Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Giải SBT Toán 10 trang 66 Tập 2

Bài 12 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$=(-1;3) và $\overrightarrow{v}$=(2;-5). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$+$\overrightarrow{v}$ là:

A. (1; - 2);

B. (- 2; 1);

C. (- 3; 8);

D. (3; - 8).

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{u}$+$\overrightarrow{v}$= ( -1 + 2; 3 + (-5)) = (1; -2).

Vậy chọn đáp án A.

Bài 13 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$=(2;-3) và $\overrightarrow{v}$=(1;4). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}$ là:

A. (0; 11);

B. (0; - 11);

C. (- 11; 0);

D. (- 3; 10).

Lời giải:

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}$= (2-2.1;-3-2.4) = (0;-11)

Vậy chọn đáp án B.

Bài 14 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai điểm A(4; - 1) và B(- 2; 5). Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

A. (2; 4);

B. (- 3; 3);

C. (3; - 3);

D. (1; 2).

Lời giải:

Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

x_M= $\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{4+\left(-2\right)}{2}$=1

y_M= $\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-1+5}{2}$=2

Suy ra M(1; 2)

Vậy chọn đáp án D.

Bài 15 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC có A(4; 6), B(1; 2), C(7; - 2). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

A. $\left(4;\frac{10}{3}\right)$ ;

B. (8; 4);

C. (2; 4);

D. (4; 2).

Lời giải:

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{4+1+7}{3}$=4

$y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{6+2+\left(-2\right)}{3}$=2

Suy ra G(4; 2)

Vậy chọn đáp án D.

Bài 16 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai điểm M(- 2; 4) và N(1; 2). Khoảng cách giữa hai điểm M và N là:

A. $\sqrt{13}$ ;

B. $\sqrt{5}$ ;

C. 13;

D. $\sqrt{37}$ .

Lời giải:

Khoảng cách giữa hai điểm M và N chính bằng độ dài vectơ $\overrightarrow{MN}$ và bằng

|$\overrightarrow{MN}$| = $\sqrt{{\left(x_N-x_M\right)}^2+{\left(y_N-y_M\right)}^2}=\sqrt{{\left(1+2\right)}^2+{\left(2-4\right)}^2}=\sqrt{13}$

Vậy chọn đáp án A.

Bài 17 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$=(-4;-3) và $\overrightarrow{v}$=(-1;-7). Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là:

A. 90⁰;

B. 60⁰;

C. 45⁰;

D. 30⁰.

Lời giải:

Ta có: cos($\overrightarrow{u}$;$\overrightarrow{v}$)

= 

Suy ra ($\overrightarrow{u}$;$\overrightarrow{v}$)= ${45}^o$ .

Vậy chọn đáp án C.

Giải SBT Toán 10 trang 67 Tập 2

Bài 18 trang 67 SBT Toán 10 Tập 2: Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$=(1;1) và $\overrightarrow{v}$=(-2;1) là:

A. $\frac{-1}{10}$ ;

B. $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ;

C. $\frac{-\sqrt{10}}{10}$ ;

D. $\frac{3}{10}$ .

Lời giải:

Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$=(1;1) và $\overrightarrow{v}$=(-2;1) là:

cos($\overrightarrow{u}$;$\overrightarrow{v}$)= 

Vậy chọn đáp án C.

Bài 19 trang 67 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC có A(2; 6), B(- 2; 2), C(8; 0). Khi đó, tam giác ABC là:

A. Tam giác đều;

B. Tam giác vuông tại A;

C. Tam giác có góc tù tại A;

D. Tam giác cân tại A.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}$=(-2-2;2-6) = (-4;-4) ⇒ AB = |$\overrightarrow{AB}$| = $\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}=4\sqrt{2}.$

$\overrightarrow{AC}$=(8-2;0-6) = (6;-6) $\Rightarrow$AC = |$\overrightarrow{AC}$|= $\sqrt{6^2+{\left(-6\right)}^2}=6\sqrt{2}$.

