Lý thuyết Toán 12 Chương 5 (Chân trời sáng tạo): Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Admin Vietjack Ngày: 17-09-2024 Lớp 12

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Lý thuyết Toán 12 Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

A. Lý thuyết Toán 12 Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

1. Phương trình mặt phẳng

1.1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Cho mặt phẳng (α).

+) Nếu vectơ $\vec{n}$ khác $\vec{0}$ và có giá vuông góc với (α) thì $\vec{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của (α).

+) Nếu hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong (α) thì $\vec{a}, \vec{b}$ được gọi là cặp vectơ chỉ phương của (α).

Chú ý:

a) Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó hoặc biết một điểm và một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó.

b) Nếu $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) thì $k \vec{n}$ (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của (α).

1.2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết một cặp vectơ chỉ phương

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng (α) nhận hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ làm cặp vectơ chỉ phương thì (α) nhận vectơ $\vec{n} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}; a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}; a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$ làm vectơ pháp tuyến.

Chú ý:

a) Vectơ $\vec{n} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}; a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}; a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$ được gọi là tích có hướng của hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ , kí hiệu là $[\vec{a}, \vec{b}]$ .

b) Biểu thức a₁b₂ – a₂b₁ thường được kí hiệu $|\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix}|$ . Tương tự, $|\begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix}| = a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}$ , $|\begin{matrix} a_{3} & a_{1} \\ b_{3} & b_{1} \end{matrix}| = a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}$ . Như vậy, ta có thể viết:

$[\vec{a}, \vec{b}] = (|\begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix}|; |\begin{matrix} a_{3} & a_{1} \\ b_{3} & b_{1} \end{matrix}|; |\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix}|)$

c) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}] = \vec{0}$ .

d) Nếu $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}]$ thì $\vec{n} ⊥ \vec{a}$ và $\vec{n} ⊥ \vec{b}$ .

1.3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

• Khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Nhận xét:

a) Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận $\vec{n} = (A; B; C)$ làm vectơ pháp tuyến.

) Cho mặt phẳng (α) có phương trình tổng quát Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó

N(x₀; y₀; z₀) $\in$ (α) $\Leftrightarrow$ Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0.

• Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ là A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0 hay Ax + By + Cz + D = 0 với D = −Ax₀ – By₀ – Cz₀.

• Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có cặp vectơ chỉ phương $\vec{a}, \vec{b}$ , ta thực hiện như sau:

+) Tìm một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}]$ .

+) Viết phương trình (α) đi qua M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ .

• Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng, ta thực hiện như sau:

+) Tìm cặp vectơ chỉ phương, chẳng hạn $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

+) Tìm một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}]$ .

+) Viết phương trình (α) đi qua A và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ .

Nhận xét: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c đều khác 0. Khi đó phương trình (ABC): $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ . phương trình này được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

1.4. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

• Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α₁): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 và (α₂): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (A_{1}; B_{1}; C_{1}), \vec{n_{2}} = (A_{2}; B_{2}; C_{2})$ . Khi đó: $(α_{1}) / / (α_{2}) \Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{n_{1}} = k \vec{n_{2}} \\ D_{1} \neq k D_{2} \end{cases} (k \in ℝ)$ .

Chú ý:

+) $(α_{1}) \equiv (α_{2}) \Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{n_{1}} = k \vec{n_{2}} \\ D_{1} = k D_{2} \end{cases} (k \in ℝ)$ .

+) α₁) cắt (α₂) $\Leftrightarrow$ $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ không cùng phương.

• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Khi đó $(α_{1}) ⊥ (α_{2}) \Leftrightarrow \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} = 0 \Leftrightarrow A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} = 0$ .

1.5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M₀(x₀; y₀; z₀). Khoảng cách từ điểm M₀ đến mặt phẳng (α) được tính theo công thức $d (M_{0}, (α)) = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

2. Phương trình đường thẳng trong không gian

2.1. Phương trình đường thẳng trong không gian

• Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ $\vec{a}$ và $\vec{0}$ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d được gọi là vectơ chỉ phương của d.

Chú ý: Nếu $\vec{a}$ là vectơ chỉ phương của d thì $k \vec{a}$ (k ≠ 0) cũng là vectơ chỉ phương của d.

• Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và nhận $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ làm vectơ chỉ phương có dạng:

$\{\begin{cases} x = x_{0} + a_{1} t \\ y = y_{0} + a_{2} t \\ z = z_{0} + a_{3} t \end{cases}$ với t $\in$ ℝ (t được gọi là tham số).

