Với giải sách bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 5 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 5

A. Trắc nghiệm

Bài 1 trang 61 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 10 = 0 và điểm M(1; 1; 1). Khoảng cách từ M đến (P) bằng.

A. 5

B. $\frac{15}{9}$

C. $\frac{\sqrt{15}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{15}}{9}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: d(M, (P)) $=\frac{\left|2.1+2.1+1+10\right|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=5$

Bài 2 trang 61 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 10 = 0 và (Q): x + 2y + 2z – 3 = 0. Khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng

A. $\frac{8}{3}.$

B. $\frac{7}{3}.$

C. 3

D. $\frac{4}{3}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Nhận thấy $\frac{1}{1}=\frac{2}{2}=\frac{2}{2}\ne \frac{-10}{-3}$ nên  (P) ∥ (Q).

Lấy A(0; 0; 5) thuộc (P).

Do đó, d((Q),(P)) = d(A, (Q)) = $\frac{\left|1.0+2.0+2.5-3\right|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{7}{3}$

Bài 3 trang 61 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P): x – 2y + z – 5 = 0. Điểm nào dưới đây thuộc (P)?

A. M(1; 1; 6).

B. N(−5; 0; 0).

C. P(0; 0; −5).

D. Q(2; −1; 5).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Thay các tọa độ điểm ở các đáp án A, B, C, D.

Thay điểm M(1; 1; 6) vào (P) được: 1 – 2.1 + 6 – 5 = 0.

Vậy điểm M(1; 1; 6) thuộc (P).

Thay điểm N(−5; 0; 0) vào (P) được: −5 – 2.0 + 0 – 5 = −10 ≠ 0.

Do đó điểm N(−5; 0; 0) không thuộc (P).

Thay điểm P(0; 0; −5) vào (P) được: 0 – 2.0 + (−5) – 5 = −10 ≠ 0.

Do đó điểm P(0; 0; −5) không thuộc (P).

Thay điểm Q(2; −1; 5) vào (P) được: 2 – 2.(−1) + 5 – 5 = 4 ≠ 0.

Do đó điểm Q(2; −1; 5) không thuộc (P).

Chọn A.

Bài 4 trang 61 SBT Toán 12 Tập 2: Cho ba mặt phẳng (α): 3x + 3y + 6z + 13 = 0, (β): 2x + 2y – 2z + 9 = 0 và (γ): x – y – 21 = 0. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. (α) ⊥ (β).

B. (γ) ⊥ (β).

C. (α) ∥ (β).

D. (α) ⊥ (γ).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left(3;3;6\right),\overrightarrow{n_{\beta }}=\left(2;2;-2\right),\overrightarrow{n_{\gamma }}=\left(1;-1;0\right)$ lần lượt là các vectơ chỉ phương của  (α), (β) và (γ).

Nhận thấy $\overrightarrow{n_{\alpha }}.\overrightarrow{n_{\beta }}=3.2+3.2+6.\left(-2\right)=0$ nên (α) ⊥ (β).

              $\overrightarrow{n_{\gamma }}.\overrightarrow{n_{\beta }}=1.2+\left(-1\right).2+0.\left(-2\right)=0$ nên (γ) ⊥ (β).

               $\overrightarrow{n_{\gamma }}.\overrightarrow{n_{\alpha }}=1.3+\left(-1\right).3+0.6=0$ nên (α) ⊥ (γ).

Do đó mệnh đề C sai.  

Bài 5 trang 61 SBT Toán 12 Tập 2: Cho đường thẳng d có phương trình tham số: $\left\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=6t\\ z=-2+2t\end{array}\right.$. Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng d?

A. $\frac{x+1}{4}=\frac{y}{6}=\frac{z-2}{2}.$

B. $\frac{x-5}{2}=\frac{y-6}{3}=\frac{z}{1}.$

C. $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-2}{-2}.$

D. $\frac{x-1}{4}=\frac{y}{6}=\frac{z+2}{2}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $\frac{x-1}{4}=\frac{y}{6}=\frac{z+2}{2}.$

Bài 6 trang 62 SBT Toán 12 Tập 2: Cho đường thẳng d: $\frac{x-1}{2}=\frac{3-y}{-1}=z+1$. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình tham số của d?

