Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức với cuộc sống giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Giải Toán 10 trang 26 Tập 1 Kết nối tri thức
|
Điều hòa hai chiều |
Điều hòa một chiều |
Giá mua vào |
20 triệu đồng/1 máy |
10 triệu đồng/1 máy |
Lợi nhuận dự kiến |
3,5 triệu đồng/1 máy |
2 triệu đồng/1 máy |
Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại. Nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy đề lợi nhuận thu được là lớn nhất?
Lời giải:
Gọi x và y lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập.
Do nhu cầu thị trường không quá 100 máy cả 2 loại nên
Do chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên:
Tổng số tiền lãi là 3,5x+2y (triệu đồng).
+) x = 0, y = 100 thì tiền lãi là 200 triệu đồng
+) x = 50, y = 0 thì tiền lãi là 175 triệu đồng
+) x = 20, y = 80 thì tiền lãi là 230 triệu đồng
Vậy cửa hàng cần nhập 20 máy điều hoà loại hai chiều và 80 máy một chiều thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.
1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
a) Do nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên x và y cần thoả mãn điều kiện gì?
b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên x và y phải
thoả mãn điều kiện gì?
c) Tính số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu được theo x và y.
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính số tiền mua x chiếc điều hòa hai chiều.
Bước 2: Tính số tiền mua y chiếc điều hòa một chiều.
Bước 3: Số tiền vốn bằng tổng số tiền mua x điều hòa hai chiều và y chiếc điều hòa một chiều.
a) Nhu cầu thị trường không quá 100 máy cả 2 loại có nghĩa là tổng số điều hòa nhập vào cũng không quá 100 máy.
b) Lập bất phương trình thể hiện số vốn không vượt quá 1,2 tỉ đồng.
c) Dựa vào lợi nhuận dự kiến của mỗi loại điều hòa, lập công thức thể hiện số tiền lãi.
Bước 1: Tính số tiền lãi khi bán x chiếc điều hòa hai chiều.
Bước 2: Tính số tiền lãi khi bán y chiếc điều hòa một chiều.
Bước 3: Số tiền lãi của cửa hàng bằng tổng số tiền lãi x điều hòa hai chiều cộng với số tiền lãi khi bán y chiếc điều hòa một chiều.
Lời giải:
Bước 1:
Số tiền mua x chiếc điều hòa hai chiều là 20x (triệu đồng)
Bước 2:
Số tiền mua y chiếc điều hòa một chiều là 10y (triệu đồng).
Bước 3:
Số tiền khi mua x chiếc điều hòa hai chiều và y chiếc điều hòa một chiều là 20x+10y (triệu đồng).
a) Nhu cầu thị trường không quá 100 máy cả 2 loại có nghĩa là tổng số điều hòa nhập vào cũng không quá 100 máy.
Tổng số máy mua vào là x+y.
Khi đó do nhu cầu thị trường không quá 100 máy cả 2 loại nên
b)
1,2 tỉ đồng =1200 (triệu đồng)
Số vốn mua x điều hòa hai chiều và y chiếc điều hòa một chiều là 20x+10y (triệu đồng).
Do chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên ta có:
c)
Bước 1:
Số tiền lãi bán 1 chiếc điều hòa hai chiều là 3,5 triệu đồng nên số tiền lãi khi bán x chiếc điều hòa hai chiều là 3,5x (triệu đồng)
Bước 2:
Số tiền lãi bán 1 chiếc điều hòa một chiều là 2 triệu đồng nên số tiền lãi khi bán y chiếc điều hòa một chiều là 2y (triệu đồng)
Bước 3:
Tổng số tiền lãi là 3,5x+2y (triệu đồng).
Chú ý:
Cửa hàng nhập x chiếc điều hòa hai chiều và y chiếc điều hòa một chiều có nghĩa là cửa hàng đã mua vào x máy điều hòa hai chiều với giá 20 triệu đồng/máy và y máy với giá 10 triệu đồng/máy.