Chú ý:

a) Trong phương trình tham số của đường thẳng d: $\{\begin{cases} x = x_{0} + a_{1} t \\ y = y_{0} + a_{2} t \\ z = z_{0} + a_{3} t \end{cases}$ , mỗi giá trị của tham số t xác định duy nhất một điểm M trên d và ngược lại.

b) Từ nay để cho gọn, trong phương trình tham số của đường thẳng, ta không viết t $\in$ ℝ.

• Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ .

Nếu a₁, a₂, a₃ đều khác 0 thì hệ phương trình $\frac{x - x_{0}}{a_{1}} = \frac{y - y_{0}}{a_{2}} = \frac{z - z_{0}}{a_{3}}$ gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d.

• Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B) có vectơ chỉ phương là $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ và có phương trình tham số: $\{\begin{cases} x = x_{A} + (x_{B} - x_{A}) t \\ y = y_{A} + (y_{B} - y_{A}) t \\ z = z_{A} + (z_{B} - z_{A}) t \end{cases}$ .

Nếu x_A ≠ x_B, y_A ≠ y_B, z_A ≠ z_B thì d có phương trình chính tắc: $\frac{x - x_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{y - y_{A}}{y_{B} - y_{A}} = \frac{z - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}$ .

2.2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

• Điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Gọi $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $\vec{a^{'}} = ({a_{1}}^{'}; {a_{2}}^{'}; {a_{3}}^{'})$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d'. Gọi M(x₀; y₀; z₀) là một điểm trên d.

Ta có: d // d' $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{a} = k \vec{a^{'}}, k \in ℝ \\ M \notin d^{'} \end{cases}$

d ≡ d' $\Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{a} = k \vec{a^{'}}, k \in ℝ \\ M \in d^{'} \end{cases}$ .

Chú ý: Cho đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương $\vec{a}$ , đường thẳng d' đi qua điểm M' và có vectơ chỉ phương $\vec{a^{'}}$ .

a) Nếu ba vectơ $\vec{a}, \vec{a^{'}}, \vec{M M^{'}}$ cùng phương thì d ≡ d'.

b) Nếu hai vectơ $\vec{a}, \vec{a^{'}}$ cùng phương và hai vectơ $\vec{a}, \vec{M M^{'}}$ không cùng phương thì d // d'.

• Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau

Cho hai đường thẳng d và d' có phương trình tham số lần lượt là:

d: $\{\begin{cases} x = x_{0} + a_{1} t \\ y = y_{0} + a_{2} t \\ z = z_{0} + a_{3} t \end{cases}$ và d': $\{\begin{cases} x = {x_{0}}^{'} + {a_{1}}^{'} t^{'} \\ y = {y_{0}}^{'} + {a_{2}}^{'} t^{'} \\ z = {z_{0}}^{'} + {a_{3}}^{'} t^{'} \end{cases}$ .

Gọi $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $\vec{a^{'}} = ({a_{1}}^{'}; {a_{2}}^{'}; {a_{3}}^{'})$ lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d'.

Xét hệ phương trình ẩn t và t': $\{\begin{cases} x_{0} + a_{1} t = {x_{0}}^{'} + {a_{1}}^{'} t^{'} \\ y_{0} + a_{2} t = {y_{0}}^{'} + {a_{2}}^{'} t^{'} \\ z_{0} + a_{3} t = {z_{0}}^{'} + {a_{3}}^{'} t^{'} \end{cases}$

+) d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ trên có đúng một nghiệm.

+) d và d' chéo nhau khi và chỉ khi $\vec{a}, \vec{a^{'}}$ không cùng phương và hệ trên vô nghiệm.

Chú ý: Để xét vị trí tương đối của d và d', trước hết ta kiểm tra tính cùng phương của hai vectơ chỉ phương của d và d'.

a) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{a^{'}}$ cùng phương thì d và d' hoặc song song hoặc trùng nhau.

b) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{a^{'}}$ không cùng phương thì d và d' hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

Chú ý: Cho đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương $\vec{a}$ , đường thẳng d' đi qua điểm M' và có vectơ chỉ phương $\vec{a^{'}}$ .

Trong trường hợp $\vec{a}, \vec{a^{'}}$ không cùng phương, nghĩa là $[\vec{a}, \vec{a^{'}}] \neq \vec{0}$ , ta có:

- Nếu $[\vec{a}, \vec{a^{'}}] . \vec{M M^{'}} = \vec{0}$ thì d và d' cắt nhau.