A. $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3-t\\ z=-1.\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+t\\ z=-1+t.\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+t\\ z=-1+t.\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=2+t\\ z=-2+t.\end{array}\right.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có phương trình chính tắc của d là $\frac{x-1}{2}=\frac{3-y}{-1}=z+1$ = t

Do đó, phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+t\\ z=-1+t.\end{array}\right.$

Bài 7 trang 62 SBT Toán 12 Tập 2: Đường thẳng đi qua I(1; −1; −1) và nhận $\overrightarrow{u}=\left(-2;3;-5\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là:

A. $\frac{x+1}{-2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{-5}.$

B. $\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z+1}{-5}.$

C. $\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-5}{-1}.$

D. $\frac{x+2}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+5}{-1}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc đó là: $\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z+1}{-5}.$

Bài 8 trang 62 SBT Toán 12 Tập 2: Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua A(2; 3; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3y – z + 5 = 0?

A. $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+3t\\ z=1-t.\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3t\\ z=1-t.\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=1+3t\\ z=1-t.\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=1+3t\\ z=1+t.\end{array}\right.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Do đó, $\overrightarrow{u_d}=\left(1;3;-1\right)$

Vậy phương trình đường thẳng d qua A và vuông với mặt phẳng (P) là $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3t\\ z=1-t.\end{array}\right.$

Bài 9 trang 62 SBT Toán 12 Tập 2: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?

A. x² + y² + z² + x – 2y + 4z – 3 = 0.

B. 2x² + 2y² + 2z² – x – y – z = 0.

C. x² + y² + z² – 2x + 4y – 4z + 10 = 0.

D. 2x² + 2y² + 2z² + 4x + 8y + 6z + 3 = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án, ta thấy:

Đáp án A:

Phương trình x² + y² + z² + x – 2y + 4z – 3 = 0 có dạng

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = $-\frac{1}{2}$; b = 1; c = −2; d = −3.

Ta có: a² + b² + c² − d = $\frac{1}{4}$ + 1 + 4 – 3 > 0 do đó đây  là phương trình mặt cầu.

Đáp án B:

Phương trình 2x² + 2y² + 2z² – x – y – z = 0 hay x² + y² + x² $-\frac{1}{2}$x $-\frac{1}{2}$ y $-\frac{1}{2}$z = 0.

Ta có: a = $\frac{1}{4}$, b = $\frac{1}{4}$, c = $\frac{1}{4}$, d = 0 nên a² + b² + c² – d > 0. Do đó, đây là phương trình mặt cầu.

Đáp án C:

Phương trình x² + y² + z² – 2x + 4y – 4z + 10 = 0 có dạng

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = 1, b = −2, c = 2 và d = 10.

Ta có: a² + b² + c² − d = 1 + 4 + 4 – 10 < 0 nên đây không là phương trình mặt cầu.

Đáp án D:

Ta có: 2x² + 2y² + 2z² + 4x + 8y + 6z + 3 = 0 hay x² + y² + z² + 2x + 4y + 3z + $\frac{3}{2}$= 0.

Ta có: a² + b² + c² – d > 0 nên đây là phương trình mặt cầu.

Vậy chọn C.

Bài 10 trang 63 SBT Toán 12 Tập 2: Cho x² + y² + z² + 2x – 4y + 4z + m = 0 là phương trình của một mặt cầu (m là tham số). Tất cả các giá trị của m là

A. m < 9.

B. m ≤ 9.

C. m > 9.

D. m ≥ 9.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có phương trình x² + y² + z² + 2x – 4y + 4z + m = 0 với a = −1, b = 2, c = −2

và d = m.

Để là phương trình mặt cầu thì a² + b² + c² – d > 0 hay (−1)² + 2² + (−2)² – m > 0.

Suy ra 9 – m > 0 hay m < 9.

Bài 11 trang 63 SBT Toán 12 Tập 2: Mặt cầu có phương trình nào dưới đây đi qua gốc tọa độ?

A. (S₁): x² + y² + z² + 2x – 4y – 2 = 0.

B. (S₂): x² + y² + z² – 4y + 6z – 2 = 0.

C. (S₃): x² + y² + z² + 2x + 6z = 0.

D. (S₄): x² + y² + z² + 2x – 4y + 6z – 2 = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án, ta thấy:

(S₁): x² + y² + z² + 2x – 4y – 2 = 0 hay (x + 1)² + (y – 2)² + z² = 7.

Thay tọa độ O(0; 0; 0) ta được 1² + (−2)² + 0² = 5 ≠ 7.

Vậy (S₁) không đi qua gốc tọa độ.

(S₂): x² + y² + z² – 4y + 6z – 2 = 0 hay x² + (y – 2)² + (z + 3)² = 15.

Thay tọa độ O(0; 0; 0) ta được 0² + (−2)² + 3² = 13 ≠ 15.

Vậy (S₂) không đi qua gốc tọa độ.

(S₃): x² + y² + z² + 2x + 6z = 0 hay (x + 1)² + y² + (z + 3)² = 10.

Thay tọa độ O(0; 0; 0) ta được 1² + 0² + 3² = 10.

Vậy (S₃) đi qua gốc tọa độ.

(S₄): x² + y² + z² + 2x – 4y + 6z – 2 = 0 hay (x + 1)² + (y – 2)² + (z + 3)² = 16.

Thay tọa độ O(0; 0; 0) ta được 1² + (−2)² + 3² = 14 ≠ 16.

Vậy (S₄) không đi qua gốc tọa độ.

Bài 12 trang 63 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt cầu (S): (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 9. Điểm nào sau đây nằm ngoài mặt cầu (S)?

A. M(−1; 2; 5).

B. N(0; 3; 2).

C. P(−1; 6; −1).

D. Q(2; 4; 5).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Thay các điểm vào phương trình mặt cầu, ta được:

Có: (−1 – 1)² + (2 – 2)² + (5 – 3)² = 8 < 9 do đó điểm M nằm trong (S).

Có: (0 – 1)² + (3 – 2)² + (2 – 3)² = 3 < 9 do đó điểm N nằm trong (S).

Có: (−1 – 1)² + (6 – 2)² + (−1 – 3)² = 36 > 9 do đó điểm P nằm ngoài (S).

Có: (2 – 1)² + (4 – 2)² + (5 – 3)² = 9 do đó điểm Q  thuộc mặt cầu (S).

Bài 13 trang 63 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0; 1; 1), B(3; 2; 2), C(4; 3; 5).

a) Mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=\left(3;1;1\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(4;2;4\right)$

b) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;4;1\right)$

c) Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; 4).

d) Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d: $\frac{x+2}{1}=\frac{y}{-4}=\frac{z+1}{1}.$

Lời giải:

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0; 1; 1), B(3; 2; 2), C(4; 3; 5) nên có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=\left(3;1;1\right), \overrightarrow{AC}=\left(4;2;4\right)$

Ta có: $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 4& 2\end{array}\right|\right)=\left(2;-8;2\right)=2\left(1;-4;1\right)$

Vậy $\overrightarrow{n}=\left(1;-4;1\right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

1(x – 0) – 4(y – 1) + 1(z – 1) = 0 hay x – 4y + z + 3 = 0.

Thay điểm M(1; 2; 4) vào (P), ta được: 1 – 4.2 + 4 + 3 = 0.

Vậy mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; 4).

Đường thẳng d: $\frac{x+2}{1}=\frac{y}{-4}=\frac{z+1}{1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;-4;1\right)$

Ta có: α = sin(d, (P)) = $\left|\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right)\right|$

           $=\frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|1.1+\left(-4\right).\left(-4\right)+1.1\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-4\right)}^2+1^2}.\sqrt{1^2+{\left(-4\right)}^2+1^2}}=1$

⇒ α = 0°.

Bài 14 trang 63 SBT Toán 12 Tập 2: Cho điểm M(2; 0; 0) và mặt phẳng (P): 2x – y – 2z + 11 = 0.

a) Điểm A(0; 5; 3) thuộc mặt phẳng (P).

b) d(M, (P)) = $\frac{5}{9}$

c) Đường thẳng MA vuông góc với (P).

d) Đường thẳng d: $\frac{x-7}{1}=\frac{y-9}{-2}=\frac{z-31}{2}$ song song với (P).

Lời giải:

a) Đ

b) S

c) S

d) Đ

Thay A(0; 5; 3) vào phương trình mặt phẳng (P), ta có: 2.0 – 5 – 2.3 + 11 = 0.

Do đó, điểm A(0; 5; 3) thuộc mặt phẳng (P).

