Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 3: Phương trình đường thẳng sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 3: Phương trình đường thẳng

Giải SBT Toán 10 trang 73 Tập 2

Bài 24 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: 2x – 3y + 5 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ∆?

A. $\overrightarrow{n_1}$=(2;-3);

B. $\overrightarrow{n_2}$=(-3;2);

C. $\overrightarrow{n_3}$=(2;3);

D. $\overrightarrow{n_4}$=(3;2).

Lời giải:

Đưởng thẳng ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$(a;b).

Do đó ∆ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$(2;-3).

Vậy chọn đáp án A.

Bài 25 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của ∆?

A. $\overrightarrow{u_1}$=(3;4);

B. $\overrightarrow{u_2}$=(-2;1);

C. $\overrightarrow{u_3}$=(-1;2);

D. $\overrightarrow{u_4}$=(-2;-1).

Lời giải:

Hệ số của tham số lần lượt là tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Do đó đường thẳng ∆:  có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u}$=(-1;2).

Vậy chọn đáp án C.

Bài 26 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆:  . Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào nằm trên đường thẳng ∆?

A. (- 3; - 2);

B. (2; - 1);

C. (- 2; 1);

D. (- 5; 3).

Lời giải:

+) Thay tọa độ (-3; -2) vào phương trình tham số của đường thẳng ta có:

 (vô lý).

Do đó điểm (-3; -2) không thuộc đường thẳng ∆.

+) Thay tọa độ (2; - 1) vào phương trình tham số của đường thẳng ta có:

.

Do đó điểm (2; - 1) không thuộc đường thẳng ∆.

+) Thay tọa độ (- 2; 1) vào phương trình tham số của đường thẳng ta có:

 (vô lý).

Do đó điểm (-2; 1) không thuộc đường thẳng ∆.

+) Thay tọa độ (- 5; 3) vào phương trình tham số của đường thẳng ta có:

 (vô lý).

Do đó điểm (-5; 3) không thuộc đường thẳng ∆.

Vậy đáp án đúng là B.

Bài 27 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: x – 3y + 4 = 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của ∆?

A.  ;

B.  ;

C.  ;

D.  .

Lời giải:

Đường thẳng ∆: x – 3y + 4 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$=(1;-3).

Do đó ∆ có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u}$=(3;1) .

Chọn M(-1; 1) thuộc đường thẳng ∆

Suy ra phương trình tham số của ∆ là:  .

Vậy chọn đáp án B.

Bài 28 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆:  . Phương trình nào dưới đây là phương trình tổng quát của ∆?

A. 5x + 2y – 4 = 0;

B. 2x – 5y + 19 = 0;

C. – 5x + 2y – 16 = 0;

D. 5x + 2y + 4 = 0.

Lời giải:

Đường thẳng ∆:  có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$=(2;-5) và đi qua điểm A(-2; 3).

Do đó ∆ có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}$=(5;2)

Phương trình tổng quát của ∆ là: 5(x + 2) + 2(y – 3) = 0 hay 5x + 2y + 4 = 0.

Vậy chọn đáp án D.

Bài 29 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC, biết tọa độ trung điểm các cạnh BC, CA, AB lần lượt là M(-1; 1), N(3; 4), P(5; 6).

a) Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB, BC, CA.

b) Viết phương trình tổng quát của các đường trung trực của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC có: M, N là trung điểm của BC, AC.

Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra MN song song với AB.

Tương tự ta có MP song song với AC, NP song song với BC.

MN song song với AB nên $\overrightarrow{MN}$=(4;3) là vectơ chỉ phương của AB

Mà P(5; 6) thuộc AB nên phương trình tham số của AB là:  .

Ta có: $\overrightarrow{NP}$=(2;2)=2(1;1) là vectơ chỉ phương của BC và điểm M(– 1; 1) thuộc AB nên phương trình tham số của BC:  .

Ta có: $\overrightarrow{MP}$=(6;5) là vectơ chỉ phương của AC và điểm N(3; 4) thuộc AB nên phương trình tham số của AC:  .

b) Gọi d₁,d₂,d₃ là đường trung trực của AB, BC, AC.

Do MN song song với AB nên $\overrightarrow{MN}$ = (4; 3) là vectơ pháp tuyến của d₁. Đường thẳng d₁ đi qua P(5; 6) nên d₁ có phương trình tổng quát là:

4(x – 5) + 3(y – 6) = 0 hay 4x + 3y – 38 = 0.