Ta lại có: $\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AC}$= (-4).6+(-4).(-6) = 0

Nên $\overrightarrow{AB}$ vuông góc với $\overrightarrow{AC}$ hay tam giác ABC vuông tại A.

Vậy chọn đáp án B.

Bài 20 trang 67 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1; 5), B(- 1; - 1), C(2; - 5)

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD và CD=$\frac{3}{2}$AB.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}$=(-1-1;-1-5)= (-2;-6) và $\overrightarrow{AC}$= (2-1;-5-5) = (1;-10)

Ta thấy $\frac{-2}{1}\ne \frac{-6}{-10}$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

Vậy A, B, C không thẳng hàng.

b) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:

Vậy $G\left(\frac{2}{3};\frac{-1}{3}\right)$.

c) Do tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD

Nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng

Mà CD=$\frac{3}{2}$ nên $\overrightarrow{CD}$=$-\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$

Gọi D(a; b), ta có: $\overrightarrow{AB}$=(-1-1;-1-5) = (-2;-6), $\overrightarrow{CD}$=(a-2b;b+5) .

Suy ra 

Vậy D(5; 4).

Bài 21 trang 67 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 2; 4), B(- 5; - 1), C(8; - 2). Giải tam giác ABC (làm tròn các kết quả số đo góc đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}$= (-5+2;-1-4) = (-3;-5)

$\overrightarrow{AC}$=(8+2;-2-4) = (10;-6)

$\overrightarrow{BC}$=(8+5;-2+1) = (13;-1)

Suy ra: AB=|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-5\right)}^2}=\sqrt{34}$

AC=|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{{10}^2+{\left(-6\right)}^2}=2\sqrt{34}$

BC=|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{{13}^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{170}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AC}$= (-3).10+(-5).(-6) = 0 suy ra $\overrightarrow{AB}$ vuông góc với $\overrightarrow{AC}$ hay $\widehat{BAC}={90}^o$ .

Ta có: cos($\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{BC}$)

= .

Suy ra $\widehat{ACB}\approx {27}^o$$\Rightarrow \widehat{ABC}={90}^o-\widehat{ACB}\approx {63}^o$.

Bài 22 trang 67 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(4; - 2), B(10; 4) và điểm M nằm trên trục Ox. Tìm tọa độ điểm M sao cho |$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$| có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Do M nằm trên trục Ox nên M(a; 0).

Khi đó $\overrightarrow{MA}$= (4-a;-2) và $\overrightarrow{MB}$ = (10-a;4).

$\Rightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$= (14-2a;2)

$\Rightarrow$|$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$|$=\sqrt{{\left(14-2a\right)}^2+2^2}$

Suy ra |$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$|² = (14-2a)² + 2²$\ge$2²=4

Giá trị nhỏ nhất của |$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$|² là 4

Hay giá trị nhỏ nhất của |$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$| là 2 đạt được khi 14 – 2a = 0$\iff$a=7

Vậy M(7; 0).

Bài 23 trang 67 SBT Toán 10 Tập 2: Trên màn hình ra đa của đài kiểm soát không lưu (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), một máy bay trực thăng chuyển động thẳng đều từ thành phố A có tọa độ (600; 200) đến thành phố B có tọa độ (200; 500) và thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ. Hãy tìm tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ.

Lời giải:

Gọi M(a; b) là tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ.

Ta có: $\overrightarrow{AM}$=(a-600;b-200) và $\overrightarrow{AB}$=(-400;300)

Do máy bay chuyển động thẳng đều nên quãng đường máy bay đi được sau 1 giờ bằng $\frac{1}{3}$ tổng quãng đường hay AM= $\frac{1}{3}$AB .

Mà M thuộc đoạn AB nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ .

Suy ra 

Vậy M$\left(\frac{1400}{3};300\right)$ .