Giải Toán 10 trang 27 Tập 1 Kết nối tri thức
Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Tính số tiền vốn mà cửa hàng phải bỏ ra để nhập hai loại
máy điều hoà theo x và y.
a) Do nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên x và y cần thoả mãn điều kiện gì?
b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên x và y phải
thoả mãn điều kiện gì?
c) Tính số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu được theo x và y.
Phương pháp giải:
- Lập hệ:
+ Số điều hòa nhập vào phải là số tự nhiên
+ Nêu rõ các bất phương trình có ở HĐ 1.
- Tìm nghiệm của hệ: Thử các cặp số (x;y) ngẫu nhiên vào hệ, nếu cặp số nào thỏa mãn hết các bất phương trình thì cặp số đó là nghiệm của hệ.
Lời giải:
- Lập hệ:
Do số lượng máy nhập vào phải là số tự nhiên nên ta có .
Từ HĐ 1 ta có hai bất phương trình là và
Vậy hệ bất phương trình từ HĐ 1 là
.
- Tìm nghiệm:
Thay cặp số (x;y)=(50;10) vào hệ ta được:
Ta thấy các bất phương trình trên đều đúng hết nên (50;10) là một nghiệm của hệ.
Chú ý:
Ta có thể chọn cặp số khác (50;10), nếu sau khi thay cặp số đã chọn vào và thấy thỏa mãn cả 4 bất phương trình thì cặp số mà ta chọn là một nghiệm của hệ.
2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Giải Toán 10 trang 28 Tập 1 Kết nối tri thức
a) Xác định miền nghiệm của các bất phương trình tương ứng và .
b) Miền tam giác OAB (H.2.5) có phải là giao điểm của các miền và hay không?
c) Lấy một điểm trong tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;2)) hoặc một điểm trên cạnh nào đó của tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;149)) và kiểm tra xem tọa độ của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không:
Phương pháp giải:
a) Biểu diễn các miền nghiệm của từng bất phương trình và
Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền) .
Bước 2: Lấy điểm một điểm không thuộc đường thẳng và thay vào bất phương trình cần xác định miền nghiệm.
Bước 3: Nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn bất phương trình thì miền nghiệm của bất phương trình chứa điểm đó.
b) Vẽ tất cả các miền miền và lên cùng một mặt phẳng.
Lời giải:
a)
Miền nghiệm của bất phương trình
Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền) . Đây là trục Oy.
Bước 2: Lấy điểm A(150;0) không thuộc trục Oy và thay vào biểu thức , ta được: .
Bước 3: Do điểm A thỏa mãn bất phương trình nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có chứa điểm A.
Minh họa (phần không bị gạch chéo):
Miền nghiệm của bất phương trình
Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền) . Đây là trục Ox.
Bước 2: Lấy điểm B(0;150) không thuộc trục Ox và thay vào biểu thức , ta được: .
Bước 3: Do điểm B thỏa mãn bất phương trình nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có chứa điểm B.
Minh họa (phần không bị gạch chéo):
Miền nghiệm của bất phương trình
Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền) . Đây là trục Ox.
Bước 2: Lấy điểm B(0;150) không thuộc trục Ox và thay vào biểu thức , ta được: .
Bước 3: Do điểm B thỏa mãn bất phương trình nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có chứa điểm B.
Minh họa (phần không bị gạch chéo):
Miền nghiệm của bất phương trình :
Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền) .
Bước 2: Lấy điểm O(0;0) không thuộc đường thẳng và thay vào , ta được:
Bước 3: Do điểm O thỏa mãn bất phương trình nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có chứa điểm O.
Minh họa (phần không bị gạch chéo):
Vậy là nửa trên mặt phẳng có bờ là trục Oy, là nửa bên phải mặt phẳng có bờ là trục Ox và là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x+y=150 chứa điểm O.
b) Vẽ tất cả các miền miền và lên cùng một mặt phẳng.
