180 ° - \hat{H A E}}{2}$

$= \frac{360 ° - (\hat{H A D} + \hat{H A E})}{2} = \frac{360 ° - 180 °}{2} = 90 °$

Suy ra DH ⊥ HE.

Vậy DH ⊥ HE.

Bài 41 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và $\hat{A} = 60 ° .$ Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D, tia phân giác của góc ACB cắt AB tại E. BD cắt CE tại I. Tia phân giác của góc BIC cắt BC tại F. Chứng minh:

a) $\hat{B I C} = 120 °$ ;

b) ∆BEI = ∆BFI;

c) BC = BE + CD.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và góc A = 60 độ. Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D

a) Vì BD là phân giác của góc ABC nên $\hat{A B D} = \hat{C B D} = \frac{\hat{A B C}}{2}$ .

Vì CE là phân giác của góc ACB nên $\hat{A C E} = \hat{E C B} = \frac{\hat{A C B}}{2}$ .

Xét ∆ABC có: $\hat{A} + \hat{A B C} + \hat{A C B} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\hat{A B C} + \hat{A C B} = 180 ° - \hat{A} = 180 ° - 60 ° = 120 °$

Xét ∆IBC có: $\hat{B I C} + \hat{I B C} + \hat{I C B} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Hay $\hat{B I C} + \frac{\hat{A B C}}{2} + \frac{\hat{A C B}}{2} = 180 °$

Suy ra $\hat{B I C} = 180 ° - \frac{\hat{A B C} + \hat{A C B}}{2} = 180 ° - \frac{120 °}{2} = 120 °$

Vậy $\hat{B I C} = 120 ° .$

b) Vì IF là phân giác của góc BIC nên $\hat{B I F} = \hat{C I F} = \frac{\hat{B I C}}{2} = \frac{120 °}{2} = 60 °$

Ta có $\hat{B I C} + \hat{B I E} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\hat{B I E} = 180 ° - \hat{B I C} = 180 ° - 120 ° = 60 °$

Xét ∆BEI và ∆BFI có:

$\hat{E B I} = \hat{F B I}$ (chứng minh câu a),

BI là cạnh chung,

$\hat{E I B} = \hat{F I B}$ (cùng bằng 60°),

Do đó ∆BEI = ∆BFI (g.c.g).

Vậy ∆BEI = ∆BFI.

c) Do ∆BEI = ∆BFI (câu b) nên BE = BF (hai cạnh tương ứng).

Ta có $\hat{B I C} + \hat{C I D} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\hat{C I D} = 180 ° - \hat{B I C} = 180 ° - 120 ° = 60 °$ .

Xét ∆CFI và ∆CDI có:

$\hat{F C I} = \hat{D C I}$ (chứng minh câu a),

CI là cạnh chung,

$\hat{C I F} = \hat{C I D}$ (cùng bằng 60°),

Suy ra ∆CFI = ∆CDI (g.c.g).

Do đó CF = CD (hai cạnh tương ứng).

Ta có: BC = BF + FC = BE + CD.

Vậy BC = BE + CD.

Bài 42 trang 81 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 90 °$ , M là trung điểm của BC. Chứng minh BC = 2AM.

Cho tam giác ABC có góc A = 90 độ, M là trung điểm của BC. Chứng minh BC = 2AM

Lời giải:

Qua C kẻ đường thẳng d song song với AB, d cắt AM tại N.

Suy ra $\hat{A B C} = \hat{B C N}$ (hai góc so le trong).

Ta có BA ⊥ AC, d // AB.

Suy ra d ⊥ AC hay $\hat{N C A} = 90 °$ .

Xét ∆MBA và ∆MCN có:

BM = CM (vì M là trung điểm của BC),

${\hat{M}}_{1} = {\hat{M}}_{2}$ (hai góc đối đỉnh),

$\hat{A B C} = \hat{N C B}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆MBA = ∆MCN (g.c.g).

Suy ra AB = CN và AM = NM (các cặp cạnh tương ứng).

Xét ∆BAC và ∆NCA có:

AC là cạnh chung,

$\hat{B A C} = \hat{N C A}$ (cùng bằng 90^o),

AB = NC (chứng minh trên)

Do đó ∆BAC = ∆NCA (c.g.c)

Suy ra BC = NA (hai cạnh tương ứng).

Mà AM = MN, AN = AM + MN = 2AM.

Nên BC = AN = 2AM.

