Với giải Bài 12 trang 67 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài tập cuối chương 5 trang 66 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 5 trang 66

Bài 12 trang 67 Toán 12 Tập 2: Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1).

a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình chóp.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD.

Lời giải:

a) Ta có phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (ABC) là:

$\frac{x}{1}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}=1$ ⇔ x + y + z – 1 = 0.

Thay tọa độ điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta được:

−2 + 1 −1 −1 = −3 ≠ 0 nên D ∉ (ABC).

Do đó A, B, C, D không đồng phẳng.

Suy ra A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình chóp.

b) Đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;0\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng CD nhận $\overrightarrow{CD}=\left(-2;1;-2\right)$ làm vectơ chỉ phương.

$\cos \left(AB,CD\right)=\frac{\left|\left(-1\right).\left(-2\right)+1.1+0.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2}.\sqrt{{\left(-2\right)}^2+1^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Suy ra (AB, CD) = 45°.

c) Có $\overrightarrow{BC}=\left(0;-1;1\right)$, $\overrightarrow{CD}=\left(-2;1;-2\right)$, $\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD}\right]=\left(1;-2;-2\right)$.

Mặt phẳng (BCD) đi qua B(0; 1; 0) và nhận $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD}\right]=\left(1;-2;-2\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x – 2(y – 1) – 2z = 0 ⇔ x – 2y – 2z + 2 = 0.

Đường cao của hình chóp A.BCD chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

Ta có $d\left(A,\left(BCD\right)\right)=\frac{\left|1+2\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}=1$