=>Miền tam giác OAB (H.2.5) có phải là giao điểm của các miền và
c) Lấy một điểm trong tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;2)) hoặc một điểm trên cạnh nào đó của tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;149)) và kiểm tra xem tọa độ của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không:
Lấy điểm (1;2) trong tam giác OAB, thay vào hệ
Ta được:
(luôn đúng)
Vậy điểm (1;2) là nghiệm của hệ bất phương trình
Lấy điểm (1;149), thay vào hệ
Ta được:
(luôn đúng)
Vậy điểm (1;149) là nghiệm của hệ bất phương trình
Luyện tập 2 trang 28 Toán lớp 10: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ:
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định miền nghiệm của bất phương trình
Bước 2: Xác định miền nghiệm của bất phương trình
Bước 3: Xác định miền nghiệm của bất phương trình
Bước 4: Xác định miền nghiệm của bất phương trình
Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Lời giải:
Bước 1: Xác định miền nghiệm của bất phương trình
Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).
Bước 2: Xác định miền nghiệm của bất phương trình
Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) không kể trục Ox.
Bước 3: Xác định miền nghiệm của bất phương trình
+ Vẽ đường thẳng d: x+y=100
+ Vì 0+0=0
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.
Bước 4: Xác định miền nghiệm của bất phương trình
Tương tự miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d’ chúa gốc tọa độ O. (không kể đường thẳng d’).
Khi đó miền không bị gạch là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho (Không kể đoạn thẳng OC và CD).
3. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
a) Tính giá trị của biểu thức F(x; y) tại mỗi đỉnh O, A và B.
b) Nêu nhận xét về dấu của hoành độ x và tung độ y của điểm (x; y) nằm trong miền tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB.
c) Nêu nhận xét về tổng x + y của điểm (X; y) nằm trong miền tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của F(x, y) trên miền tam giác OAB.
Phương pháp giải:
a) Thay tọa độ điểm O, A, B vào F(x;y) và tính giá trị.
b) Lấy một điểm bất kì trong miền tam giác OAB.
Xác định dấu:
+ So sánh x với 0
+ So sánh y với 0
Đánh giá biểu thức F(x;y) dựa vào dấu của x và y, từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
c)
Dựa vào biểu thức
Giá trị lớn nhất: Tách 2x+3y =2.(x+y)+y và dựa vào việc đánh giá x+y và y ở bước trên để tìm giá trị lớn nhất.
Lời giải:
a) Thay tọa độ điểm O, A, B vào F(x;y) ta được:
F(0;0)=2.0+3.0=0
F(150;0)=2.150+3.0=300
F(0;150)=2.0+3.150=450.
b) Lấy một điểm bất kì trong miền tam giác OAB.
Vì miền OAB là miền nghiệm của hệ bất phương trình nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB thỏa mãn .
Vì miền OAB là miền nghiệm của hệ bất phương trình nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB thỏa mãn .
Vậy và .
=>
Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x;y) trên miền OAB là 0.
c) Vì miền OAB là miền nghiệm của hệ bất phương trình nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB thỏa mãn
Như vậy với mỗi điểm trong miền tam giác OAB thì đều có tổng
Quan sát miền OAB ta thấy điểm B(0;150) là điểm có tung độ lớn nhất nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB đều có .
Vậy ta có:
Dấu “=” xảy ra khi x+y=150 và y=150. Hay x=0, y=150.
Giá trị lớn nhất trên miền OAB là 450 tại điểm B.
Giải Toán 10 trang 30 Tập 1 Kết nối tri thức
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương
trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi F (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B. Hãy biểu diễn F theo x và y.
c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó đề lợi nhuận thu được là lớn nhất.
Phương pháp giải:
a)
Bước 1: Lập bảng thể hiện vốn và lợi nhuận của mỗi loại máy.
Bước 2: Dựa vào các điều kiện sau để lập bất phương trình:
+ Số lượng là số tự nhiên
+ Điều kiện vốn ban đầu
+ Nhu cầu hàng tháng
Bước 3: Xác định miền nghiệm.
b) Lợi nhuận hàng tháng bằng lợi nhuận bán x máy loại A và y máy loại B.
c)
Bước 1: Xác định giá trị của F tại các điểm thuộc miền đa giác biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ở câu a.
Bước 2: Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các số tìm được ở bước 1.
