Lý thuyết Toán 12 Chương 5 (Cánh diều): Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

Admin Vietjack Ngày: 20-09-2024 Lớp 12

745

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Lý thuyết Toán 12 Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

A. Lý thuyết Toán 12 Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

1. Phương trình mặt phẳng

1.1. Vectơ pháp tuyến, cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

a) Vectơ pháp tuyến

Cho mặt phẳng (P). Nếu vectơ $\vec{n}$ khác $\vec{0}$ và có giá vuông góc với mặt phẳng (P) thì $\vec{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 5 Cánh diều

Nhận xét: Nếu $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì k $\vec{n}$ (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

b) Cặp vectơ chỉ phương

Cho mặt phẳng (P). Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P).

c) Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vectơ chỉ phương

Nếu hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ , $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) thì $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}] = (|\begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix}|; |\begin{matrix} a_{3} & a_{1} \\ b_{3} & b_{1} \end{matrix}|; |\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix}|)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

1.2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

● Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mỗi mặt phẳng (P) có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0;

● Ngược lại, mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, đều xác định một mặt phẳng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.

→ Phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Hệ số D gọi là hệ số tự do của phương trình tổng quát.

Nhận xét: Ta có thể chứng minh rằng nếu mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, thì vectơ $\vec{n} = (A; B; C)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 5 Cánh diều

1.3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng biết một số điều kiện

a) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x₀; y₀; z₀) và nhận $\vec{n} = (A; B; C)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

Ax + By + Cz + D = 0 với D = − Ax₀ − By₀ − Cz₀.

Chú ý: Mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x₀; y₀; z₀) và nhận $\vec{n} = (A; B; C)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

b) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương

Để lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x₀; y₀; z₀) có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{u}, \vec{v}$ , ta có thể làm như sau:

Bước 1. Tìm $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

Bước 2. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x₀; y₀; z₀) nhận $\vec{n}$ làm vectơ pháp tuyến.

c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Để lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm H(a₁; b₁; c₁), I(a₂; b₂; c₂), K(a₃; b₃; c₃) không thẳng hàng, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Tìm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) là:

$\vec{H I}$ = (a₂ – a₁; b₂ – b₁; c₂ – c₁), $\vec{H K}$ = (a₃ – a₁; b₃ – b₁; c₃ – c₁).

Bước 2. Tìm $\vec{n} = [\vec{H I}, \vec{H K}]$ .

Bước 3. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm H(a₁; b₁; c₁) nhận $\vec{n}$ làm vectơ pháp tuyến.

Chú ý: Mặt phẳng đi qua ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với abc ≠ 0 có phương trình là:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

Phương trình đó còn được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

2. Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng

2.1. Điều kiện song song của hai mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P₁) có phương trình tổng quát là A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

và mặt phẳng (P₂) có phương trình tổng quát là A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

Gọi $\vec{n_{1}} = (A_{1}; B_{1}; C_{1})$ , $\vec{n_{2}} = (A_{2}; B_{2}; C_{2})$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P₁), (P₂).

Khi đó: (P₁) // (P₂) khi và chỉ khi tồn tại số thực k ≠ 0 sao cho $\{\begin{cases} \vec{n_{1}} = k \vec{n_{2}} \\ D_{1} \neq k D_{2} \end{cases}$ .

2.2. Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P₁) có phương trình tổng quát là A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 và mặt phẳng (P₂) có phương trình tổng quát là A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0. Khi đó:

(P₁) $⊥$ (P₂) $\Leftrightarrow$ A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

3. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M₀(x₀; y₀; z₀) đến mặt phẳng (P):

Ax + By + Cz + D = 0 (A² + B² + C² > 0)

được tính theo công thức: $d (M_{0}, (P)) = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

4. Phương trình đường thẳng

4.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ và vectơ $\vec{u}$ khác $\vec{0}$ . Vectơ $\vec{u}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với ∆.

Nhận xét: Nếu $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì k $\vec{u}$ (k ≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

4.2. Phương trình tham số của đường thẳng

● Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, nếu ∆ là đường thẳng đi qua M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ thì ∆ có phương trình dạng

$\{\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ (t là tham số).