Do NP song song với BC nên $\overrightarrow{NP}$=(2;2)=2(1;1) là vectơ pháp tuyến của d₂. Đường thẳng d₂ đi qua M(– 1; 1) nên d₂ có phương trình tổng quát là:

1(x + 1) + 1(y – 1) = 0 hay x + y = 0.

Do NP song song với BC nên $\overrightarrow{MP}$=(6;5) là vectơ pháp tuyến của d₂. Đường thẳng d₂ đi qua N(3; 4) nên d₂ có phương trình tổng quát là:

6(x – 3) + 5(y – 4) = 0 hay 6x + 5y – 38 = 0.

Bài 30 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC có A(3; 7), B(-2; 2), C(6; 1). Viết phương trình tổng quát của các đường cao của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi các đường cao của tam giác ABC lần lượt là AD, BE, CF.

Đường thẳng AD vuông góc BC nên AD có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{BC}$=(8;-1).

Và AD đi qua A(3; 7) nên phương trình tổng quát của đường thẳng AD là:

8(x – 3) – (y – 7) = 0 hay 8x – y – 17 = 0.

Đường thẳng BE vuông góc AC nên BE có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AC}$=(3;-6)=3(1;-2).

Và BE đi qua B( – 2; 2) nên phương trình tổng quát của đường thẳng BE là:

(x + 2) – 2(y – 2) = 0 hay x – 2y + 6 = 0.

Đường thẳng CF vuông góc AB nên CF có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AB}$=(-5;-5)=-5(1;1).

Và CF đi qua C(6; 1) nên phương trình tổng quát của đường thẳng CF là:

(x – 6) + (y – 1) = 0 hay x + y – 7 = 0.

Bài 31 trang 74 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆:  và điểm A(2; 1). Hai điểm M, N nằm trên ∆.

a) Tìm tọa độ điểm M sao cho AM=$\sqrt{17}$

b) Tìm tọa độ điểm N sao cho đoạn thẳng AN ngắn nhất.

Lời giải:

a) Do M nằm trên ∆ nên M(4 + t; -1 + 2t).

Suy ra $\overrightarrow{AM}$=(4+t-2;-1+2t-1) = (2+t;-2+2t)

Mà AM = $\sqrt{17}$$\iff \sqrt{{\left(2+t\right)}^2+{\left(-2+2t\right)}^2}=\sqrt{17}$

$\iff$5t²-4t-9=0$\iff$ 

Vậy M $\left(\frac{29}{5};\frac{13}{5}\right)$ hoặc M(3;-3).

b) Do N nằm trên ∆ nên N(4 + m; -1 + 2m).

Suy ra $\overrightarrow{AN}$=(4+m-2;-1+2m-1) = (2+m;-2+2m)

AN ngắn nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu của A lên ∆.

Khi đó $\overrightarrow{AN}$ vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆: $\overrightarrow{u}$=(1;2)

Hay (2 + m). 1 + (-2 + 2m). 2 = 0

$\iff m=\frac{2}{5}$

Suy ra $N\left(\frac{22}{5};\frac{-1}{5}\right)$ .

Vậy $N\left(\frac{22}{5};\frac{-1}{5}\right)$.

Giải SBT Toán 10 trang 74 Tập 2

Bài 32 trang 74 SBT Toán 10 Tập 2: Cho ba điểm A(- 2; 2), B(7; 5), C(4; - 5) và đường thẳng ∆: 2x + y – 4 = 0.

a) Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ và cách đều hai điểm A và B.

b*) Tìm tọa độ điểm N thuộc ∆ sao cho |$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}$| có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Do M thuộc đường thẳng ∆ nên M(t; 4 – 2t).

Suy ra $\overrightarrow{AM}$=(t+2;2-2t) và $\overrightarrow{BM}$=(t-7;-1-2t).

Do M cách đều 2 điểm A, B nên MA = MB.

Hay |$\overrightarrow{AM}$|= |$\overrightarrow{BM}$|

$\iff \sqrt{{\left(t+2\right)}^2+{\left(2-2t\right)}^2}=\sqrt{{\left(t-7\right)}^2+{\left(-1-2t\right)}^2}$

⇔ 5t² – 4t + 8 = 5t² – 10t + 50

⇔ 6t = 42

⇔ t = 7

Vậy M(7; -10).

b) Do N thuộc đường thẳng ∆ nên N(m; 4 – 2m).