- Nếu $[\vec{a}, \vec{a^{'}}] . \vec{M M^{'}} \neq \vec{0}$ thì d và d' chéo nhau.

• Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Cho hai đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $\vec{a^{'}} = ({a_{1}}^{'}; {a_{2}}^{'}; {a_{3}}^{'})$ . Ta có $d ⊥ d^{'} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{a^{'}} = 0 \Leftrightarrow a_{1} {a_{1}}^{'} + a_{2} {a_{2}}^{'} + a_{3} {a_{3}}^{'} = 0$

2.3. Góc

• Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và $\vec{a^{'}} = ({a_{1}}^{'}; {a_{2}}^{'}; {a_{3}}^{'})$ được tính bởi công thức $\cos (d, d^{'}) = |\cos (\vec{a}, \vec{a^{'}})| = \frac{|\vec{a} . \vec{a^{'}}|}{|\vec{a}| . |\vec{a^{'}}|} = \frac{|a_{1} . {a_{1}}^{'} + a_{2} . {a_{2}}^{'} + a_{3} {a_{3}}^{'}|}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}} . \sqrt{{a^{'}}_{1}^{2} + {a^{'}}_{2}^{2} + {a^{'}}_{3}^{2}}}$

• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (n_{1}; n_{2}; n_{3})$ được tính bởi công thức: $\sin (d, (P)) = |\cos (\vec{a}, \vec{n})| = \frac{|\vec{a} . \vec{n}|}{|\vec{a}| . |\vec{n}|} = \frac{|a_{1} . n_{1} + a_{2} . n_{2} + a_{3} . n_{3}|}{\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}} . \sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}}$ .

Chú ý: Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).

• Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P') có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n} = (n_{1}; n_{2}; n_{3})$ và $\vec{n^{'}} = ({n^{'}}_{1}; {n^{'}}_{2}; {n^{'}}_{3})$ được tính bởi công thức: $\cos ((P), (P^{'})) = |\cos (\vec{n}, \vec{n^{'}})| = \frac{|\vec{n} . \vec{n^{'}}|}{|\vec{n}| . |\vec{n^{'}}|} = \frac{|n_{1} . {n^{'}}_{1} + n_{2} . {n^{'}}_{2} + n_{3} . {n^{'}}_{3}|}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}} . \sqrt{{n^{'}}_{1}^{2} + {n^{'}}_{2}^{2} + {n^{'}}_{3}^{2}}}$ .

Chú ý: Nếu hai mặt phẳng (P) và (P') có hai vectơ pháp tuyến vuông góc thì (P) $⊥$ (P').

3. Phương trình mặt cầu trong không gian

• Khái niệm mặt cầu

Trong không gian, cho điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I, bán kính R, kí hiệu S(I; R), là tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn IM = R. Đoạn thẳng nối hai điểm thuộc mặt cầu và đi qua tâm I gọi là đường kính của mặt cầu.

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 5 (Lý thuyết Toán lớp 12) | Chân trời sáng tạo

Chú ý: Cho mặt cầu S(I; R).

Nếu IM = R thì M nằm trên mặt cầu.

Nếu IM < R thì M nằm trong mặt cầu.

Nếu IM > R thì M nằm ngoài mặt cầu.

• Phương trình mặt cầu

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình là:

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

Nhận xét: Phương trình x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a² + b² + c² – d > 0 là phương trình của mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$ .

B. Bài tập Toán 12 Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

1. Bài tập tự luận

Bài 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; 2; −3), có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; - 1; 3)$ .

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(0; −3; 2) và song song với mặt phẳng (P): 2x – y + 3z + 5 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Mặt phẳng đi qua điểm A(1; 2; −3), có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; - 1; 3)$ có phương trình là 2(x – 1) – (y – 2) + 3(z + 3) = 0 $\Leftrightarrow$ 2x – y + 3z + 9 = 0.

b) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (2; - 1; 3)$ .

Vì (Q) // (P) nên mặt phẳng (Q) nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ pháp tuyến.

Do đó mặt phẳng (Q) đi qua A(0; −3; 2), có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; - 1; 3)$ có phương trình là: 2(x – 0) – (y + 3) + 3(z – 2) = 0 $\Leftrightarrow$ 2x – y + 3z – 9 = 0.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; 0; 1) và B(1; 2; 3).