Lời giải:
a)
Bước 1: Ta có:
|
Loại A |
Loại B |
Giá mua vào |
10 triệu đồng/1 máy |
20 triệu đồng/1 máy |
Lợi nhuận |
2,5 triệu đồng/1 máy |
4 triệu đồng/1 máy |
Bước 2: Lập hệ bất phương trình
Vì số lượng máy là số tự nhiên nên ta có
Vốn nhập vào x máy loại A và y máy loại B là (triệu đồng)
4 tỉ đồng=4000 (triệu đồng)
Vì số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng nên ta có bất phương trình
Vì tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy nên ta có .
Vậy ta có hệ bất phương trình
Bước 3: Xác định miền nghiệm
Miền nghiệm là tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh này là O(0;0), A(250;0), B(100;150), C(0;200)
b) Lợi nhuận hàng tháng là F(x;y)=2,5x+4y(triệu đồng)
c) Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) khi (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình
Ta có F(0;0)=0, F(250;0)=2,5.250+4.0=625
F(100;150)=2,5.100+4.150=850
F(0;200)=2,5.0+4.200=800
Giá trị lớn nhất là F(100;150)=850.
Vậy cửa hàng cần đầu tư kinh doanh 100 máy A và 150 máy B.
Bài tập
a)
b)
c)
d)
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định số lượng các ẩn của từng bất phương trình, nếu số ẩn vượt quá 2 ẩn thì đó không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bước 2: Nếu bất phương trình có số mũ ở một ẩn lớn hơn 1 thì hệ đó không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Lời giải:
a) Ta thấy hệ gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn là và
=> Hệ trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Ta thấy hệ không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (chứa )
c) Ta thấy hệ không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có 3 ẩn)
d) Ta có:
Đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn là và
Chú ý:
Bất phương trình dạng ax<0 cũng là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì ở đây ta có hệ số b=0.
a)
b)
c)
Phương pháp giải:
Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Lời giải:
a)
Xác định miền nghiệm của bất phương trình
+ Vẽ đường thẳng d:
+ Vì nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O.
Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) không kể trục Oy.
Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;-1) không kể trục Ox.
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền màu vàng (Không kể đoạn thẳng AB và các trục tọa độ).
b)
Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) kể cả trục Oy.
Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) kể cả trục Ox.
Xác định miền nghiệm của bất phương trình
+ Vẽ đường thẳng d:
+ Vì nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.
Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác OAB (kể cả các đoạn thẳng OA, OB, AB).
c)
Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) kể cả trục Oy.
Xác định miền nghiệm của bất phương trình
+ Vẽ đường thẳng d:
+ Vì nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình .
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O.
Xác định miền nghiệm của bất phương trình
+ Vẽ đường thẳng d:
+ Vì nên tọa độ điểm (1;0) không thỏa mãn bất phương trình
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d’ không chứa điểm (1;0).
Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền màu nâu (không kể d và d’)
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn F theo x và y.
c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.
a,
Phương pháp giải:
Dựa vào:
+ Số đơn vị tối thiểu của Protein
+ Số đơn vị tối thiểu của Lipit
+ Số kg tối đa thịt bò
+ Số kg tối đa thịt lợn.
Lời giải:
|
Thịt bò |
Thịt lợn |
Protein |
800/1kg |
600/1kg |
Lipit |
200/1kg |
400/1kg |
Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.
Số lượng thịt bò và thịt lợn phải là một số không âm nên ta có: .
Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein trong thức ăn mỗi ngày nên ta có:
Một gia đình cần ít nhất 400 đơn vị protein trong thức ăn mỗi ngày nên ta có:
Vì gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn nên ta có:
và .
Vậy ta có hệ:
Miền nghiệm của hệ là tứ giác ABCD với
A(1,6;0,2) (giao của d’ và đường thẳng x=1,6)
B(1,6;1,1) (giao của đường thẳng x=1,6 và đường thẳng y=1,1)
C(0,3;1,1) (giao của d và đường thẳng y=1,1)
D(0,6;0,7) (giao của d và d’)
Vì số tiền mỗi kg thịt bò và thịt lợn lần lượt là 250 nghìn đồng và 160 nghìn đồng nên ta có
(nghìn đồng)
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) khi (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình
Ta có F(1,6;0,2)=250.1,6+160.0,2=432.