● Ngược lại, mỗi hệ phương trình $\{\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ , trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0 và t là tham số, xác định một đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (a; b; c)$ .

→ Hệ phương trình $\{\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ , trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0, t là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ .

4.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

● Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, nếu ∆ là đường thẳng đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ (với abc ≠ 0) thì ∆ có phương trình dạng:

$\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ,

● Ngược lại, với abc ≠ 0, mỗi hệ phương trình $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ xác định đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (a; b; c)$ .

→ Nếu abc ≠ 0 thì hệ phương trình $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ .

4.4. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(x₀; y₀; z₀) và B(x₁; y₁; z₁) có:

● Phương trình tham số là: $\{\begin{cases} x = x_{0} + (x_{1} - x_{0}) t \\ y = y_{0} + (y_{1} - y_{0}) t \\ z = z_{0} + (z_{1} - z_{0}) t \end{cases}$ (t là tham số).

● Phương trình chính tắc là: $\frac{x - x_{0}}{x_{1} - x_{0}} = \frac{y - y_{0}}{y_{1} - y_{0}} = \frac{z - z_{0}}{z_{1} - z_{0}}$ (với x₀ ≠ x₁, y₀ ≠ y₁, z₀ ≠ z₁).

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

● Trong không gian, hai vectơ được gọi là cùng phương nếu các giá của chúng cùng song song với một đường thẳng, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

● Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ

$\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ và $\vec{u_{3}} = (a_{3}; b_{3}; c_{3})$ .

+) Hai vectơ $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ là cùng phương khi và chỉ khi $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = \vec{0}$ .

+) Ba vectơ $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{u_{3}}$ là đồng phẳng khi và chỉ khi $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \cdot \vec{u_{3}} = 0$ .

● Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng phân biệt ∆₁ , ∆₂ lần lượt đi qua các điểm M₁, M₂ và tương ứng có $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 5 Cánh diều

Chú ý: Trong một số trường hợp, để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, ta có thể giải hệ phương trình được lập từ những phương trình xác định hai đường thẳng đó, sau đó xét cặp vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó cùng phương hay không (nếu cần thiết).

6. Góc

6.1. Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó, ta có:

$\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{|a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2}|}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} \cdot \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}$ .

Nhận xét: ∆₁ ⊥ ∆₂ ⇔ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0.

6.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Gọi (∆, (P)) là góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P). Khi đó,

$\sin (Δ, (P)) = |\cos (\vec{u}, \vec{n})| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2}|}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} \cdot \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}$ .

6.3. Góc giữa hai mặt phẳng

● Góc giữa hai mặt phẳng (P₁) và (P₂) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó, kí hiệu là ((P₁), (P₂)).

● Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P₁), (P₂) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (A_{1}; B_{1}; C_{1})$ , $\vec{n_{2}} = (A_{2}; B_{2}; C_{2})$ .

Khi đó, ta có:

$\cos ((P_{1}), (P_{2})) = \frac{|A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2}|}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2}} \cdot \sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2}}}$ .

7. Định nghĩa mặt cầu

Cho trước điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm I một khoảng bằng R.

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 5 Cánh diều

Nhận xét

+ Điểm M thuộc mặt cầu tâm I bán kính R khi và chỉ khi IM = R.

+ Điểm M nằm trong mặt cầu tâm I bán kính R khi và chỉ khi IM < R.

+ Điểm M nằm ngoài mặt cầu tâm I bán kính R khi và chỉ khi IM > R.

8. Phương trình mặt cầu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R là:

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

Nhận xét:

● Cho mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình là:

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

Ta có thể viết phương trình đó về dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a² + b² + c² – R².

Vậy mỗi mặt cầu đều có phương trình dạng: x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

● Ngược lại, xét phương trình có dạng: x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

Ta có: x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

⇔ x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² + z² – 2cz + c² = a² + b² + c² – d

⇔ (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = a² + b² + c² – d.