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với AB.

b) Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 3) đến mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải

a) Có $\vec{A B} = (1; 2; 2)$ .

Mặt phẳng (P) vuông góc với AB nên mặt phẳng (P) nhận $\vec{A B}$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (P) là: x + 2y + 2(z – 1) = 0 Û x + 2y + 2z – 2 = 0.

b) Ta có $d (M, (P)) = \frac{|1 + 2.2 + 2.3 - 2|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = 3$ .

Bài 3. Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục Oxyz như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và có tâm của mặt đáy trên lần lượt là A(3; 2; 3), B(6; 3; 3), C(9; 4; 2), $D (6; 0; \frac{5}{2})$ .

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 5 (Lý thuyết Toán lớp 12) | Chân trời sáng tạo

a) Bốn điểm A, B, C và D có đồng phẳng không?

b) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn giải

a) Có $\vec{A B} = (3; 1; 0), \vec{A C} = (6; 2; - 1)$ , $[\vec{A B}, \vec{A C}] = (- 1; 3; 0)$ .

Mặt phẳng (ABC) đi qua A(3; 2; 3) và nhận $\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}] = (- 1; 3; 0)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là –(x – 3) + 3(y – 2) = 0 Û x – 3y + 3 = 0.

Thay tọa độ điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC), ta được

$6 - 3.0 + 3 = 9 \neq 0$ .

Do đó D $\in$ (ABC). Do đó A, B, C, D không đồng phẳng.

b) $d (D, (A B C)) = \frac{|6 - 3.0 + 3|}{\sqrt{1^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \frac{9}{\sqrt{10}}$ .

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(−1; 3; 2), B(2; 0; 5), C(0; −2; 1). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC.

Hướng dẫn giải

Có $\vec{B C} = (- 2; - 2; - 4)$ .

Đường thẳng đi qua A và song song với BC nhận $\vec{a} = \frac{- 1}{2} \vec{B C} = (1; 1; 2)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\{\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = 2 + 2 t \end{cases}$ .

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: $Δ_{1} : \frac{3 - x}{7} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{3}$ và $Δ_{2} : \{\begin{cases} x = 8 + t \\ y = 5 + 2 t \\ z = 8 - t \end{cases}$ .

a) Chứng minh $∆$ ₁ và $∆$ ₂ chéo nhau.

b) Tính góc giữa hai đường thẳng trên.

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng $∆$ ₁ đi qua điểm M(3; 1; 1) và $\vec{a_{1}} = (- 7; 2; 3)$ .

Đường thẳng $∆$ ₂ đi qua điểm M'(8; 5; 8) và $\vec{a_{2}} = (1; 2; - 1)$ .

Có $\vec{M M^{'}} = (5; 4; 7)$ , $[\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}] = (- 8; - 4; - 16)$ .

Có $[\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}] . \vec{M M^{'}} = - 8.5 + (- 4) .4 + (- 16) .7 = - 168 \neq 0$ .

Suy ra $∆$ ₁ và $∆$ ₂ chéo nhau.

b) Ta có $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{|(- 7) .1 + 2.2 + 3. (- 1)|}{\sqrt{{(- 7)}^{2} + 2^{2} + 3^{2}} . \sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{6}{\sqrt{372}} = \frac{\sqrt{93}}{31}$ .

Suy ra ( $∆$ ₁, $∆$ ₂) ≈ 71,9°.

Bài 6. Người ta dùng một may bay không người lái để kiểm tra tình trạng của một đường ống dẫn nước dài. Đường ống này nằm trên mặt đất và kéo dài từ điểm A(2; 3; 0) đến điểm B(8; 15; 0). Biết rằng máy bay bay theo đường thẳng từ A đến B để kiểm tra toàn bộ đường ống.

a) Xác định phương trình đường thẳng của đường bay từ điểm A đến điểm B.

b) Tính khoảng cách mà máy bay phải bay.

Hướng dẫn giải

a) Có $\vec{A B} = (6; 12; 0)$ .

Đường thẳng của đường bay đi qua điểm A và nhận $\vec{a} = \frac{1}{6} \vec{A B} = (1; 2; 0)$ có phương trình tham số là $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 + 2 t \\ z = 0 \end{cases}$ .

b) Khoảng cách máy bay bay là: $A B = \sqrt{6^{2} + 12^{2} + 0^{2}} = 6 \sqrt{5}$ .