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

SBT Toán 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ

SBT Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

SBT Toán 10 Bài 3: Phương trình đường thẳng

SBT Toán 10 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

SBT Toán 10 Bài 5: Phương trình đường tròn

Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

I. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

Nếu $\overrightarrow{u}$ = (x₁ ; y₁) và $\overrightarrow{v}$ = (x₂ ; y₂) thì

$\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = ( x₁ + x₂ ; y₁ + y₂);

$\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$ = ( x₁ – x₂ ; y₁ – y₂);

k$\overrightarrow{u}$ = (kx₁; ky₁) với k ∈ ℝ.

Ví dụ: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (– 5 ; 1) và $\overrightarrow{v}$ = (2 ; –3). Tìm tọa độ của mỗi vectơ sau:

a) $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$;

b) $\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$;

c) –2$\overrightarrow{v}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = (–5 + 2 ; 1 + (–3)) = (–3 ; –2).

Vậy $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = (–3 ; –2).

b) Ta có $\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$ = (–5 – 2 ; 1 – (–3)) = (–7 ; 4).

Vậy $\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$ = (–7 ; 4).

c) Ta có –2$\overrightarrow{v}$= (–2.2 ; –2.(–3)) = (–4 ; 6).

Vậy –2$\overrightarrow{v}$= (–4 ; 6).

Nhận xét: Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x₁ ; y₁), $\overrightarrow{v}$ = (x₂ ; y₂) ($\overrightarrow{u}$ ≠ $\overrightarrow{v}$) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k sao cho x₁ = kx₂ và y₁ = ky₂.

Ví dụ: Hai vectơ $\overrightarrow{u}$= (–1 ; 2) và $\overrightarrow{v}$ = (4 ; –8) có cùng phương hay không?

Hướng dẫn giải

Ta thấy 4 = –4.(–1) và –8 = –4.2

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (–1 ; 2) và $\overrightarrow{v}$ = (4 ; –8) cùng phương với nhau.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (–1 ; 2) và $\overrightarrow{v}$ = (4 ; –8) cùng phương.

II. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giác

– Cho hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Nếu M(x_M; y_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB thì

$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$ ; $y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$.

– Cho tam giác ABC có A(x_A ; y_A), B(x_B ; y_B), C(x_C ; y_C). Nếu G(x_G ; y_G) là trọng tâm của tam giác ABC thì

$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}$; $y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có A(0 ; 3), B(–1 ; –4), C(4 ; –2). Hãy tìm tọa độ trung điểm I của cạnh BC và trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ trung điểm I của cạnh BC và trọng tâm G của tam giác ABC lần lượt là  (x_I ; y_I) và (x_G ; y_G).

Khi đó, vì I là trung điểm của BC nên ta có:

$x_I=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}$; $y_I=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{(-4)+(-2)}{2}=-3$.

Suy ra $I\left(\frac{3}{2};-3\right)$.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{0+(-1)+4}{3}=1$; $y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{3+(-4)+(-2)}{3}=-1$.

Suy ra G(1 ; –1).

Vậy $I\left(\frac{3}{2};-3\right)$ và G(1 ; –1).

III. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Nếu $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁) và $\overrightarrow{u}$ = (x₂; y₂) thì $\overrightarrow{u}$.$\overrightarrow{v}$= x₁x₂ + y₁y₂.

Nhận xét:

a) Nếu $\overrightarrow{a}$ = (x; y) thì $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}}=\sqrt{x^2+y^2}$.

b) Nếu A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂) thì AB = $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ = $\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$.

c) Với hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁) và $\overrightarrow{v}$ = (x₂; y₂) đều khác $\overrightarrow{0}$, ta có:

+  $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi x₁x₂ + y₁y₂ = 0.

+ cos($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$) = $\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}$ = $\frac{x_1.x_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}.\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$.

Ví dụ: Cho hai vectơ  = (3 ; –5) và  = (5 ; 3).

a) Tính ;

b) Tính .;

c) Tính góc giữa hai vectơ  và 

Hướng dẫn giải

a) Ta có  =   = .

Vậy  = .

b) Ta có .= 3.5 + (–5).3 = 0.

Vậy . = 0.

c) Ta có cos(, ) =  =  =  = 0.

Suy ra (, ) = 90°.

Vậy  và  vuông góc với nhau.