F(1,6;1,1)=250.1,6+160.1,1=576
F(0,3;1,1)=251
F(0,6;0,7)=262
Giá trị nhỏ nhất là F(0,3;1,1)=251.
Vậy để chi phí ít nhất thì cần mua 0,3kg thịt bò và 1,1 thịt lợn.
Chú ý:
Đơn vị của F phải là nghìn đồng.
b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn F theo x và y.
Phương pháp giải:
Dựa vào số tiền mỗi kg thịt lợn và thịt bò để lập biểu thức.
Lời giải:
Vì số tiền mỗi kg thịt bò và thịt lợn lần lượt là 250 nghìn đồng và 160 nghìn đồng nên ta có
(nghìn đồng)
c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định giá trị của F tại các điểm thuộc miền đa giác biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ở câu a.
Bước 2: Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các số tìm được ở bước 1.
Lời giải:
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) khi (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình
Ta có F(1,6;0,2)=250.1,6+160.0,2=432.
F(1,6;1,1)=250.1,6+160.1,1=576
F(0,3;1,1)=251
F(0,6;0,7)=262
Giá trị nhỏ nhất là F(0,3;1,1)=251.
Vậy để chi phí ít nhất thì cần mua 0,3kg thịt bò và 1,1 thịt lợn.
Lý thuyết Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Cặp số là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó.
Ví dụ:
là một hệ bất phương trình hai ẩn gồm 2 bất phương trình và .
không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bởi là bất phương trình bậc hai 2 ẩn.
- Cho hệ bất phương trình hai ẩn .
Cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x + y > 9 và cũng là nghiệm của bất phương trình x – y < 9. Nên cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình trên.
2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ
- Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.
- Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
- Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
+ Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.
+ Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Ví dụ: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn::
Bước 1: Xác định miền nghiệm D1 của bất phương trình x ≥ 0 và gạch bỏ phần miền còn lại.
- Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.
- Miền nghiệm D1 của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy nằm bên phải trục Oy.
Bước 2: Tương tự, miền nghiệm D2 của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trên trục Ox.
Bước 3: Miền nghiệm D3 của bất phương trình x + y ≤ 150:
- Vẽ đường thẳng d: x + y = 150.
- Vì 0 + 0 ≤ 150 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 150.
Do đó, miền nghiệm D3 của bất phương trình x + y ≤ 150 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.
Từ đó ta có miền nghiệm tô màu xanh chính là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
3. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Nhận xét: Tổng quát, người ta chứng minh được rằng giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức , với là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác , tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác, đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.
Ví dụ: Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: và . Tìm giá trị lớn nhất của .
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.
- Xác định miền nghiệm D1 của bất phương trình x ≥ 0.
- Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.
- Miền nghiệm D1 của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy nằm bên phải trục Oy.
- Tương tự, miền nghiệm D2 của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trên trục Ox.
- Miền nghiệm D3 của bất phương trình x + y ≤ 100:
+ Vẽ đường thẳng d1: x + y = 100.
+ Vì 0 + 0 ≤ 100 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 100.
Do đó, miền nghiệm D3 của bất phương trình x + y ≤ 100 là nửa mặt phẳng bờ d1 chứa gốc tọa độ O.
- Miền nghiệm D4 của bất phương trình 2x + y ≤ 120:
+ Vẽ đường thẳng d2: 2x + y = 120.
+ Vì 2. 0 + 0 ≤ 120 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 120.
Do đó, miền nghiệm D4 của bất phương trình 2x + y ≤ 120 là nửa mặt phẳng bờ d2 chứa gốc tọa độ O.
Từ đó ta có miền nghiệm tô màu xanh chính là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với O(0;0), A(0;100), B(20;80) và C(60;0).
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của tứ giác
F(O) = 0; F(A) = 200; F(B) = 230; F(C) = 210.
Bước 3: So sánh các giá trị thu được ở Bước 2, kết luận giá trị lớn nhất của là 230.
Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn