Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ

Giải SBT Toán 10 trang 61 Tập 2

Bài 1 trang 61 SBT Toán 10 Tập 2: Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}=-3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$ là:

A. (- 3; 2);

B. (2; - 3);

C. $\left(-3\overrightarrow{i};2\overrightarrow{j}\right)$ ;

D. (3; 2).

Lời giải:

Do $\overrightarrow{u}=-3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$ mà $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ là các vectơ đơn vị tương ứng với trục Ox và Oy

Nên $\overrightarrow{u}$= (-3;2).

Vậy chọn đáp án A.

Bài 2 trang 61 SBT Toán 10 Tập 2: Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}=5\overrightarrow{j}$ là:

A. (5; 0);

B. (5;$\overrightarrow{j}$) ;

C. (0;5$\overrightarrow{j}$) ;

D. (0; 5).

Lời giải:

Do $\overrightarrow{u}=5\overrightarrow{j}$ mà $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ là các vectơ đơn vị tương ứng với trục Ox và Oy

Nên $\overrightarrow{u}$=(0;5).

Vậy chọn đáp án D.

Bài 3 trang 61 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; - 5). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OA}$ là:

A. (2; 5);

B. (2; - 5);

C. (- 2; - 5);

D. (- 2; 5).

Lời giải:

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OA}$ chính là tọa độ điểm A và là: $\overrightarrow{OA}$= (2;-5) .

Vậy chọn đáp án B.

Bài 4 trang 61 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(- 1; 3), B(2; - 1). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là:

A. (1; - 4);

B. (- 3; 4);

C. (3; - 4);

D. (1; - 2).

Lời giải:

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là hiệu số tọa độ tương ứng của điểm B và điểm A.

Do đó: $\overrightarrow{AB}$= (x_B - x_A; y_B - y_A) = (2+1;-1-3) = (3;-4).

Vậy chọn đáp án C.

Bài 5 trang 61 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\overrightarrow{u}$=(-2;-4), $\overrightarrow{v}$=(2x-y;y) . Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ bằng nhau nếu:

A.  ;

B.  ;

C.  ;

D.  .

Lời giải:

Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ bằng nhau nếu tọa độ tương ứng của chúng bằng nhau

Hay .

Vậy chọn đáp án B.

Bài 6 trang 61 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD có A(- 1; - 2), B(3; 2), C(4; - 1). Tọa độ của đỉnh D là:

A. (8; 3);

B. (3; 8);

C. (- 5; 0);

D. (0; - 5).

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (3+1;2+2) = (4;4)

Gọi D(a; b) thì $\overrightarrow{DC}$ = (4-a;1-b)

Do ABCD là hình bình hành nên ta có: $\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$

Hay  .

Suy ra D(0; -5).

Vậy chọn đáp án D.

Bài 7 trang 61 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm tọa độ của các vectơ trong Hình 4.

Lời giải:

Ta vẽ vectơ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c},\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{d}$ .

Quan sát trên hình vẽ, ta có:

A(2; – 3) nên $\overrightarrow{a}$=(2;-3);

B(– 3; 0) nên $\overrightarrow{b}$=(-3;0);

C(5; 1) nên $\overrightarrow{c}$=(5;1);

D(0; 4) nên $\overrightarrow{d}$=(0;4).

Giải SBT Toán 10 trang 62 Tập 2

Bài 8 trang 62 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm các số thực a và b sao cho mỗi cặp vectơ sau bằng nhau:

a) $\overrightarrow{m}$= (2a+3;b-1) và $\overrightarrow{n}$= (1;-2);

b) $\overrightarrow{u}$= (3a-2;5) và $\overrightarrow{v}$= (5;2b+1);

c) $\overrightarrow{x}$= (2a+b;2b) và $\overrightarrow{y}$= (3+2b;b-3a).

Lời giải:

2 vectơ bằng nhau thì tọa độ tương ứng của chúng phải bằng nhau.

a) Ta có: $\overrightarrow{m}$= (2a+3;b-1) và $\overrightarrow{n}$= (1;-2) bằng nhau

Vậy a = – 1, b = – 1.

b. Ta có: $\overrightarrow{u}$= (3a-2;5) và $\overrightarrow{v}$= (5;2b+1) bằng nhau

Vậy a = $\frac{7}{3}$, b = 2.

c. Ta có: $\overrightarrow{x}$= (2a+b;2b) và $\overrightarrow{y}$= (3+2b;b-3a) bằng nhau

Vậy a = $\frac{3}{5}$ và b = $\frac{-9}{5}$.

Bài 9 trang 62 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(- 4; 2), B(2; 4), C(8; - 2). Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (2+4;4-2) = (6;2)

Gọi D(a; b) thì $\overrightarrow{DC}$ = (8-a;-2-b)

Do ABCD là hình bình hành nên ta có: $\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$

Hay  .

Suy ra D(2; -4).

Vậy D(2; -4).

Bài 10 trang 62 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD có A(x_A; y_A); B(x_B; y_B); C(x_C; y_C); D(x_D; y_D). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi x_A + x_C = x_B + x_D và y_A + y_C = y_B + y_D

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}$= (x_B - x_A; y_B - y_A), $\overrightarrow{DC}$= (x_C - x_D;y_C - y_D)

Do ABCD là hình bình hành nên ta có: $\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$

Hay 

Vậy bài toán được chứng minh.

Bài 11 trang 62 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng M(1; - 2), N(3; 1), P(- 1; 2). Tìm tọa độ điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình thang có MN // PQ và PQ = 2MN.

