Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 2: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác chi tiết sách Toán 7 Tập 2 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7. Mời các bạn đón xem:
Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 2: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác
A. Câu hỏi trong bài
Trong hai vị trí Yên Tử và Tuần Châu, vị trí nào gần Vân Đồn hơn?
Lời giải:
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Giả sử ba vị trí Vân Đồn, Yên Tử và Tuần Châu được mô tả bởi các điểm A, B, C như hình vẽ dưới đây:
Để biết được trong hai vị trí Yên Tử và Tuần Châu, vị trí nào gần Vân Đồn hơn thì ta đi so sánh độ dài cạnh AB và độ dài cạnh AC.
Xét tam giác ABC ta có góc C là góc tù nên cạnh AB đối diện với góc C là cạnh lớn nhất.
Do đó AB > AC.
Vậy vị trí Tuần Châu gần Vân Đồn hơn.
Hoạt động 1 trang 74 Toán 7 Tập 2: Quan sát tam giác ABC ở Hình 17.
a) So sánh hai cạnh AB và AC.
b) So sánh góc B (đối diện với cạnh AC) và góc C (đối diện với cạnh AB).
Lời giải:
a) Quan sát Hình 17 ta thấy AB = 3 cm, AC = 4 cm.
Vì 3 cm < 4 cm nên AB < AC.
Vậy AB < AC.
b) Tam giác ABC là tam giác vuông tại B nên là góc nhọn nên
Do đó
Vậy
Lời giải:
Trong tam giác ABC có MN = 4 cm, NP = 5 cm, MP = 6 cm (giả thiết)
Suy ra MN < NP < MP
Do đó
Vậy trong tam giác MNP thì là góc nhỏ nhất và là góc lớn nhất.
Hoạt động 2 trang 75 Toán 7 Tập 2: Quan sát tam giác ABC ở Hình 19.
a) So sánh hai góc B và C.
b) So sánh cạnh AB (đối diện với góc C) và cạnh AC (đối diện với góc B).
Lời giải:
a) Quan sát Hình 19 ta thấy tam giác ABC là tam giác vuông tại B nên là góc nhọn nên
Do đó
Vậy
b) Quan sát hình vẽ, nếu ta coi độ dài mỗi cạnh hình vuông nhỏ trong hình bằng 1 thì:
+ Độ dài cạnh AB gấp 3 lần độ dài cạnh hình vuông nhỏ nên AB = 3;
+ Độ dài cạnh BC gấp 4 lần độ dài cạnh hình vuông nhỏ nên BC = 4.
Khi đó AB < AC.
Vậy AB < AC.
Luyện tập 2 trang 75 Toán 7 Tập 2: a) Cho tam giác DEG có góc E là góc tù. So sánh DE và DG.
b) Cho tam giác MNP có Tìm cạnh nhỏ nhất, cạnh lớn nhất của tam giác MNP.
Lời giải:
a)
Xét tam giác DEG có góc E là góc tù (giả thiết) nên cạnh DG đối diện với góc E là cạnh lớn nhất.
Do đó DG > DE.
b)
Xét tam giác MNP có (tổng ba góc trong một tam giác)
Suy ra
Hay
Ta có: 56° < 59° < 65° hay
Mặt khác: cạnh NP đối diện với góc M, cạnh MP đối diện với góc N, cạnh MN đối diện với góc P.
Suy ra NP < MN < MP
Vậy trong tam giác MNP thì cạnh NP là cạnh nhỏ nhất, cạnh MP là cạnh lớn nhất.
Lời giải
Theo em, bạn An đi từ nhà đến trường theo đường đi thứ nhất (đường thẳng từ nhà đến trường) sẽ gần hơn.
a) Hãy sử dụng thước thẳng (có chia đơn vị) để kiểm tra lại các số đo độ dài ba cạnh của tam giác ABC mà bạn Thảo đã nói.
b) So sánh AB + BC và AC.
Lời giải:
a) Dùng thước thẳng (có chia đơn vị) ta đo được AB = 3cm, BC = 2cm , AC = 4 cm.
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác ABC bạn Thảo đã nói đúng.
b) Ta có: AB + BC = 3 + 2 = 5 (cm)
Vì 5 cm > 4 cm nên AB + BC > AC.
Vậy AB + BC > AC.
