Phương pháp giải:

Bước 1: Thu gọn

Phương pháp giải:

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đã cho.

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}P(x)=5x^3+2x^4-x^2+3x^2-x^3-2x^4-4x^3\\ =\left(2x^4-2x^4\right)+\left(5x^3-x^3-4x^3\right)+\left(-x^2+3x^2\right)\\ =0+0+2x^2\\ =2x^2\\ Q(x)=3x-4x^3+8x^2-5x+4x^3+5\\ =\left(-4x^3+4x^3\right)+8x^2+\left(3x-5x\right)+5\\ =0+8x^2+(-2x)+5\\ =8x^2-2x+5\end{array}$

b) P(1) = 2.1² = 2

P(0) = 2. 0² = 0

Q(-1) = 8.(-1)² – 2.(-1) +5 = 8 +2 +5 =15

Q(0) = 8.0² – 2.0 + 5 = 5

Bài 7.8 trang 30 Toán lớp 7: Người ta dùng hai máy bơm để bơm nước vào một bể chứa nước. Máy thứ nhất bơm mỗi giờ được 22 m³ nước. Máy thứ hai bơm mỗi giờ được 16 m³ nước. Sau khi cả hai máy chạy trong x giờ, người ta tắt máy thứ nhất và để máy thứ hai chạy thêm 0,5 giờ nữa thì bể nước đầy. Hãy viết đa thức ( biến x) biểu thị dung tích bể (m³). Biết rằng trước khi bơm, trong bể có 1,5 m³ nước. Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó.

Lời giải:

Đa thức V(x) = 22.x + 16.x + 0,5.16 + 1,5 = (22+16).x + 8 + 1,5 = 38.x + 9,5

Hệ số cao nhất: 38

Hệ số tự do: 9,5

Bài 7.9 trang 30 Toán lớp 7: Viết đa thức F(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

• Bậc của F(x) bằng 3
• Hệ số của x² bằng hệ số của x và bằng 2
• Hệ số cao nhất của F(x) bằng -6 và hệ số tự do bằng 3.

Lời giải:

F(x) = -6x³ + 2x² + 2x + 3

Bài 7.10 trang 30 Toán lớp 7: Kiểm tra xem

a) $x=-{\displaystyle \frac{1}{8}}$ có phải là nghiệm của đa thức P(x) = 4x + ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ không?

b) Trong ba số 1; -1 và 2, số nào là nghiệm của đa thức Q(x) = x2 + x – 2 ?

Lời giải:

a) Ta có: P($-{\displaystyle \frac{1}{8}}$) = 4.($-{\displaystyle \frac{1}{8}}$)+ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$= (-${\displaystyle \frac{1}{2}}$) + ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ = 0

Vậy $x=-{\displaystyle \frac{1}{8}}$ là nghiệm của đa thức P(x) = 4x + ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

b) Q(1) = 12 +1 – 2 = 0

Q(-1) = (-1)2 + (-1) – 2 = -2

Q(2) = 22 + 2 – 2 = 4

Vì Q(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm của Q(x)

Bài 7.11 trang 30 Toán lớp 7: Mẹ cho Quỳnh 100 nghìn đồng. Quỳnh mua một bộ dụng cụ học tập có giá 37 nghìn đồng và một cuốn sách tham khảo môn Toán với giá x ( nghìn đồng).

a) Hãy tìm đa thức ( biến x) biểu thị số tiền Quỳnh còn lại ( đơn vị: nghìn đồng). Tìm bậc của đa thức đó.

b) Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho. Hỏi giá tiền của cuốn sách là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Đa thức C(x) = 100 – 37 – x = - x + 63

Bậc của đa thức là 1

b) Sau khi mua sách, ta có số tiền còn lại là 0 hay – x + 63 = 0

$\Rightarrow 63=x$ hay x = 63

Vậy giá tiền cuốn sách là 63 nghìn đồng

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 24: Biểu thức đại số

Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Luyện tập chung trang 34

Bài 27: Phép nhân đa thức một biến

Lý thuyết Đa thức một biến

1. Đơn thức một biến

• Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một lũy thừa của biến, trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của lũy thừa của biến gọi là bậc của đơn thức.

• Cộng (hay trừ) hai đơn thức cùng bậc bằng cách cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên lũy thừa của biến. Tổng nhận được là một đơn thức.

• Nhân hai đơn thức tùy ý bằng cách nhân hai hệ số với nhau và nhân hai lũy thừa của biến với nhau. Tích nhận được là một đơn thức.

Ví dụ:

+ Biểu thức 5x² là một đơn thức, trong đó 5 là hệ số, số mũ 2 của x là bậc của đơn thức đó.

+ Đơn thức $-\frac{1}{2}x$ có hệ số là $-\frac{1}{2}$ và có bậc là 1 vì x = x¹.

+ Đơn thức x⁴ có hệ số là 1 (vì x⁴ = 1x⁴) và bậc là 4.

+ Cộng hai đơn thức cùng bậc: 2x³ + 7x³ = (2 + 7)x³ = 9x³.

+ Trừ hai đơn thức cùng bậc: – 4x⁵ – x⁵ = (– 4 – 1)x⁵ = – 5x⁵.

+ Nhân hai đơn thức: – 3x².$\left(\frac{2}{3}x\right)$ = $\left(-3\cdot \frac{2}{3}\right)\left(x^2\cdot x\right)$ = – 2x³.