Lời giải:

Do tứ giác MNPQ là hình thang có MN // PQ

Nên $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với $\overrightarrow{PQ}$ .

Mà PQ = 2MN, $\overrightarrow{MN}$ ngược hướng với $\overrightarrow{PQ}$

Suy ra $\overrightarrow{PQ}$=-2.$\overrightarrow{MN}$.

Gọi Q(a; b), ta có: $\overrightarrow{MN}$=(3-1:1+2) và $\overrightarrow{PQ}$=(a+1;b-2)

Vậy Q(-5; -4).

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

SBT Toán 10 Bài 4: Xác suất của biến cố trong một số trò chơi đơn giản

SBT Toán 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ

SBT Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

SBT Toán 10 Bài 3: Phương trình đường thẳng

SBT Toán 10 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Lý thuyết Tọa độ của vectơ

I. Tọa độ của một điểm

Để xác định tọa độ của một điểm M tùy ý trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau (Hình 3):

+ Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.

+ Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M.

Cặp số (a; b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a ; b).

Ví dụ: Xác định tọa độ của điểm B trong hình vẽ sau:

Hướng dẫn giải

+ Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm ứng với số –3. Số –3 là hoành độ của điểm B.

+ Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm ứng với số 3. Số 3 là tung độ của điểm M.

Khi đó, cặp số (–3; 3) là tọa độ của điểm B.

Vậy điểm B có tọa độ là B(–3; 3).

II. Tọa độ của một vectơ

Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$.

Nếu $\overrightarrow{OM}$ có tọa độ (a; b) thì ta viết $\overrightarrow{OM}$ = (a; b) hay $\overrightarrow{OM}$ (a; b), trong đó a gọi là hoành độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ và b gọi là tung độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ (Hình 4).

Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:

+ $\overrightarrow{OM}$ = (a; b) ⇔ M(a ; b).

+ Vectơ $\overrightarrow{i}$ có điểm gốc là O và có tọa độ (1; 0) gọi là vectơ đơn vị trên trục Ox.

Vectơ $\overrightarrow{j}$ có điểm gốc là O và có tọa độ (0; 1) gọi là vectơ đơn vị trên trục Oy (Hình 4).

Ví dụ: Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$, $\overrightarrow{ON}$ trong hình sau:

Hướng dẫn giải

Ta thấy điểm M có tọa độ là (–2 ; 4)

Suy ra $\overrightarrow{OM}$ = (–2 ; 4).

Điểm N có tọa độ là (2 ; –1)

Suy ra $\overrightarrow{ON}$ = (2 ; –1).

Vậy $\overrightarrow{OM}$ = (–2 ; 4) và $\overrightarrow{ON}$ = (2 ; –1).

Nhận xét:

– Với mỗi vectơ $\overrightarrow{u}$, ta xác định được duy nhất một điểm A sao cho $\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow{u}$.

– Với mỗi vectơ $\overrightarrow{u}$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là tọa độ của điểm A, trong đó A là điểm sao cho $\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow{u}$.

– Nếu $\overrightarrow{u}$ có tọa độ (a; b) thì ta viết $\overrightarrow{u}$ = (a; b) hay $\overrightarrow{u}$(a; b), trong đó a gọi là hoành độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ và b gọi là tung độ của vectơ $\overrightarrow{u}$.

Ví dụ: Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ trong hình vẽ sau:

Hướng dẫn giải

Ta xác định vectơ $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{OA}$ như hình sau:

Ta thấy điểm A(2 ; 2) nên $\overrightarrow{OA}$ = (2 ; 2).

Suy ra $\overrightarrow{u}$ = (2 ; 2).

Vậy $\overrightarrow{u}$ = (2 ; 2).

Định lí: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu $\overrightarrow{u}$ = (a ; b)  thì $\overrightarrow{u}$ = a$\overrightarrow{i}$ + b$\overrightarrow{j}$. Ngược lại, nếu $\overrightarrow{u}$ = a$\overrightarrow{i}$ + b$\overrightarrow{j}$ thì $\overrightarrow{u}$ = (a ; b).

Chú ý: Với $\overrightarrow{a}$ = (x₁ ; y₁) và $\overrightarrow{b}$ = (x₂ ; y₂), ta có $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{b}$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=x_2\\ y_1=y_2\end{array}\right.$ 

Như vậy, mỗi vectơ hoàn toàn được xác định khi biết tọa độ của nó.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2; 3) và vectơ $\overrightarrow{u}$ = (1; – 3).

a) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{u}$ qua hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$.

b) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{OM}$  qua hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì vectơ $\overrightarrow{u}$ = (1; – 3) nên $\overrightarrow{u}$ = 1$\overrightarrow{i}$ + (– 3)$\overrightarrow{j}$ = $\overrightarrow{i}$ – 3$\overrightarrow{j}$

Vậy $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{i}$ – 3$\overrightarrow{j}$

b) Vì điểm M có tọa độ là (2 ; 3) nên $\overrightarrow{OM}$ = (2 ; 3).

Do đó: $\overrightarrow{OM}$ = 2$\overrightarrow{i}$ + 3$\overrightarrow{j}$.

Vậy $\overrightarrow{OM}$ = 2$\overrightarrow{i}$ + 3$\overrightarrow{j}$.

III. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B).

Ta có $\overrightarrow{AB}$  = (x_B – x_A ; y_B – y_A).

Ví dụ: Cho hai điểm A(2; –4) và B(1; 5). Hãy tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (1 – 2; 5 – (–4)) = (–1 ; 9).

Vậy $\overrightarrow{AB}$ = (–1 ; 9).