Do đó, phương trình x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 xác định một mặt cầu khi và chỉ khi a² + b² + c² – d > 0. Ngoài ra, nếu a² + b² + c² – d > 0 thì phương trình đó xác định mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$ .

B. Bài tập Toán 12 Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

B.1. Bài tập tự luận

Bài 1. Lập phương trình mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm A(1; 2; 3) và nhận $\vec{n}$ = (4; 3; – 1) làm vectơ pháp tuyến;

b) (P) đi qua ba điểm H(1; 0; 0), I(0; 2; 0) và K(0; 0; 3).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình mặt phẳng (P) là:

4(x – 1) + 3(y – 2) – 1(z – 3) = 0 ⇔ 4x + 3y – z – 7 = 0.

b) Phương trình mặt phẳng (P) là:

$\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ ⇔ 6x + 3y + 2z – 6 = 0.

Bài 2.

a) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 1; − 1) và nhận hai vectơ $\vec{u} = (2; 5; - 2)$ và $\vec{v} = (1; - 3; 2)$ làm cặp vectơ chỉ phương.

b) Tính khoảng cách từ điểm A(1; 2; 0) đến mặt phẳng (P) vừa lập được ở câu a.

Hướng dẫn giải

a) Xét vectơ $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}] = (|\begin{matrix} 5 & - 2 \\ - 3 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & 5 \\ 1 & - 3 \end{matrix}|)$ , tức là $\vec{n}$ = (4; − 6; − 11).

Khi đó, $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vậy mặt phẳng (P) có phương trình là:

4(x – 1) – 6(y – 1) – 11(z + 1) = 0 ⇔ 4x – 6y – 11z – 9 = 0.

b) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là:

$d (A, (P)) = \frac{|4 \cdot 1 - 6 \cdot 2 - 11 \cdot 0 - 9|}{\sqrt{4^{2} + {(- 6)}^{2} + {(- 11)}^{2}}} = \frac{17}{\sqrt{173}}$ .

Bài 3. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:

a) ∆ đi qua điểm A(− 2; 3; 4) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (3; 5; 7)$ .

b) ∆ đi qua điểm B(− 3; 2; 6) và vuông góc với mặt phẳng (α): x + 2y – 3z + 10 = 0.

Hướng dẫn giải

a) +) Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là: $\{\begin{cases} x = - 2 + 3 t \\ y = 3 + 5 t \\ z = 4 + 7 t \end{cases}$ (t là tham số).

+) Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là: $\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 3}{5} = \frac{z - 4}{7}$ .

b) Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{α}} = (1; 2; - 3)$ .

Vì ∆ $⊥$ (α) nên đường thẳng ∆ nhận $\vec{u} = \vec{n_{α}} = (1; 2; - 3)$ làm một vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm B(−3; 2; 6), có $\vec{u} = (1; 2; - 3)$ là vectơ pháp tuyến có:

+) Phương trình tham số là: $\{\begin{cases} x = - 3 + t \\ y = 2 + 2 t \\ z = 6 - 3 t \end{cases}$ (t là tham số).

+) Phương trình chính tắc là: $\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 6}{- 3}$ .

Bài 4. Cho hai đường thẳng d₁: $\{\begin{cases} x = - 2 + 3 t \\ y = - 1 \\ z = 4 - t \end{cases}$ (t là tham số) và d₂: $\frac{x - 10}{- 1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z}{- 2}$ .

Chứng minh rằng d₁ và d₂ cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm của d₁ và d₂.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d₂ có phương trình tham số là $\{\begin{cases} x = 10 - t^{'} \\ y = - 1 - t^{'} \\ z = - 2 t^{'} \end{cases}$ (t' là tham số).

Xét hệ phương trình $\{\begin{cases} - 2 + 3 t = 10 - t^{'} \\ - 1 = - 1 - t^{'} \\ 4 - t = - 2 t^{'} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} t = 4 \\ t^{'} = 0 \end{cases}$ .

Hệ có nghiệm duy nhất. Do đó d₁ và d₂ cắt nhau.

Với t = 4 thay vào phương trình đường thẳng d₁ ta có $\{\begin{cases} x = 10 \\ y = - 1 \\ z = 0 \end{cases}$ .