Vậy 2AM = BC.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

SBT Toán 7 Bài 5 : Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh - góc - cạnh

SBT Toán 7 Bài 6 : Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc

SBT Toán 7 Bài 7 : Tam giác cân

SBT Toán 7 Bài 8 : Đường vuông góc và đường xiên

SBT Toán 7 Bài 9 : Đường trung trực của một đoạn thẳng

Lý thuyết Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc

1. Trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc

– Tính chất: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu $\hat{A} = \hat{A^{'}}$ , AB = A’B’, $\hat{B} = \hat{B^{'}}$ thì DABC = DA’B’C’ (g.c.g).

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Ví dụ: Cho tam giác ABC và DEF có $\hat{B} = \hat{E}, \hat{A} = \hat{D},$ AB = ED. Biết $\hat{C} = 42 °,$ tính số đo góc F.

Hướng dẫn giải

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Xét tam giác ABC và tam giác DEF có:

$\hat{B} = \hat{E}$ (giả thiết),

AB = ED (giả thiết),

$\hat{A} = \hat{D}$ (giả thiết),

Do đó DABC = DDEF (g.c.g).

Suy ra $\hat{C} = \hat{F}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\hat{C} = 42 °$ (giả thiết), do đó $\hat{F} = 42 ° .$

Vậy $\hat{F} = 42 ° .$

Ví dụ: Cho hình vẽ sau:

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Chứng minh DAOB = DCOD.

Hướng dẫn giải

Vì $\hat{B} = \hat{D}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Nên AB // CD (dấu hiệu nhận biết)

Suy ra $\hat{A} = \hat{C}$ (hai góc so le trong).

Xét DABO và DCDO có:

$\hat{A} = \hat{C}$ (chứng minh trên),

AB = CD (giả thiết),

$\hat{B} = \hat{D}$ (giả thiết),

Do đó DAOB = DCOD (g.c.g).

Vậy DAOB = DCOD.

2. Áp dụng vào trường hợp bằng nhau về cạnh góc vuông (hoặc cạnh huyền) và góc nhọn của tam giác vuông

2.1. Trường hợp bằng nhau về cạnh góc vuông và góc nhọn của tam giác vuông

– Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu $\hat{A} = \hat{A'} = 90 °$ , AB = A’B’, $\hat{B} = \hat{B'}$ thì DABC = DA’B’C’ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Ví dụ: Cho tam giác ABC có tia phân giác AD của $\hat{BAC}$ (D ∈ BC) và AD ⊥ BC. Chứng minh AB = AC.

Hướng dẫn giải

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

$\hat{ADB} = \hat{ADC} = 90 °$ (do AD ⊥ BC),

AD là cạnh chung,

$\hat{BAD} = \hat{CAD}$ (do AD là tia phân giác của $\hat{BAC}$ ),

Do đó ∆ABD = ∆ACD (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Vậy AB = AC.

2.2. Trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông

– Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu $\hat{A} = \hat{A'} = 90 °$ , BC = B’C’, $\hat{B} = \hat{B'}$ thì DABC = DA’B’C’ (cạnh huyền – góc nhọn).

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Ví dụ: Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc đó. Gọi I là một điểm trên tia Oz (I khác O). Kẻ IM vuông góc với Ox (M ∈ Ox), IN vuông góc với Oy (N ∈ Oy). Biết độ dài đoạn thẳng IM là 2 cm, tính độ dài đoạn thẳng IN?

Hướng dẫn giải

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Xét DOIM và DOIN có:

$\hat{OMI} = \hat{ONI} = 90 °,$

$\hat{IOM} = \hat{ION}$ (do Oz là tia phân giác của $\hat{xOy}$ ),

OI là cạnh chung,

Do đó DOMI = DONI (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra IM = IN (hai cạnh tương ứng)

Mà IM = 2 cm (giả thiết)

Nên IN = 2 cm.

Vậy độ dài đoạn thẳng IN là 2 cm.

– Nhận xét: Độ dài các đoạn thẳng IM, IN gọi là khoảng cách từ điểm I lần lượt đến hai cạnh Ox, Oy của góc xOy. Như vậy ta có thể nói: Nếu một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Ví dụ: Cho góc xOy nhọn. Gọi A là một điểm nằm trong góc xOy. Kẻ AB vuông góc với Ox (B ∈ Ox), AC vuông góc với Oy (C ∈ Oy). Biết AB = AC. Chứng minh rằng điểm A nằm trên tia phân giác của góc xOy.

Hướng dẫn giải

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)