Với giải sách bài tập Toán 7 Bài 25: Đa thức một biến sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 7. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 7 Bài 25: Đa thức một biến

Giải SBT Toán 7 trang 24 Tập 2

Bài 7.7 trang 24 SBT Toán 7 Tập 2: Trong các biểu thức sau đây, biểu thức nào là đa thức một biến?

a) $\frac{x^2}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}$ ;

b) $\sqrt{2x}$ ;

c) $(1-\sqrt{2})x^3+2$ ;

d) $x+\frac{1}{x}$ .

Lời giải:

a) Ta có : $\frac{x^2}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}{x}^2-\sqrt{3}$  là đa thức một biến.

b) $\sqrt{2x}$ không là đa thức một biến.

c)  $(1-\sqrt{2})x^3+2$ là đa thức một biến.

d) $x+\frac{1}{x}$ không là đa thức một biến.

Giải SBT Toán 7 trang 25 Tập 2

Bài 7.8 trang 25 SBT Toán 7 Tập 2: Thu gọn và sắp xếp mỗi đa thức sau đây theo lũy thừa giảm của biến rồi tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đó.

a) F(x) = −2 + 4x⁵ − 2x³ − 4x⁵ + 3x +3;

b) G(x) = −5x³ + 4 −3x + 4x³ + x² + 6x – 3.

Lời giải:

a) F(x) = −2 + 4x⁵ − 2x³ − 4x⁵ + 3x +3

= (4x⁵ − 4x⁵) − 2x³ + 3x + (−2 + 3)

= −2x³ + 3x + 1.

Kết quả ta được F(x) = −2x³ + 3x + 1.

Vì hạng tử có bậc cao nhất là −2x³, bậc 3, nên F(x) là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là  −2 và hệ số tự do là 1.

b) G(x) = −5x³ + 4 −3x + 4x³ + x² + 6x − 3

= (−5x³ + 4x³) + x² + (−3x + 6x) + (4 − 3)

= −x³ + x² + 3x + 1

Kết quả ta được G(x) = −x³ + x² + 3x + 1

Vì hạng tử có bậc cao nhất là −x³, bậc 3, nên G(x) là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là  −1 và hệ số tự do là 1.

Bài 7.9 trang 25 SBT Toán 7 Tập 2: Bằng cách tính giá trị của đa thức F(x) = x³ + 2x² + x tại các giá trị của x thuộc tập hợp {−2; −1; 0; 1; 0}, hãy tìm hai nghiệm của đa thức F(x).

Lời giải:

Ta có: F(−2) = (−2)³ + 2 . (−2)² − 2 = −8 + 2.4 − 2 = −8 + 8 − 2 = −2.

F(−1) = (−1)³ + 2 . (−1)² − 1 = −1 + 2.1 − 1 = −1 + 2 − 1 = 0.

F(0) = 0³ + 2 . 0² − 0 = 0.

F(2) = (2)³ + 2 . 2² + 2 = 8 + 2.4 + 2 = 8 + 8 + 2 = 18.

Vậy hai nghiệm của đa thức F(x) là x = −1 và x = 0.

Bài 7.10 trang 25 SBT Toán 7 Tập 2: Tìm đa thức P(x) bậc 3 thỏa mãn các điều kiện sau:

• P(x) khuyết hạng tử bậc hai

• Hệ số cao nhất là 4

• Hệ số tự do là 0

• x =  là một nghiệm của P(x)

Lời giải:

Gọi đa thức P(x) có dạng ax³ + bx² + cx + d .

Vì P(x) khuyết hạng tử bậc hai nên b = 0, khi đó P(x) = ax³ + cx + d.

Ta có hệ số cao nhất của đa thức P(x) là 4 nên a = 4.

Ta lại có hệ số tự do của đa thức P(x) là 0 nên d = 0.