Ta có: d(M, (P)) = $=\frac{\left|2.2-1.0-2.0+11\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}=5$

Ta có: ${\overrightarrow{u}}_{MA}=\left(-2;5;3\right)$, $\overrightarrow{n}=\left(2;-1;-2\right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Suy ra sin(MA, (P)) = $\left|\cos \left({\overrightarrow{u}}_{MA},\overrightarrow{n}\right)\right|$

                      $=\frac{\left|-2.2+5.\left(-1\right)+3.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{{\left(-2\right)}^2+5^2+3^2}.\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{5\sqrt{38}}{38}$

Do đó đường thẳng MA không vuông góc với (P).

Đường thẳng d: $\frac{x-7}{1}=\frac{y-9}{-2}=\frac{z-31}{2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;-2;2\right)$ và đi qua điểm I(7; 9; 31).

Xét $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=2.1-1.\left(-2\right)-2.2=0\\ 2.7-9-2.31+11=-46\ne 0\Rightarrow M\notin \left(P\right)\end{array}\right.$ ⇒ d song song với (P).

Bài 15 trang 64 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai điểm A(2; 1; −2), B(−2; −2; −9) và đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1+t\\ z=-t\end{array}\right..$

a) Điểm A thuộc đường thẳng d.

b) Điểm B thuộc đường thẳng d.

c) Đường thẳng AB vuông góc với d.

d) $\overrightarrow{AB}=\left(4;3;-7\right)$

Lời giải:

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $\frac{x}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$

Thay điểm A(2; 1; −2) vào d ta được: $\frac{2}{1}=\frac{1+1}{1}=\frac{-2}{-1}=2$. Do đó điểm A thuộc đường thẳng d.

Thay điểm B(−2; −2; −9) vào d ta được: $\frac{-2}{1}\ne \frac{-2+1}{1}\ne \frac{-9}{-1}$. Do đó điểm B không thuộc đường thẳng d.

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(-4;-3;-7\right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Có: ${\overrightarrow{u}}_d.\overrightarrow{AB}=-4.1+1.\left(-3\right)+\left(-1\right).\left(-7\right)=0$ nên đường thẳng AB vuông góc với d.

Bài 16 trang 64 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai đường thẳng d: $\frac{x+2}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{2}$ và d': $\frac{x-2}{3}=\frac{y}{-4}=\frac{z-1}{-5}$.

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(−2; 0; −1).

b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(-4;2;-4\right)$

c) Đường thẳng d' không đi qua điểm N(2; 0; 1).

d) Đường thẳng d vuông góc với d'.

Lời giải:

a) Đ

b) Đ

c) S

d) Đ

Thay tọa độ điểm M(−2; 0; −1) vào d ta được: $\frac{-2+2}{2}=\frac{0}{-1}=\frac{-1+1}{2}=0$

Do đó, M(−2; 0; −1) thuộc đường thẳng d.

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;-1;2\right)$. Vectơ $\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{u}=\left(-4;2;-4\right)$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Thay tọa độ điểm N(2; 0; 1) vào đường thẳng d': $\frac{x-2}{3}=\frac{y}{-4}=\frac{z-1}{-5}$, ta được:

$\frac{2-2}{3}=\frac{0}{-4}=\frac{1-1}{-5}=0$ . Do đó điểm N(2; 0; 1) thuộc đường thẳng d'.

Ta có: $\overrightarrow{u}=\left(2;-1;2\right),\overrightarrow{u^{\text{'}}}=\left(3;-4;-5\right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và d'.

Có $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u^{\text{'}}}=2.3+\left(-1\right).\left(-4\right)+2.\left(-5\right)=0$ do đó d vuông góc với d'.

Bài 17 trang 64 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt cầu (S): (x – 1)² + (y – 3)² + (z + 2)² = 9.

a) (S) có tâm I(−1; −3; 2).

b) (S) có bán kính R = 9.

c) Điểm O(0; 0; 0) nằm ngoài mặt cầu (S).

d) Điểm M(1; 3; 1) nằm trên mặt cầu (S).

Lời giải:

a) S

b) S

c) Đ

d) Đ

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 3; −2) và bán kính R = 3.

Thay điểm O(0; 0; 0) vào phương trình mặt cầu (S): (−1)² + (−3)² + 2² = 14 > 9.

Vậy điểm O(0; 0; 0) nằm ngoài mặt cầu (S).

Thay tọa độ điểm M(1; 3; 1) vào phương trình mặt cầu (S):

(1 – 1)² + (3 – 3)² + (1 + 2)² = 9.

Do đó, điểm M(1; 3; 1) nằm trên mặt cầu (S).

B. Tự luận

Bài 1 trang 64 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (P): x + 2y – z + 3 = 0 và (Q): x – 4y + (m – 1)z + 1= 0 với m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q).

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{n_P}=\left(1;2;-1\right),\overrightarrow{n_Q}=\left(1;-4;m-1\right)$

Để (P) ⊥ (Q) ⇔ 1.1 + 2.(−4) + (−1).(m – 1) = 0 ⇔ m = −6.

Bài 2 trang 64 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (α): x – y + nz – 3 = 0 và (β): 2x + my + 2z + 6 = 0. Với giá trị nào của m, n thì (α) song song với (β)?

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left(1;-1;n\right),\overrightarrow{n_{\beta }}=\left(2;m;2\right)$

Để (α) song song với (β) thì $\frac{1}{2}=\frac{-1}{m}=\frac{n}{2}\ne \frac{-3}{6}\iff \left\{\begin{array}{l}m=-2\\ n=1\end{array}\right.$

Bài 3 trang 64 SBT Toán 12 Tập 2: Cho điểm G(1; 2; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua G và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Lời giải:

Đặt A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).

Ta có: G(1; 2; 3) là trọng tâm tam giác ABC.

Có $\left\{\begin{array}{l}\frac{a+0+0}{3}=1\\ \frac{0+b+0}{3}=2\\ \frac{0+0+c}{3}=3\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=6\\ c=9\end{array}\right.$ ⇒ A(3; 0; 0), B(0; 6; 0), C(0; 0; 9).

Vậy phương trình (P) là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1$ hay 6x + 3y + 2z – 18 = 0.

Bài 4 trang 64 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai điểm M(1; −1; 5) và N(0; 0; 1). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M, N và song song với trục Oy.

Lời giải:

Mặt phẳng (Q) chứa M, N và song song với trục Oy nên có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN}=\left(-1;1;-4\right),\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$. Do đó, mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là:

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{j}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}1& -4\\ 1& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-4& -1\\ 0& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 1\end{array}\right|\right)$ = (4; 0; −1) là vectơ pháp tuyến của (Q).

Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: 4x – z + 1 = 0.

Bài 5 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz (đơn vị trên các trục tọa độ là centimét), đầu in phun của một máy in 3D đang đặt tại điểm M(5; 0; 35). Tính khoảng cách từ đầu in phun đến khay đặt vật in có phương trình z – 5 = 0.

Lời giải:

Ta có phương trình của mặt phẳng (P) chứa khay đặt vật in là z – 5 = 0, suy ra:

D(M, (P)) = $\frac{\left|35-5\right|}{1}$ = 30 (cm).

Bài 6 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai đường thẳng d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1-4t\\ z=6+6t\end{array}\right.$ và đường thẳng d₂: $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-5}$.

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua A(1; −1; 2), đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng d₁; d₂.

Lời giải:

Đường thẳng d₁ và d₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=\left(1;-4;6\right),$$\overrightarrow{u_2}=\left(2;1;-5\right)$

Đường thẳng ∆ đi qua A(1; −1; 2), đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng d₁, d₂ nên có vectơ chỉ phương là

${\overrightarrow{u}}_{\Delta }=\left[{\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-4& 6\\ 1& -5\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}6& 1\\ -5& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& -4\\ 2& 1\end{array}\right|\right)$ = (14; 17; 9).

Ta có phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là: $\frac{x-1}{14}=\frac{y+1}{17}=\frac{z-2}{9}$

Bài 7 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2t\\ z=-1\end{array}\right.$, điểm M(1; 2; 1) và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M, song song với (P) và vuông góc với d.

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;2;0\right)$; mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;1;-2\right)$.

Đường thẳng ∆ đi qua M song song với (P) và vuông góc với d nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{a}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right|\right)$ = (−4; 2; −3).

Ta có phương trình chính tắc của ∆ là: $\frac{x-1}{-4}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-1}{-3}$

Bài 8 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC (O là gốc tọa độ).

Lời giải:

Mặt cầu (S) có phương trình x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0  (1).

Thay tọa độ bốn đỉnh của tứ diện vào (1), ta được:

$\left\{\begin{array}{l}{2}^2+0^2+0^2-2a.2-2b.0-2c.0+d=0\\ 0^2+4^2+0^2-2a.0-2b.4-2c.0+d=0\\ 0^2+0^2+4^2-2a.0-2b.0-2c.4+d=0\\ 0^2+0^2+0^2-2a.0-2b.0-2c.0+d=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}4-4a+d=0\\ 16-8b+d=0\\ 16-8c+d=0\\ d=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\\ c=2\\ d=0\end{array}\right.$

Vậy phương trình của (S) là: x² + y² + z² – 2x – 4y – 4z = 0.

Bài 9 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt cầu (S): (x – 1)² + (y – 3)² + (z + 7)² = 1. Tìm tọa độ các điểm M, N là chân đường vuông góc vẽ từ tâm I của (S) đến các trục tọa độ Oy và Oz.

Lời giải:

Ta có tâm I của mặt cầu (S) là: I(1; 3; −7).

Tọa độ các điểm M, N là chân đường vuông góc vẽ từ I đến các trục Oy và Oz lần lượt là M(0; 3; 0), N(0; 0; −7).

Bài 10 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt cầu (S) : (x – 1)² + y² + (z + 2)² = 2.

a) Tính khoảng cách từ tâm I của (S) đến mặt phẳng (Oxy).

b) Gọi J là điểm đối xứng của I qua gốc tọa độ O. viết phương trình mặt cầu (S') tâm J và có cùng bán kính với (S).

Lời giải:

a) Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; −2) và bán kính R = $\sqrt{2}$

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0.

Ta có: d(I, (Oxy)) = $\left|-2\right|$ = 2.

b) Ta có: J(−1; 0; 2) là điểm đối xứng của I qua gốc tọa độ O.

Phương trình mặt cầu (S') tâm J, bán kính R = $\sqrt{2}$ là:

(S'): (x + 1)² + y² + (z – 2)² = 2.

Bài 11 trang 65 SBT Toán 12 Tập 2: Người ta muốn thiết kế một lều cắm trại có dạng là một phần mặt cầu bằng phần mềm 3D.

Cho biết phương trình bề mặt của lều là (S): (x – 3)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 9, phương trình mặt phẳng chứa cửa lều là (P): x = 2, phương trình chứa sàn lêu là (Q): z = 0. Tìm tâm và bán kính đường tròn cửa lều và đường tròn sàn lều.

Lời giải:

Bề mặt của lều (S): (x – 3)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 9 có tâm I(3; 3; 1), bán kính R = 3.

Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P): x = 2.

Ta có vectơ chỉ phương của d là ${\overrightarrow{a}}_d=\left(1;0;0\right)$

Suy ra d có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=3\\ z=1\end{array}\right.$

Gọi A(3 + t; 3; 1) là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P): x = 2, ta được (3 + t) – 2 = 0 hay t = −1, suy ra A(2; 3; 1).

Bán kính r₁ của đường tròn có cửa lều là:

r₁ = $\sqrt{R^2-I{A}^2}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$

Vậy đường tròn cửa lều có tâm A(2; 3; 1), bán kính r₁ = $2\sqrt{2}$

Gọi d' là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (Q): z = 0.

Ta có vectơ chỉ phương của d' là ${\overrightarrow{u}}_{d^{\text{'}}}$ = (0; 0; 1)

Suy ra d' có phương trình tham số: $\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=3\\ z=1+t.\end{array}\right.$

Gọi B(3; 3; 1 + t) là hình chiếu vuông góc của I trên (Q). Thay tọa độ của điểm B vào phương trình (Q): z = 0 ta được 1 + t = 0, suy ra t = −1, suy ra B(3; 3; 0).

Bán kính r₁ của đường tròn sàn lều là: r₂ = $\sqrt{R^2-I{B}^2}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$

Vậy đường tròn sàn lều có tâm B(3; 3; 0), bán kính r₂ = $2\sqrt{2}$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 3: Phương trình mặt cầu

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Xác suất có điều kiện

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài tập cuối chương 6