Trả lời nhanh
Dựng OA = a, AB = b thì OB = a + b. Vì a, b không cùng phương nên O, A, B không thẳng hàng, tạo thành tam giác OAB thật sự. Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có |OA − AB| < OB < OA + AB, tức là ||a| − |b|| < |a + b| < |a| + |b|. Từ đó suy ra |a| − |b| < |a + b| < |a| + |b|.
Đề bài và cách hiểu đề
Đề bài: Chứng minh rằng với hai vectơ không cùng phương a và b, ta có |a| − |b| < |a + b| < |a| + |b|.
Chú ý: hai vectơ “không cùng phương” thì cả hai đều khác vectơ-không (vì vectơ-không cùng phương với mọi vectơ). Điều này rất quan trọng, vì nó cho phép ta nói tới góc giữa a và b và dựng được một tam giác thật sự.
Một số đề viết vế giữa là |a − b| thay cho |a + b|. Cách chứng minh hoàn toàn tương tự, và ở cuối bài có phần xử lý dạng này.
Cách 1: Dùng bất đẳng thức tam giác (hình học)
Bước 1 – Dựng hình. Lấy điểm O bất kì, dựng OA = a, rồi từ A dựng AB = b. Theo quy tắc ba điểm, OB = OA + AB = a + b.
Bước 2 – Chỉ ra O, A, B không thẳng hàng. Giả sử O, A, B thẳng hàng. Khi đó giá của OA và AB trùng nhau, nên a và b cùng phương – trái giả thiết. Vậy O, A, B không thẳng hàng và OAB là một tam giác.
Bước 3 – Dùng bất đẳng thức tam giác. Trong tam giác OAB, mỗi cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại và lớn hơn hiệu của chúng:
- OB < OA + AB, nghĩa là |a + b| < |a| + |b|.
- OB > |OA − AB|, nghĩa là |a + b| > ||a| − |b||.
Bước 4 – Kết luận. Vì |a| − |b| ≤ ||a| − |b|| nên |a| − |b| < |a + b|. Vậy |a| − |b| < |a + b| < |a| + |b|. Thực ra ta đã chứng minh được kết quả mạnh hơn: ||a| − |b|| < |a + b| < |a| + |b|.
Cách 2: Dùng tích vô hướng (Toán 10)
Gọi θ là góc giữa a và b. Vì a, b không cùng phương nên 0° < θ < 180°, suy ra −1 < cos θ < 1 (bất đẳng thức chặt).
Ta có:
|a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b|cos θ.
Vì |a||b| > 0 và −1 < cos θ < 1 nên:
|a|2 + |b|2 − 2|a||b| < |a + b|2 < |a|2 + |b|2 + 2|a||b|,
tức là (|a| − |b|)2 < |a + b|2 < (|a| + |b|)2.
Lấy căn bậc hai các vế không âm: ||a| − |b|| < |a + b| < |a| + |b|. Từ đó có điều phải chứng minh.
Vì sao phải có điều kiện “không cùng phương”?
Nếu a, b cùng phương thì các dấu “<" có thể trở thành dấu "=":
| Trường hợp | Góc θ | Kết quả |
|---|---|---|
| a, b cùng hướng | 0° | |a + b| = |a| + |b| |
| a, b ngược hướng | 180° | |a + b| = ||a| − |b|| |
| a, b không cùng phương | 0° < θ < 180° | ||a| − |b|| < |a + b| < |a| + |b| |
Nói cách khác, “không cùng phương” chính là điều kiện để cả hai dấu bằng đều không xảy ra, tương ứng với việc ba điểm O, A, B không thẳng hàng.
Ví dụ kiểm tra bằng số
Lấy a = (3; 0) và b = (0; 4) – hai vectơ không cùng phương. Khi đó a + b = (3; 4), |a + b| = 5, còn |a| + |b| = 7 và ||a| − |b|| = 1. Ta thấy 1 < 5 < 7, đúng như kết quả.
Dạng với |a − b|
Nếu a, b không cùng phương thì a và −b cũng không cùng phương. Áp dụng kết quả trên cho a và −b, với |−b| = |b|, ta được ||a| − |b|| < |a − b| < |a| + |b|. Đây là mẹo "đổi b thành −b" rất hay dùng.
Lỗi sai thường gặp
- Quên chứng minh O, A, B không thẳng hàng. Đây là bước quyết định để dấu bằng không xảy ra; thiếu bước này bài chỉ chứng minh được dấu ≤.
- Dựng sai vectơ tổng. Phải đặt AB = b nối đuôi tại A (quy tắc ba điểm), không đặt hai vectơ cùng gốc rồi lấy cạnh nối hai đầu mút – đó là a − b.
- Viết |a + b| = |a| + |b| một cách tuỳ tiện. Đẳng thức này chỉ đúng khi a, b cùng hướng.
- Bình phương hai vế khi chưa chắc không âm. Vế |a| − |b| có thể âm, nên cách 2 ta chuyển sang ||a| − |b||.
Bài luyện tập
- Cho hai vectơ a, b không cùng phương, |a| = 5, |b| = 3. Chứng minh 2 < |a + b| < 8.
Đáp án: áp dụng kết quả: ||a| − |b|| = 2 và |a| + |b| = 8. - Cho |a| = |b| = 1, a và b không cùng phương. Chứng minh 0 < |a + b| < 2.
Đáp án: ||a| − |b|| = 0 và |a| + |b| = 2, nên 0 < |a + b| < 2. (Bất đẳng thức bên trái chặt vì a + b ≠ 0 khi a, b không ngược hướng.) - Cho tam giác ABC. Chứng minh |AB + AC| < AB + AC.
Đáp án: vì A, B, C không thẳng hàng nên AB, AC không cùng phương; áp dụng kết quả của bài. Hoặc: gọi M là trung điểm BC thì |AB + AC| = 2AM, và AM < (AB + AC)/2.
Mẹo nhớ
Hãy nhớ hình tam giác: độ dài cạnh tổng OB luôn nằm giữa “hiệu hai cạnh” và “tổng hai cạnh”. Hễ thấy “không cùng phương” trong bài vectơ về độ dài, hãy nghĩ ngay tới việc dựng tam giác.
Câu hỏi thường gặp
Hai vectơ không cùng phương thì |a + b| có thể bằng |a| + |b| không?
Không. Đẳng thức |a + b| = |a| + |b| chỉ xảy ra khi a và b cùng hướng (góc 0°). Với hai vectơ không cùng phương, bất đẳng thức luôn chặt: |a + b| < |a| + |b|.
Vì sao có thể viết |a| − |b| < |a + b| mà không cần dấu giá trị tuyệt đối?
Vì ||a| − |b|| < |a + b| và |a| − |b| ≤ ||a| − |b||, nên |a| − |b| < |a + b|. Khi |a| < |b| thì vế trái âm, bất đẳng thức đúng hiển nhiên.
Bất đẳng thức này có đúng với |a − b| không?
Có. Thay b bằng −b (vẫn không cùng phương với a, cùng độ dài) ta được ||a| − |b|| < |a − b| < |a| + |b|.
Nên chọn cách chứng minh nào khi làm bài?
Cách hình học dùng bất đẳng thức tam giác ngắn gọn, phù hợp khi chưa học tích vô hướng. Cách tích vô hướng chặt chẽ bằng đại số và tiện khi đã biết công thức |a + b|² .