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là (10; −1; 0).

Bài 5.

a) Tính góc giữa hai đường thẳng d₁: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 5}{2}$ và d₂: $\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$ .

b) Cho mặt phẳng (P): $- \sqrt{3} x + y + 5 = 0$ . Tính góc tạo bởi (P) và trục Ox.

c) Cho hai mặt phẳng (P): − 2x + 11y – 5z + 13 = 0 và (Q): x + 2y + z – 10 = 0. Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng d₁, d₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (1; - 1; 2), \vec{u_{2}} = (- 1; 1; 1)$ .

Ta có: $\cos (d_{1}, d_{2}) = \frac{|1 \cdot (- 1) + (- 1) \cdot 1 + 2 \cdot 1|}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}} \cdot \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = 0$ .

Suy ra (d₁, d₂) = 90°.

b) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (- \sqrt{3}; 1; 0)$ .

Trục Ox có vectơ chỉ phương là $\vec{i} = (1; 0; 0)$ .

Ta có: $\sin (O x, (P)) = \frac{|1 \cdot (- \sqrt{3}) + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0|}{\sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1^{2} + 0^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Suy ra (Ox, (P)) = 60°.

c) Hai mặt phẳng (P) và (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là:

$\vec{n_{1}} = (- 2; 11; - 5), \vec{n_{2}} = (1; 2; 1)$ .

Ta có: $\cos ((P), (Q)) = \frac{|(- 2) \cdot 1 + 11 \cdot 2 + (- 5) \cdot 1|}{\sqrt{{(- 2)}^{2} + 11^{2} + {(- 5)}^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$ .

Suy ra ((P), (Q)) = 60°.

Bài 6. Lập phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:

a) (S) có tâm I(1; – 3; 5) bán kính 4.

b) (S) có tâm I(2; 1; 0), đi qua điểm A(0; 1; 2).

c) (S) có đường kính AB với A(1; 2; 5), B(7; 4; −3).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; – 3; 5) bán kính 4 là:

(x – 1)² + (y + 3)² + (z – 5)² = 16.

b) Ta có bán kính R = IA = $\sqrt{{(0 - 2)}^{2} + {(1 - 1)}^{2} + {(2 - 0)}^{2}} = 2 \sqrt{2}$ .

Phương trình mặt cầu (S) là: (x – 2)²+ (y – 1)² + z² = 8.

c) Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó tọa độ của điểm I là:

$x_{I} = \frac{1 + 7}{2} = 4; y_{I} = \frac{2 + 4}{2} = 3; z_{I} = \frac{5 + (- 3)}{2} = 1$ . Suy ra I(4; 3; 1).

Ta có bán kính $R = \frac{A B}{2} = \frac{\sqrt{{(7 - 1)}^{2} + {(4 - 2)}^{2} + {(- 3 - 5)}^{2}}}{2} = \sqrt{26}$ .

Phương trình mặt cầu (S) là: (x – 4)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 26.

Bài 7. Cho mặt cầu (S) có phương trình: x² + (y – 2)² + (z + 3)² = 36.

a) Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S).

b) Điểm A(0; 2; 3) có thuộc mặt cầu (S) hay không?

c) Điểm B(1; – 4; 5) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu (S)?

d) Điểm C(2; 2; – 4) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu (S)?

Hướng dẫn giải

a) Ta có x² + (y – 2)² + (z + 3)² = 36 ⇔ (x – 0)² + (y – 2)² + [z – (– 3)]² = 6².

Do đó, mặt cầu (S) có tâm I(0; 2; – 3), bán kính R = 6.

Cách 1: Ta có IA = $\sqrt{{(0 - 0)}^{2} + {(2 - 2)}^{2} + {(3 - (- 3))}^{2}} = 6$ = R.

Do đó, điểm A(0; 2; 3) thuộc mặt cầu (S).

Cách 2: Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt cầu (S), ta được:

0² + (2 – 2)² + (3 + 3)² = 36.