Do đó P(x) = 4x³ + cx

Vì x =  $\frac{1}{2}$ là một nghiệm của P(x) nên

P$\left(\frac{1}{2}\right)$ = 4 . ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$ + c . $\frac{1}{2}$ = 0

4 .  $\frac{1}{8}$+ c . $\frac{1}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}$ + c . $\frac{1}{2}$ = 0

c = −1.

Vậy P(x) = 4x³ − x.

Bài 7.11 trang 25 SBT Toán 7 Tập 2: Cho hai đa thức A(x) = −x⁴ + 2,5x³ + 3x² − 4x và B(x) = x⁴ + $\sqrt{2}$ .

a) Chứng tỏ rằng x = 0 là nghiệm của đa thức A(x) nhưng không là nghiệm của đa thức B(x).

b) Chứng tỏ rằng đa thức B(x) không có nghiệm.

Lời giải:

a) Thay x = 0 vào đa thức A(x), ta được:

A(0) = −0⁴ + 2,5.0³ + 3.0² − 4.0 = 0

Do đó x = 0 là nghiệm của đa thức A(x).

Thay x = 0 vào đa thức B(x) ta được:

B(0) = 0⁴ + $\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$ ≠ 0

Do đó x = 0 không là nghiệm của đa thức B(x).

b) Ta biết bằng x⁴ ≥ 0 với mọi giá trị của x.

Do đó B(x) = x⁴ + $\sqrt{2}$  ≥ $\sqrt{2}$ > 0 với mọi giá trị của x.

Vậy B(x) không có nghiệm.

Bài 7.12 trang 25 SBT Toán 7 Tập 2: Biết rằng hai đa thức G(x) = x² −3x + 2 và H(x) = x² + x − 6 có một nghiệm chung. Hãy tìm nghiệm chung đó.

Lời giải:

Giả sử a là nghiệm chung của cả hai đa thức, ta có: G(a) = H(a) = 0

Ta có: G(a) = a² −3a + 2 và H(a) = a² + a − 6

Từ đó suy ra:

(a² − 3a + 2) − (a² + a − 6) = G(a) − H(a) = 0

Thu gọn vế trái ta được:

a² − 3a + 2 − a² − a + 6 = (a² − a²) + (−3a − a) + (2 + 6)= −4a + 8 = 0.

Suy ra a = 2.

Thử lại bằng cách tính G(2) và H(2), ta thấy x = 2 đúng là nghiệm của cả hai đa thức G(x) và H(x).

Bài 7.13 trang 25 SBT Toán 7 Tập 2: Người ta định dùng những viên gạch với kích thước như nhau để xây một bức tường (có dạng hình hộp chữ nhật) dày 20 cm, dài 6m và cao x (m). Số gạch đã có là 450 viên.

a) Tìm đa thức (biến x) biểu thị số gạch cần mua thêm để xây tường, biết rằng cứ xây mỗi mét khối tường thì cần 542 viên gạch. Xác định bậc và hệ số tự do của đa thức đó.

b) Nếu chỉ dùng số gạch sẵn có thì xây được bức tường cao khoảng bao nhiêu mét? (tính chính xác đến 0,1 m).

Lời giải:

a) Đổi 20cm = 0,2 m

Bức tường có dạng hình hộp chữ nhật với ba kích thước là 0,2 m; 6 m và x (m) (x > 0).

Thể tích của nó là: 0,2.6.x = 1,2x (m³).

Mỗi mét khối tường xây hết 542 viên gạch nên số gạch cần dùng để xây bức tường là: 542.1,2x = 650,4x (viên).

Số gạch đã có là 450 viên.

Vậy số gạch cần mua thêm là:

F(x) = 650,4x − 450.

b) Nếu chỉ dùng số gạch sẵn có để xây tường thì số gạch mua thêm là 0, tức là:

650,4x – 450 = 0

Từ đó ta tính được:

x = 450 : 650,4 ≈ 0,7 (m).

Vậy nếu chỉ dùng số gạch có sẵn thì xây được bức tường cao khoảng 0,7 m.

