Với giải Bài 6 trang 87 Toán 12 Tập 2 Cánh diều chi tiết trong Bài tập cuối chương 5 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 5

Bài 6 trang 87 Toán 12 Tập 2: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm M(– 3; 1; 4) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;-4;1\right)$;

b) (P) đi qua điểm N(2; – 1; 5) và có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=\left(1;-3;-2\right)$ và $\overrightarrow{u_2}=\left(-3;4;1\right)$;

c) (P) đi qua điểm I(4; 0; – 7) và song song với mặt phẳng (Q): 2x + y – z – 3 = 0;

d) (P) đi qua điểm K(– 4; 9; 2) và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-6}{5}$

Lời giải:

a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(– 3; 1; 4) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;-4;1\right)$ là:

2(x + 3) – 4(y – 1) + 1(z – 4) = 0 ⇔ 2x – 4y + z + 6 = 0.

b) Xét vectơ $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-3& -2\\ 4& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& -3\\ -3& 4\end{array}\right|\right)$, tức là $\overrightarrow{n}=\left(5;5;-5\right)$.

Khi đó, $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

5(x – 2) + 5(y – (– 1)) – 5(z – 5) = 0 ⇔ x + y – z + 4 = 0.

c) Mặt phẳng (Q): 2x + y – z – 3 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_Q}=\left(2;1;-1\right)$.

Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{n_Q}=\left(2;1;-1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

2(x – 4) + 1(y – 0) – 1(z + 7) = 0 ⇔ 2x + y – z – 15 = 0.

d) Đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-6}{5}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;1;5\right)$.

Vì ∆ ⊥ (P) nên mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{u}=\left(2;1;5\right)$ làm vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

2(x + 4) + 1(y – 9) + 5(z – 2) = 0 ⇔ 2x + y + 5z – 11 = 0.