Vậy điểm A(0; 2; 3) thuộc mặt cầu (S).

c) Ta có IB = $\sqrt{{(1 - 0)}^{2} + {(- 4 - 2)}^{2} + {(5 - (- 3))}^{2}} = \sqrt{101}$ > 6 = R.

Vậy điểm B(1; – 4; 5) nằm ngoài mặt cầu (S).

d) Ta có IC = $\sqrt{{(2 - 0)}^{2} + {(2 - 2)}^{2} + {(- 4 - (- 3))}^{2}} = \sqrt{5}$ < 6 = R.

Vậy điểm C(2; 2; – 4) nằm trong mặt cầu (S).

Bài 8. Cho mặt cầu (S) có phương trình: x² + y² + z² – 2x – 2y – 2z – 22 = 0 và mặt phẳng (P) có phương trình: 3x – 2y + 6z + 14 = 0. Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải

Ta có x² + y² + z² – 2x – 2y – 2z – 22 = 0

⇔ x² – 2x + 1 + y² – 2y + 1 + z² – 2z + 1 = 25

⇔ (x – 1)² + (y – 1)² + (z – 1)²= 25

Do đó, mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 1).

Vậy khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là:

$d (I, (P)) = \frac{|3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 6 \cdot 1 + 14|}{\sqrt{3^{2} + {(- 2)}^{2} + 6^{2}}} = \frac{21}{7} = 3$ .

Bài 9. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) một trạm phát sóng rađa của Nga được đặt trên bán đảo Crimea ở vị trí I(−2; 1; −1) và được thiết kế phát hiện máy bay của địch ở khoảng cách tối đa 500 km.

a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng của rađa trong không gian.

b) Hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh đang bay ở vị trí có tọa độ lần lượt là M(−200; 100; −250) và N(350; −100; 300). Hỏi rađa của Nga có thể phát hiện ra hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh không?

Hướng dẫn giải

a) Mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng của rađa trong không gian là mặt cầu tâm I(−2; 1; −1) bán kính R = 500 và có phương trình là:

[x – (– 2)]² + (y – 1)² + [z – (– 1)]² = 500²⇔ (x + 2)² + (y – 1)² + (z + 1)² = 250 000.

b) Có $I M = \sqrt{{(- 200 + 2)}^{2} + {(100 - 1)}^{2} + {(- 250 + 1)}^{2}} \approx 333, 18 < R$ .

$I N = \sqrt{{(350 + 2)}^{2} + {(- 100 - 1)}^{2} + {(300 + 1)}^{2}} \approx 474, 03 < R$ .

Vậy rađa của Nga có thể phát hiện ra hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh.

B.2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?

A. 3x – y + z² + 2 = 0.

B. x – y² + 2x – 3 = 0.

C. x² – y + 3z + 1 = 0.

D. 2x + 3y + 4z – 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A, B, C không đồng thời bằng 0 và x, y, z có số mũ bằng 1.

Nhận thấy chỉ có phương trình 2x + 3y + 4z – 1 = 0 đúng dạng phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Bài 2. Cho mặt phẳng (P) có phương trình 3x + 2y – z + 4 = 0. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:

A. $\vec{n} = (3; 2; 1)$ .

B. $\vec{n} = (- 2; 3; 1)$ .

C. $\vec{n} = (3; 2; - 1)$ .

D. $\vec{n} = (3; - 2; - 1)$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng (P): 3x + 2y – z + 4 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (3; 2; - 1)$ .

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x + 6}{2} = \frac{y - 2}{- 5} = \frac{z + 2}{3}$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 5 Cánh diều

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d: $\frac{x + 6}{2} = \frac{y - 2}{- 5} = \frac{z + 2}{3}$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u_{1}} = (2; - 5; 3)$ .

Bài 4. Đường thẳng đi qua điểm A(1; 5; – 3) nhận $\vec{u} = (1; - 3; 4)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:

Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 5 Cánh diều

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1; 5; – 3) nhận $\vec{u} = (1; - 3; 4)$ làm vectơ chỉ phương là: $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 5 - 3 t \\ z = - 3 + 4 t \end{cases}$ (t là tham số).