Suy ra $\overrightarrow{NA}$=(-2-2;2m-2), $\overrightarrow{NB}$=(7-m;2m+1) và $\overrightarrow{NC}$=(4-1;2m-9)

$\Rightarrow \overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}$= (9-3m;6m-10)

Gọi A= (9-3m)²+(6m-10)²

A=45m² - 174m+181=45${\left(m-\frac{29}{15}\right)}^2+\frac{64}{5}\ge \frac{64}{5}$

Suy ra GTNN của |$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}$| là $\frac{8}{\sqrt{5}}$ đạt được khi m=$\frac{29}{15}$

Hay $N\left(\frac{29}{15};\frac{2}{15}\right)$.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

SBT Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

SBT Toán 10 Bài 3: Phương trình đường thẳng

SBT Toán 10 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

SBT Toán 10 Bài 5: Phương trình đường tròn

SBT Toán 10 Bài 6: Ba đường conic

Lý thuyết Phương trình đường thẳng

I. Phương trình tham số của đường thẳng

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ $\overrightarrow{u}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu $\overrightarrow{u}$ ≠ $\overrightarrow{0}$  và giá của $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với ∆.

Nhận xét:

– Nếu $\overrightarrow{u}$ là một vectơ chỉ phương của ∆ thì k$\overrightarrow{u}$ (k ≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương của ∆.

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Ví dụ: Đường thẳng ∆ đi qua điểm (2 ; 0) và (0 ; –1) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ như hình vẽ sau:

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Hệ $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}\right.$  (a² + b² > 0 và t là tham số) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng  ∆ đi qua M₀(x₀ ; y₀₎ và nhận $\overrightarrow{u}$ = (a ; b) làm vectơ chỉ phương.

Nhận xét: Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}\right.$  (a² + b² > 0 và t là tham số).

+ Với mỗi giá trị cụ thể của t, ta xác định được một điểm trên đường thẳng ∆. Ngược lại, với mỗi điểm trên đường thẳng ∆, ta xác định được một giá trị cụ thể của t.

+ Vectơ $\overrightarrow{u}$ = (a ; b) là một vectơ chỉ phương của ∆.

Ví dụ:

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (–1 ; 3).

b) Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số là  $\left\{\begin{array}{l}x=4+2t\\ y=-3-t\end{array}\right.$. Chỉ ra tọa độ một vectơ chỉ phương của ∆ và một điểm thuộc đường thẳng ∆.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (–1 ; 3) nên có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+3t\end{array}\right.$.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+3t\end{array}\right.$.

b) Đường thẳng ∆ có phương trình tham số là  $\left\{\begin{array}{l}x=4+2t\\ y=-3-t\end{array}\right.$.

Khi đó ∆ có một vectơ chỉ phương là (2 ; –1) và điểm (4 ; –3) thuộc ∆.

Vậy ∆ có một vectơ chỉ phương là (2 ; –1) và điểm (4 ; –3) thuộc ∆.

II. Phương trình tổng quát của đường thẳng

1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ $\overrightarrow{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  ∆ nếu $\overrightarrow{n}$ ≠ $\overrightarrow{0}$  và giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với  ∆.

Nhận xét:

– Nếu $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của ∆ thì k$\overrightarrow{n}$ (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của ∆.

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

– Nếu một đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$ = (a ; b) thì vectơ $\overrightarrow{n}$ = (–b ; a) là một vectơ pháp tuyến của ∆.

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Nhận xét:

– Đường thẳng ∆ đi qua điểm M_0­ (x₀ ; y₀) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (a ; b) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0 ⇔ ax + by + (–ax₀ – by₀) = 0.

– Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng ∆ trong mặt phẳng tọa độ nhận một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ = (a ; b).

Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm A(1; –2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (–2 ; –3).

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết, phương trình của đường thẳng d là : –2(x – 1) + (–3).(y + 2) = 0.

Từ đó, ta nhận được phương trình tổng quát của đường thẳng d là –2x – 3y – 4 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của d là –2x – 3y – 4 = 0.