Lời giải:
Xét tam giác ABC có: AB = 2 cm, BC = 4 cm (giả thiết)
Theo bất đẳng thức tam giác ta có: AB + AC > BC
Hay 2 + AC > 4 suy ra AC > 4 – 2
Do đó AC > 2 (cm)
Mà AB = 2 cm nên AC > AB.
Vậy AC > AB.
B. Bài tập
Lời giải:
Xét tam giác MNP có MN = 6 cm, NP = 8 cm, PM = 7 cm
Mà 6 cm < 7 cm < 8 cm
Nên MN < MP < NP
Lại có:
+ Cạnh MN đối diện với góc P;
+ Cạnh MP đối diện với góc N;
+ Cạnh NP đối diện với góc M.
Do đó
Vậy trong tam giác MNP thì góc P là góc nhỏ nhất và góc M là góc lớn nhất.
Lời giải:
Ta sẽ so sánh hai quãng đường đi bộ từ điểm dừng N, P đến trường, tức là so sánh NT và PT.
Xét tam giác NPT có:
+ Cạnh NT đối diện với góc P;
+ Cạnh PT đối diện với góc N.
Mà (do 50° < 70°)
Do đó NT < PT.
Vậy bạn Hoa nên xuống ở điểm dừng N để quãng đường đi bộ đến trường ngắn hơn.
Lời giải:
Quan sát Hình 23 ta có AC = 20 km, BC = 75 km.
Để sóng 4G của trạm phát sóng tại vị trí A có thể phủ đến đảo tại vị trí B thì AB ≤ 100 (km).
Xét tam giác ABC ta có: AC + BC > AB (bất đẳng thức tam giác)
Hay AB < AC + BC
AB < 20 + 75
AB < 95 < 100.
Do đó sóng 4G của trạm phát sóng tại vị trí A có thể phủ đến đảo tại vị trí B.
a) 8 cm, 5 cm, 3 cm;
b) 8 cm, 5 cm, 4 cm;
c) 8 cm, 5 cm, 2 cm.
Lời giải:
Xét các trường hợp:
- Bộ ba số đo độ dài ba cạnh 8 cm, 5 cm, 3 cm:
Ta tính tổng độ dài hai cạnh: 5 + 3 = 8 (cm)
Mà độ dài cạnh còn lại bằng 8 cm
Do đó bộ ba số đo độ dài ba cạnh 8 cm, 5 cm, 3 cm không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.
- Bộ ba số đo độ dài ba cạnh 8 cm, 5 cm, 4 cm:
Ta tính tổng độ dài hai cạnh: 5 + 4 = 9 (cm)
Mà độ dài cạnh còn lại bằng 8 cm và 9 cm > 8 cm
Do đó bộ ba số đo độ dài ba cạnh 8 cm, 5 cm, 4 cm là độ dài ba cạnh của một tam giác.
- Bộ ba số đo độ dài ba cạnh 8 cm, 5 cm, 2 cm:
Ta tính tổng độ dài hai cạnh: 5 + 2 = 7 (cm)
Mà độ dài cạnh còn lại bằng 8 cm và 7 cm < 8 cm
Do đó bộ ba số đo độ dài ba cạnh 8 cm, 5 cm, 2 cm không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Vậy trong ba trường hợp thì bộ ba số đo đọ dài của trường hợp a) và c) không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Hình 24b mô tả hình ảnh chiếc thang dựa vào tường trong Hình 24a. Bạn Huê khẳng định chân thang cách chân tường là BH = 0,5 m. Khẳng định của bạn Huê có đúng không? Vì sao?
Lời giải:
Quan sát Hình 24b ta có: AB = 4,5 cm và AH = 4 cm.
Xét tam giác ABH có: BH + AH > AB (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra BH > AB – AH
Hay BH > 4,5 – 4
Do đó BH > 0,5 (m)
Vậy khẳng định của bạn Huê là không đúng.
a) Đường dây điện xuất phát từ trạm biến áp nào đến trạm biến áp C sẽ ngắn hơn?
b) Bạn Bình ước lượng: Nếu làm cả hai đường dây điện từ A và từ B đến C thì tổng độ dài đường dây khoảng 6 200 m. Bạn Bình ước lượng có đúng không?
Lời giải:
a) Để xác định được đường dây điện xuất phát từ trạm biến áp nào đến trạm biến áp C ngắn hơn thì ta đi so sánh độ dài hai cạnh AC và BC.
Quan sát Hình 25 ta thấy trong tam giác ABC có và
Do đó (vì 60° > 45°)
Lại có:
+ Cạnh BC đối diện với góc A;
+ Cạnh AC đối diện với góc B.