Bài 7.14 trang 25 SBT Toán 7 Tập 2: Tìm các hệ số p và q của đa thức F(x) = x² + px + q, biết rằng với số a tùy ý, giá trị của F(x) tại x = a, tức là F(a) luôn bằng (a + 2)².

Lời giải:

Theo đề bài, với a là một số tùy ý, ta luôn có:

a² + pa + q = (a + 2)² (1)

Chọn a = 0 thì phương trình (1) trở thành :

0 + 0p + q = (2 + 2)² suy ra q = 4

Khi đó F(a) = a² + pa + 4 = (a + 2)² (2)

Chọn a = 1 thì phương trình (2) trở thành:

1² + p.1 + 4 = (1 + 2)²

1 + p + 4 = 3²

p = 9 − 1 − 4 = 4

Vậy q = 4 và p = 4.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

SBT Toán 7 Bài 24: Biểu thức đại số

SBT Toán 7 Bài 25: Đa thức một biến

SBT Toán 7 Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

SBT Toán 7 Bài 27: Phép nhân đa thức một biến

SBT Toán 7 Bài 28: Phép chia đa thức một biến

Lý thuyết Đa thức một biến

1. Đơn thức một biến

• Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một lũy thừa của biến, trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của lũy thừa của biến gọi là bậc của đơn thức.

• Cộng (hay trừ) hai đơn thức cùng bậc bằng cách cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên lũy thừa của biến. Tổng nhận được là một đơn thức.

• Nhân hai đơn thức tùy ý bằng cách nhân hai hệ số với nhau và nhân hai lũy thừa của biến với nhau. Tích nhận được là một đơn thức.

Ví dụ:

+ Biểu thức 5x² là một đơn thức, trong đó 5 là hệ số, số mũ 2 của x là bậc của đơn thức đó.

+ Đơn thức $-\frac{1}{2}x$ có hệ số là $-\frac{1}{2}$ và có bậc là 1 vì x = x¹.

+ Đơn thức x⁴ có hệ số là 1 (vì x⁴ = 1x⁴) và bậc là 4.

+ Cộng hai đơn thức cùng bậc: 2x³ + 7x³ = (2 + 7)x³ = 9x³.

+ Trừ hai đơn thức cùng bậc: – 4x⁵ – x⁵ = (– 4 – 1)x⁵ = – 5x⁵.

+ Nhân hai đơn thức: – 3x².$\left(\frac{2}{3}x\right)$ = $\left(-3\cdot \frac{2}{3}\right)\left(x^2\cdot x\right)$ = – 2x³.

Chú ý:

• Một số khác 0 được gọi là đơn thức bậc 0.

Chẳng hạn, số 3 là đơn thức bậc 0 vì có thể coi 3 = 3x⁰.

• Số 0 cũng được coi là một đơn thức. Đơn thức này không có bậc.

2. Khái niệm đa thức một biến

• Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng của những đơn thức của cùng một biến; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

• Một đơn thức cũng là một đa thức.

• Số 0 cũng được coi là một đa thức, gọi là đa thức không.

Ví dụ:

+ Biểu thức – 4x⁴ + 2x – 10 là đa thức một biến với các hạng tử là – 4x⁴; 2x và – 10.

+ Các đơn thức x⁴; $\sqrt{2}x$; – 1 cũng là đa thức.

Chú ý:

• Ta thường kí hiệu đa thức bằng một chữ cái in hoa. Đôi khi còn viết thêm kí hiệu biến trong ngoặc đơn.

Chẳng hạn: M = M(x) = x³ – 2x² + 7x + 1.

3. Đa thức một biến thu gọn

• Đa thức thu gọn là đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc.

• Nếu một đa thức có chứa những đơn thức cùng bậc (đa thức chưa thu gọn) thì ta có thể đưa nó về dạng thu gọn.

Ví dụ:

+ Đa thức A = 5x² + 6x³ – x + 1 là đa thức thu gọn vì không có hai đơn thức nào cùng bậc.

