Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thỏa mãn Vecto AD = 1/3 .Vecto AB, Vecto AE = 2/5 .Vecto AC, Vecto BM = 1/3 Vecto BC

Với giải Bài 55* trang 100 SBT Toán lớp 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 5: Tích của một số với một vectơ giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 55* trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thỏa mãn $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ , $\vec{A E} = \frac{2}{5} \vec{A C}$ , $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ , $\vec{A N} = k \vec{A M}$ với k là số thực. Đặt $\vec{a} = \vec{A B}$ , $\vec{b} = \vec{A C}$ . Biểu thị các vectơ $\vec{A N}$ , $\vec{D E}$ , $\vec{E N}$ theo các vectơ $\vec{a} = \vec{A B}$ , $\vec{b} = \vec{A C}$ và tìm k để ba điểm D, E, N thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có:

$\vec{A N} = k \vec{A M} = k . (\vec{A B} + \vec{B M}) = k . (\vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{B C}) = k . [\vec{A B} + \frac{1}{3} (\vec{A C} - \vec{A B})]$

= $k . [\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}]$ = $k . [\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}]$ .

$\vec{D E} = \vec{A E} - \vec{A D} = \frac{2}{5} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A B} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C} = - \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b}$

$\vec{E N} = \vec{A N} - \vec{A E} = k . [\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}] - \frac{2}{5} \vec{A C} = \frac{2 k}{3} \vec{A B} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{A C} = \frac{2 k}{3} \vec{a} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{b}$

Để ba điểm D, E, N thẳng hàng thì tồn tại t ∈ ℝ sao cho $\vec{E N} = t \vec{D N}$

⇔ $\frac{2 k}{3} \vec{a} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{b} = t (- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b})$

⇔ $\frac{2 k}{3} \vec{a} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{b} = - \frac{t}{3} \vec{a} + \frac{2 t}{5} \vec{b}$

⇔ $\{\begin{cases} \frac{2 k}{3} = - \frac{t}{3} \\ \frac{k}{3} - \frac{2}{5} = \frac{2 t}{5} \end{cases}$ ⇔ $\{\begin{cases} k = \frac{6}{17} \\ t = - \frac{12}{17} \end{cases}$

Do đó ba điểm D, E, N thẳng hàng khi k = $\frac{6}{17}$ .

Vậy $\vec{A N} = k . [\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}]$ , $\vec{D E} = - \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{5} \vec{b}$ , $\vec{E N} = \frac{2 k}{3} \vec{a} + (\frac{k}{3} - \frac{2}{5}) \vec{b}$ và với k = $\frac{6}{17}$ thì ba điểm D, E, N thẳng hàng.