Bài 7. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S):

a) có tâm I(0; 0; −3) và bán kính bằng 5.

b) có tâm I(1; 1; 1) và đi qua điểm A(1; 2; 3).

c) có đường kính AB biết A(1; −2; 7) và B(−3; 8; −1).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình mặt cầu (S): x² + y² + (z + 3)² = 25.

b) Vì mặt cầu (S) đi qua A nên $R = I A = \sqrt{{(1 - 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2} + {(3 - 1)}^{2}} = \sqrt{5}$ .

Phương trình mặt cầu (S): (x – 1)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 5.

c) Có I(−1; 3; 3) là trung điểm của AB và cũng là tâm của mặt cầu đường kính AB.

Có $R = I A = \sqrt{{(1 + 1)}^{2} + {(- 2 - 3)}^{2} + {(7 - 3)}^{2}} = \sqrt{45}$ .

Phương trình mặt cầu (S): (x + 1)² + (y – 3)² + (z – 3)² = 45.

Bài 8. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (α): 16x – 15y – 12z + 75 = 0.

Hướng dẫn giải

Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (α): 16x – 15y – 12z + 75 = 0 nên $R = d (O, (α)) = \frac{|75|}{\sqrt{16^{2} + {(- 15)}^{2} + {(- 12)}^{2}}} = 3$ .

Phương trình mặt cầu (S): x² + y² + z² = 9.

Bài 9. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) một trạm phát sóng điện thoại của nhà mạng Vinaphone được đặt ở vị trí I(1; −2; −3) và được thiết kế bán kính phủ sóng là 5000 m.

a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng trong không gian.

b) Nhà bạn Minh và Hiền có vị trí tọa độ lần lượt là M(1; 2; 0) và N(−3; 1; 0). Hỏi bạn Minh và Hiền dùng điện thoại tại nhà thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không?

Hướng dẫn giải

a) Phương trình mặt cầu (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 25.

b) Có $I M = \sqrt{{(1 - 1)}^{2} + {(2 + 2)}^{2} + {(0 + 3)}^{2}} = 5 = R$ .

Suy ra điểm M nằm trên mặt cầu. Do đó bạn Minh có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.

Có $I N = \sqrt{{(- 3 - 1)}^{2} + {(1 + 2)}^{2} + {(0 + 3)}^{2}} = \sqrt{34} > R$ .

Suy ra điểm N nằm ngoài mặt cầu. Do đó bạn Hiền không thể sử dụng dịch vụ của trạm này.

2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?

A. x – 3y² + z – 1 = 0.

B. x² + 2y + 4z – 2 = 0.

C. 2x – 3y + 4z – 2024 = 0.

D. 2x – 3y + 4z² – 2025 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Dựa vào định nghĩa phương trình tổng quát của mặt phẳng, ta chọn đáp án C.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – y + 2z – 1 = 0. Vectơ nào dưới đây không phải là một vectơ pháp tuyến của (P).

A. $\vec{n} = (- 3; 1; - 2)$ .

B. $\vec{n} = (3; 1; 2)$ .

C. $\vec{n} = (3; - 1; 2)$ .

D. $\vec{n} = (6; - 2; 4)$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n_{1}} = (3; - 1; 2)$ .

$\vec{n} = (- 3; 1; - 2) = - \vec{n_{1}}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

$\vec{n} = (6; - 2; 4) = 2 \vec{n_{1}}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; 0) và B(0; 1; 2). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

A. $\vec{a_{1}} = (- 1; 1; 2)$ .

B. $\vec{a_{2}} = (- 1; 0; - 2)$ .

C. $\vec{a_{3}} = (- 1; 0; 2)$ .

D. $\vec{a_{4}} = (1; 2; 2)$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\vec{A B} = (- 1; 0; 2)$ . Do đó đường thẳng AB nhận $\vec{a_{3}} = (- 1; 0; 2)$ làm vectơ chỉ phương.

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - 3 t \\ z = - 1 + 5 t \end{cases}$ . Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

A. x – 2 = y = z + 1.

B. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 1}{5}$ .

C. $\frac{x + 2}{- 1} = \frac{y}{3} = \frac{z - 1}{- 5}$ .

D. $\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{- 3} = \frac{z - 1}{5}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d đi qua A(2; 0; −1) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; - 3; 5)$ có phương trình chính tắc là: $\frac{x - 2}{1} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 1}{5}$ .