+ Đa thức B = – 3x² – 12 + x⁵ + x² – 2x⁴ là đa thức chưa thu gọn vì có hai đơn thức cùng bậc là – 3x² và x².

Để thu gọn đa thức B = – 3x² – 12 + x⁵ + x² – 2x⁴ ta làm như sau:

B = – 3x² – 12 + x⁵ + x² – 2x⁴

= (– 3x² + x²) – 12 + x⁵ – 2x⁴← Đổichỗ và nhóm hai đơn thức cùng bậc 2

= (– 3 + 1)x² – 12 + x⁵ – 2x⁴← Cộng hai đơn thức cùng bậc

= –2x² – 12 + x⁵ – 2x⁴← Đa thức thu gọn

4. Sắp xếp đa thức một biến

• Đối với các đa thức khác đa thức 0, để thuận lợi cho việc tính toán các đa thức một biến, người ta thường viết chúng dưới dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm dần của biến.

Ví dụ:

+ Sắp xếp đa thức P = 7x² – 3x +1 – 2x⁴ theo lũy thừa giảm dần của biến ta được:

P = – 2x⁴ + 7x² – 3x + 1

+ Đa thức P = – 2x⁴ + 7x² – 3x + 1 có đơn thức bậc 4 và bậc 2 nhưng khuyết đơn thức bậc 3. Khi cần ta có thể viết là:

P = – 2x⁴ + 0x³ + 7x² – 3x + 1

Chú ý:

• Ta có thể sắp xếp đa thức theo lũy thừa tăng dần của biến.

Chẳng hạn, sắp xếp đa thức P = 7x² – 3x +1 – 2x⁴ theo lũy thừa tăng dần của biến, ta được: P =1 – 3x + 7x² – 2x⁴.

5. Bậc và các hệ số của một đa thức

Trong một đa thức thu gọn và khác đa thức 0:

• Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức đó.

• Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất của đa thức đó.

• Hệ số của hạng tử bậc 0 gọi là hệ số tự do của đa thức đó.

Ví dụ:

+ Để xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức Q = 2x³ – 3x² – x – 2x³ + 7 ta làm như sau:

Thu gọn đa thức Q

Q = 2x³ – 3x² – x – 2x³ + 7

= (2x³ – 2x³) – 3x² – x + 7

= – 3x² – x + 7

Trong dạng thu gọn của Q, hạng tử có bậc cao nhất là – 3x² nên bậc của đa thức Q là 2, hệ số cao nhất là – 3.

Hạng tử bậc 0 là 7 (vì 7 = 7x⁰) nên hệ số tự do là 7.

Chú ý:

• Đa thức không là đa thức không có bậc.

• Trong một đa thức thu gọn, hệ số cao nhất phải khác 0 (các hệ số khác có thể bằng 0)

• Muốn tìm bậc của một đa thức chưa thu gọn, ta phải thu gọn đa thức đó.

6. Nghiệm của đa thức một biến

• Nếu tại x = a (a là một số), đa thức F(x) có giá trị bằng 0, tức là F(a) = 0, thì ta gọi a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức F(x).

• Một đa thức có thể có nhiều nghiệm hoặc không có nghiệm.

• Một đa thức có hệ số tự do bằng 0 thì x = 0 là một nghiệm của đa thức đó.

Ví dụ:

+ Đa thức F(x) = x² – 4 có hai nghiệm là x = 2 và x = – 2 vì

F(2) = 2² – 4 = 0; F(– 2) = (– 2)² – 4 = 0.

+ Đa thức G(x) = 1 + x² không có nghiệm vì x² ≥ 0 với mọi giá trị của x.

Nên G(x) = 1 + x² ≥ 1 > 0.

+ Đa thức P(x) = x² + x có hệ số tự do là 0.

Mà ta có P(0) = 0² + 0 = 0. Do đó, x = 0 là một nghiệm của đa thức.