Bài 3.16 trang 44 Toán 10 tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Thảo Ngày: 28-03-2023 Lớp 10

1.8 K

Với giải Bài 3.16 trang 44 Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống trong Bài tập cuối chương III giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương III

Bài 3.16 trang 44 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) $\cos \hat{A M B} + \cos \hat{A M C} = 0$

b) $M A^{2} + M B^{2} - A B^{2} = 2. M A . M B . \cos \hat{A M B}$ và $M A^{2} + M C^{2} - A C^{2} = 2. M A . M C . \cos \hat{A M C}$

c) $M A^{2} = \frac{2 (A B^{2} + A C^{2}) - B C^{2}}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Phương pháp giải:

a) Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau:

$- \cos x = \cos (180^{o} - x)$

b) Định lí cos: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ cho tam giác tương ứng.

c) Suy ra từ b, lưu ý rằng: ${\begin{cases} \cos \hat{A M C} + \cos \hat{A M B} = 0 \\ M B = M C = \frac{B C}{2} \end{cases}$

Lời giải:

Bài 3.15 trang 44 Toán lớp 10 Tập 1 | Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Ta có: $\hat{A M B} + \hat{A M C} = 180^{o}$

$\Rightarrow \cos \hat{A M B} = - \cos \hat{A M C}$

Hay $\cos \hat{A M B} + \cos \hat{A M C} = 0$

b) Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta có:

$\begin{array}{l} A B^{2} = M A^{2} + M B^{2} - 2 M A . M B \cos \hat{A M B} \\ \Leftrightarrow M A^{2} + M B^{2} - A B^{2} = 2 M A . M B \cos \hat{A M B} (1) \end{array}$

Tương tự, Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta được:

$\begin{array}{l} A C^{2} = M A^{2} + M C^{2} - 2 M A . M C \cos \hat{A M C} \\ \Leftrightarrow M A^{2} + M C^{2} - A C^{2} = 2 M A . M C \cos \hat{A M C} (2) \end{array}$

c) Từ (1), suy ra $M A^{2} = A B^{2} - M B^{2} + 2 M A . M B \cos \hat{A M B}$

Từ (2), suy ra $M A^{2} = A C^{2} - M C^{2} + 2 M A . M C \cos \hat{A M C}$

Cộng vế với vế ta được:

$2 M A^{2} = (A B^{2} - M B^{2} + 2 M A . M B \cos \hat{A M B}) + (A C^{2} - M C^{2} + 2 M A . M C \cos \hat{A M C})$

$\Leftrightarrow 2 M A^{2} = A B^{2} + A C^{2} - M B^{2} - M C^{2} + 2 M A . M B \cos \hat{A M B} + 2 M A . M C \cos \hat{A M C}$

Mà: $M B = M C = \frac{B C}{2}$ (do AM là trung tuyến)

$\Rightarrow 2 M A^{2} = A B^{2} + A C^{2} - {(\frac{B C}{2})}^{2} - {(\frac{B C}{2})}^{2} + 2 M A . M B \cos \hat{A M B} + 2 M A . M B \cos \hat{A M C}$

$\Leftrightarrow 2 M A^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2. {(\frac{B C}{2})}^{2} + 2 M A . M B (\cos \hat{A M B} + \cos \hat{A M C})$

$\Leftrightarrow 2 M A^{2} = A B^{2} + A C^{2} - {\frac{B C}{2}}^{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow M A^{2} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - {\frac{B C}{2}}^{2}}{2} \\ \Leftrightarrow M A^{2} = \frac{2 (A B^{2} + A C^{2}) - B C^{2}}{4} \end{array}$ (đpcm)

Cách 2:

Theo ý a, ta có: $\cos \hat{A M C} = - \cos \hat{A M B}$

Từ đẳng thức (1): suy ra $\cos \hat{A M B} = \frac{M A^{2} + M B^{2} - A B^{2}}{2. M A . M B}$

$\Rightarrow \cos \hat{A M C} = - \cos \hat{A M B} = - \frac{M A^{2} + M B^{2} - A B^{2}}{2. M A . M B}$

Thế $\cos \hat{A M C}$ vào biểu thức (2), ta được:

$M A^{2} + M C^{2} - A C^{2} = 2 M A . M C . (- \frac{M A^{2} + M B^{2} - A B^{2}}{2. M A . M B})$

Lại có: $M B = M C = \frac{B C}{2}$ (do AM là trung tuyến)

$\begin{array}{l} \Rightarrow M A^{2} + {(\frac{B C}{2})}^{2} - A C^{2} = 2 M A . M B . (- \frac{M A^{2} + M B^{2} - A B^{2}}{2. M A . M B}) \\ \Leftrightarrow M A^{2} + {(\frac{B C}{2})}^{2} - A C^{2} = - (M A^{2} + M B^{2} - A B^{2}) \\ \Leftrightarrow M A^{2} + {(\frac{B C}{2})}^{2} - A C^{2} + M A^{2} + {(\frac{B C}{2})}^{2} - A B^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow 2 M A^{2} - A B^{2} - A C^{2} + {\frac{B C}{2}}^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow 2 M A^{2} = A B^{2} + A C^{2} - {\frac{B C}{2}}^{2} \\ \Leftrightarrow M A^{2} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - {\frac{B C}{2}}^{2}}{2} \\ \Leftrightarrow M A^{2} = \frac{2 (A B^{2} + A C^{2}) - B C^{2}}{4} \end{array}$