Vận dụng trang 30 Toán lớp 10: Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng. Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng mỗi máy. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương

trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi F (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó đề lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Phương pháp giải:

a)

Bước 1: Lập bảng thể hiện vốn và lợi nhuận của mỗi loại máy.

Bước 2: Dựa vào các điều kiện sau để lập bất phương trình:

+ Số lượng là số tự nhiên

+ Điều kiện vốn ban đầu

+ Nhu cầu hàng tháng

Bước 3: Xác định miền nghiệm.

b) Lợi nhuận hàng tháng bằng lợi nhuận bán x máy loại A và y máy loại B.

c)

Bước 1: Xác định giá trị của F tại các điểm thuộc miền đa giác biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ở câu a.

Bước 2: Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các số tìm được ở bước 1.

Lời giải:

a)

Bước 1: Ta có:

Bước 2: Lập hệ bất phương trình

Vì số lượng máy là số tự nhiên nên ta có $x\ge 0;y\ge 0$

Vốn nhập vào x máy loại A và y máy loại B là $10x+20y$(triệu đồng)

4 tỉ đồng=4000 (triệu đồng)

Vì số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng nên ta có bất phương trình

$10x+20y\le 4000$ $\iff x+2y\le 400$

Vì tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy nên ta có $x+y\le 250$.

Vậy ta có hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+2y\le 400\\ x+y\le 250\end{array}$

Bước 3: Xác định miền nghiệm

Miền nghiệm là tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh này là O(0;0), A(250;0), B(100;150), C(0;200)

b) Lợi nhuận hàng tháng là F(x;y)=2,5x+4y(triệu đồng)

c) Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) khi (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+2y\le 400\\ x+y\le 250\end{array}$

Ta có F(0;0)=0, F(250;0)=2,5.250+4.0=625

F(100;150)=2,5.100+4.150=850

F(0;200)=2,5.0+4.200=800

Giá trị lớn nhất là F(100;150)=850.

Vậy cửa hàng cần đầu tư kinh doanh 100 máy A và 150 máy B.

Bài tập

Bài 2.4 trang 30 Toán lớp 10: Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $\{\begin{array}{l}x<0\\ y\ge 0\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}x+y^2<0\\ y-x>1\end{array}$

c) $\{\begin{array}{l}x+y+z<0\\ y<0\end{array}$

d) $\{\begin{array}{l}-2x+y<3^2\\ 4^{2}x+3y<1\end{array}$

Lời giải:

a) Ta thấy hệ $\{\begin{array}{l}x<0\\ y\ge 0\end{array}$ gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn là $x<0$ và $y\ge 0$

=> Hệ trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Ta thấy hệ $\{\begin{array}{l}x+y^2<0\\ y-x>1\end{array}$ không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì $x+y^2<0$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (chứa $y^2$)

c) Ta thấy hệ $\{\begin{array}{l}x+y+z<0\\ y<0\end{array}$ không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì $x+y+z<0$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có 3 ẩn)

d) Ta có:

 $\{\begin{array}{l}-2x+y<3^2\\ 4^{2}x+3y<1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-2x+y<9\\ 16x+3y<1\end{array}$

Đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn là $-2x+y<9$ và $16x+3y<1$

Chú ý:

Bất phương trình dạng ax<0 cũng là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì ở đây ta có hệ số b=0.

Bài 2.5 trang 30 Toán lớp 10: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) $\{\begin{array}{l}y-x<-1\\ x>0\\ y<0\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+y\le 4\end{array}$

c) $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x+y>5\\ x-y>0\end{array}$

Phương pháp giải:

Lời giải:

a)

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $y-x<-1$

+ Vẽ đường thẳng d: $-x+y=-1$

+ Vì $-0+0=0>-1$ nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình $y-x<-1$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $y-x<-1$ là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O.

Miền nghiệm của bất phương trình $x>0$ là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) không kể trục Oy.

Miền nghiệm của bất phương trình $y<0$ là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;-1) không kể trục Ox.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền màu vàng (Không kể đoạn thẳng AB và các trục tọa độ).

b)

Miền nghiệm của bất phương trình $x\ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) kể cả trục Oy.

Miền nghiệm của bất phương trình $y\ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) kể cả trục Ox.

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $2x+y\le 4$

+ Vẽ đường thẳng d: $2x+y=4$

+ Vì $2.0+0=0<4$ nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình $2x+y\le 4$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $2x+y\le 4$ là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác OAB (kể cả các đoạn thẳng OA, OB, AB).

c)

Miền nghiệm của bất phương trình $x\ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) kể cả trục Oy.

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x+y>5$

+ Vẽ đường thẳng d: $x+y=5$

+ Vì $0+0=0<5$ nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình $x+y>5$.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x+y>5$ là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O.

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x-y<0$

+ Vẽ đường thẳng d: $x-y=0$

+ Vì $1-0=1>0$ nên tọa độ điểm (1;0) không thỏa mãn bất phương trình $x-y<0$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x-y<0$ là nửa mặt phẳng bờ d’ không chứa điểm (1;0).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền màu nâu (không kể d và d’)

Bài 2.6 trang 30 Toán lớp 10: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn, giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.