3. Những dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

Cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 (a hoặc b khác 0).

a) Nếu b = 0 và a ≠ 0 thì phương trình đường thẳng ∆ trở thành ax + c = 0. Khi đó đường thẳng ∆ song song hoặc trùng với trục Oy và cắt trục Ox tại điểm $\left(-\frac{c}{a};0\right)$.

b) Nếu b ≠ 0 và a = 0 thì phương trình đường thẳng ∆ trở thành by + c = 0. Khi đó đường thẳng ∆ song song hoặc trùng với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm $\left(0;-\frac{c}{b}\right)$ (Hình 30).

c) Nếu b ≠ 0 và a ≠ 0 thì phương trình đường thẳng ∆ có thể viết thành

 y = $-\frac{a}{b}$x – $\frac{c}{b}$.

Khi đó, đường thẳng ∆ là đồ thị hàm số bậc nhất y = $-\frac{a}{b}$x – $\frac{c}{b}$ với hệ số góc là  k = $-\frac{a}{b}$(Hình 31).

Nhận xét:

– Đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 (a hoặc b khác 0) là đồ thị của hàm số bậc nhất khi và chỉ khi a ≠ 0 và b ≠ 0.

– Phương trình trục hoành là y = 0, phương trình trục tung là x = 0.

Ví dụ:

a) Cho phương trình đường thẳng ∆ là 2x + 4 = 0. Khi đó đường thẳng ∆ song song với trục Oy và cắt trục Ox tại điểm (–2 ; 0)

b) Cho phương trình đường thẳng ∆ là 3x – 9 = 0. Khi đó đường thẳng ∆ song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm (0 ; 3)

c) Cho phương trình đường thẳng ∆ là x + 2y – 2 = 0. Khi đó, đường thẳng ∆ là đồ thị của hàm số bậc nhất y = $-\frac{1}{2}$x + 1 với hệ số góc k = $-\frac{1}{2}$

III. Lập phương trình đường thẳng

1. Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀ ; y₀) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (a ; b) ($\overrightarrow{n}$ ≠ $\overrightarrow{0}$) làm vectơ pháp tuyến là a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0.

Ví dụ: Lập phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2; –2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (2 ; 3).

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết, phương trình của đường thẳng ∆ là: 2(x – 2) + 3.(y + 2) = 0.

Từ đó, ta nhận được phương trình của đường thẳng ∆ là 2x + 3y + 2 = 0.

Vậy phương trình của ∆ là 2x + 3y + 2 = 0.

2. Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀ ; y₀) và nhận $\overrightarrow{u}$ = (a ; b) ($\overrightarrow{u}$≠ $\overrightarrow{0}$) làm vectơ chỉ phương là $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}\right.$ (t là tham số).

Nếu a ≠ 0 và b  ≠ 0 thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng ∆ ở dạng: $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$.

Ví dụ: Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(–1; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (1 ; –3).

Hướng dẫn giải

Cách 1: Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(–1; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (1 ; –3) là $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=2-3t\end{array}\right.$.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=2-3t\end{array}\right.$.

Cách 2: Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(–1; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (1 ; –3) nên có phương trình là $\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{-3}$ ⇔ –3x – y – 1= 0.

Vậy phương trình của đường thẳng ∆ là –3x – y – 1= 0.

3. Lập phương trình đi qua hai điểm

Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(x₀ ; y₀), B(x₁ ; y₁) nên nhận vectơ $\overrightarrow{AB}$ = (x₁ – x₀ ; y₁ – y₀) làm vectơ chỉ phương. Do đó, phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:  $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+(x_1-x_0)t\\ y=y_0+(y_1-y_0)t\end{array}\right.$  (t là tham số).

Nếu x₁ – x₀ ≠ 0 và y₁ – y₀ ≠ 0 thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng ∆ ở dạng: $\frac{x-x_0}{x_1-x_0}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}$.

Ví dụ: Lập phương trình ∆ đi qua hai điểm A(2 ; 2) và B(–1 ; 3).

Hướng dẫn giải

Phương trình ∆ đi qua hai điểm A(2 ; 2) và B(–1 ; 3) là

$\frac{x-2}{-1-2}=\frac{y-2}{3-2}$ ⇔ $\frac{x-2}{-3}=\frac{y-2}{1}$ ⇔ x + 3y – 8 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(2 ; 2) và B(–1 ; 3) là x + 3y – 8 = 0.