Chú ý:

• Một số khác 0 được gọi là đơn thức bậc 0.

Chẳng hạn, số 3 là đơn thức bậc 0 vì có thể coi 3 = 3x⁰.

• Số 0 cũng được coi là một đơn thức. Đơn thức này không có bậc.

2. Khái niệm đa thức một biến

• Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng của những đơn thức của cùng một biến; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

• Một đơn thức cũng là một đa thức.

• Số 0 cũng được coi là một đa thức, gọi là đa thức không.

Ví dụ:

+ Biểu thức – 4x⁴ + 2x – 10 là đa thức một biến với các hạng tử là – 4x⁴; 2x và – 10.

+ Các đơn thức x⁴; $\sqrt{2}x$; – 1 cũng là đa thức.

Chú ý:

• Ta thường kí hiệu đa thức bằng một chữ cái in hoa. Đôi khi còn viết thêm kí hiệu biến trong ngoặc đơn.

Chẳng hạn: M = M(x) = x³ – 2x² + 7x + 1.

3. Đa thức một biến thu gọn

• Đa thức thu gọn là đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc.

• Nếu một đa thức có chứa những đơn thức cùng bậc (đa thức chưa thu gọn) thì ta có thể đưa nó về dạng thu gọn.

Ví dụ:

+ Đa thức A = 5x² + 6x³ – x + 1 là đa thức thu gọn vì không có hai đơn thức nào cùng bậc.

+ Đa thức B = – 3x² – 12 + x⁵ + x² – 2x⁴ là đa thức chưa thu gọn vì có hai đơn thức cùng bậc là – 3x² và x².

Để thu gọn đa thức B = – 3x² – 12 + x⁵ + x² – 2x⁴ ta làm như sau:

B = – 3x² – 12 + x⁵ + x² – 2x⁴

= (– 3x² + x²) – 12 + x⁵ – 2x⁴← Đổichỗ và nhóm hai đơn thức cùng bậc 2

= (– 3 + 1)x² – 12 + x⁵ – 2x⁴← Cộng hai đơn thức cùng bậc

= –2x² – 12 + x⁵ – 2x⁴← Đa thức thu gọn

4. Sắp xếp đa thức một biến

• Đối với các đa thức khác đa thức 0, để thuận lợi cho việc tính toán các đa thức một biến, người ta thường viết chúng dưới dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm dần của biến.

Ví dụ:

+ Sắp xếp đa thức P = 7x² – 3x +1 – 2x⁴ theo lũy thừa giảm dần của biến ta được:

P = – 2x⁴ + 7x² – 3x + 1

+ Đa thức P = – 2x⁴ + 7x² – 3x + 1 có đơn thức bậc 4 và bậc 2 nhưng khuyết đơn thức bậc 3. Khi cần ta có thể viết là:

P = – 2x⁴ + 0x³ + 7x² – 3x + 1

Chú ý:

• Ta có thể sắp xếp đa thức theo lũy thừa tăng dần của biến.

Chẳng hạn, sắp xếp đa thức P = 7x² – 3x +1 – 2x⁴ theo lũy thừa tăng dần của biến, ta được: P =1 – 3x + 7x² – 2x⁴.

5. Bậc và các hệ số của một đa thức

Trong một đa thức thu gọn và khác đa thức 0:

• Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức đó.

• Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất của đa thức đó.

• Hệ số của hạng tử bậc 0 gọi là hệ số tự do của đa thức đó.

Ví dụ:

+ Để xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức Q = 2x³ – 3x² – x – 2x³ + 7 ta làm như sau:

Thu gọn đa thức Q

Q = 2x³ – 3x² – x – 2x³ + 7

= (2x³ – 2x³) – 3x² – x + 7

= – 3x² – x + 7

Trong dạng thu gọn của Q, hạng tử có bậc cao nhất là – 3x² nên bậc của đa thức Q là 2, hệ số cao nhất là – 3.

Hạng tử bậc 0 là 7 (vì 7 = 7x⁰) nên hệ số tự do là 7.

Chú ý:

• Đa thức không là đa thức không có bậc.

• Trong một đa thức thu gọn, hệ số cao nhất phải khác 0 (các hệ số khác có thể bằng 0)

• Muốn tìm bậc của một đa thức chưa thu gọn, ta phải thu gọn đa thức đó.

6. Nghiệm của đa thức một biến

• Nếu tại x = a (a là một số), đa thức F(x) có giá trị bằng 0, tức là F(a) = 0, thì ta gọi a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức F(x).

• Một đa thức có thể có nhiều nghiệm hoặc không có nghiệm.

• Một đa thức có hệ số tự do bằng 0 thì x = 0 là một nghiệm của đa thức đó.

Ví dụ:

+ Đa thức F(x) = x² – 4 có hai nghiệm là x = 2 và x = – 2 vì

F(2) = 2² – 4 = 0; F(– 2) = (– 2)² – 4 = 0.

+ Đa thức G(x) = 1 + x² không có nghiệm vì x² ≥ 0 với mọi giá trị của x.

Nên G(x) = 1 + x² ≥ 1 > 0.

+ Đa thức P(x) = x² + x có hệ số tự do là 0.

Mà ta có P(0) = 0² + 0 = 0. Do đó, x = 0 là một nghiệm của đa thức.