Suy ra BC > AC.
Vậy đường dây điện xuất phát từ trạm biến áp A đến trạm biến áp C sẽ ngắn hơn đường dây điện xuất phát từ trạm biến áp B đến trạm biến áp C.
Sắp xếp các đoạn thẳng BA, BD, BE, BG, BC theo thứ tự độ dài tăng dần. Giải thích vì sao.
Lời giải:
- Xét tam giác ABD có góc A là góc tù (giả thiết) nên cạnh BD đối diện với góc A là cạnh lớn nhất.
Do đó BA < BD. (1)
Lại có là góc ngoài của tam giác ABD tại đỉnh D nên ta có:
Suy ra
Mà góc A là góc tù nên cũng là góc tù.
- Xét tam giác BDE có cũng là góc tù (chứng minh trên) nên cạnh BE đối diện với là cạnh lớn nhất.
Do đó BD < BE. (2)
Tương tự như trên, ta có:
+ Tam giác BEG có là góc tù nên BG là cạnh lớn nhất hay BE < BG (3)
+ Tam giác BGC có là góc tù nên BC là cạnh lớn nhất hay BG < BC (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có: BA < BD < BE < BG < BC.
Vậy sắp xếp các đoạn thẳng trên theo thứ tự độ dài tăng dần là: BA, BD, BE, BG, BC.
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết:
Giải SGK Toán 7 Bài 1: Tổng các góc của một tam giác
Giải SGK Toán 7 Bài 2: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác
Giải SGK Toán 7 Bài 3: Hai tam giác bằng nhau
Giải SGK Toán 7 Bài 4: Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh – cạnh – cạnh
Giải SGK Toán 7 Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh
Lý thuyết Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác
1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
1.1. Góc đối diện với cạnh lớn hơn
– Trong tam giác ABC:
• Góc A được gọi là góc đối diện với cạnh BC;
• Góc B được gọi là góc đối diện với cạnh CA;
• Góc C được gọi là góc đối diện với cạnh AB.
– Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
Trong tam giác ABC, nếu AC > AB thì
Ví dụ: Cho tam giác ABC có AC = 4 cm, BC = 5 cm. So sánh góc A và góc B.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC có BC > AC (5 cm > 4 cm)
Mà đối diện với cạnh BC, đối diện với cạnh AC.
Nên (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)
Vậy .
1.2. Cạnh đối diện với góc lớn hơn
– Trong tam giác ABC:
• Cạnh BC được gọi là cạnh đối diện với góc A;
• Cạnh CA được gọi là cạnh đối diện với góc B;
• Cạnh AB được gọi là cạnh đối diện với góc C.
– Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Trong tam giác ABC, nếu thì AC > AB.
– Nhận xét:
+ Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất.
+ Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.
Ví dụ: So sánh các cạnh của tam giác trong các hình vẽ sau:
Hướng dẫn giải
• Hình a)
Xét tam giác ABC có (70° > 60° > 50°)
Nên AB > AC > BC (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)
Vậy AB > AC > BC.
• Hình b)
Vì DDEG vuông tại D nên cạnh huyển EG là cạnh lớn nhất (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)
Xét DDEG có (60° > 30°)
Nên DE > DG (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)
Vậy EG > DE > DG.
• Hình c)
Vì DMNP có nên là tam giác tù.
Do đó cạnh NP là cạnh lớn nhất (Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất)
Xét DMNP có (37° > 23°)
Nên PM > MN (trong một tam góc, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)
Vậy NP > PM > MN.
2. Bất đẳng thức tam giác
– Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Trong tam giác ABC, ta có: AB + BC > AC; AB + AC > BC; AC + BC > AB.
Các bất đảng thức này gọi là các bất đẳng thức tam giác.
– Nhận xét: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
Ví dụ: Dựa vào bất đẳng thứ tam giác, kiểm tra xem bộ ba độ dài 2 cm, 8 cm, 6 cm và 3 cm, 5 cm, 7 cm có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác không? Vì sao?
Hướng dẫn giải
+) Xét bộ ba độ dài: 2 cm, 8 cm, 6 cm.
Ta có: 2 + 6 = 8 không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba độ dài 2 cm, 8 cm, 6 cm không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.
+) Xét bộ ba độ dài: 3 cm, 5 cm, 7 cm
Ta có: thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba độ dài 3 cm, 5 cm, 7 cm là độ dài ba cạnh của một tam giác.