Với giải sách bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 5 sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 5

Bài 55 trang 67 SBT Toán 12 Tập 2: Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): −x + 2y – 9z + 7 = 0?

A. $\overrightarrow{n_1}$ = (1; 2; 9).

B. $\overrightarrow{n_2}$ = (1; −2; 9).

C. $\overrightarrow{n_3}$ = (1; 2; −9).

D. $\overrightarrow{n_4}$ = (−1; 2; 9).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có (P): −x + 2y – 9z + 7 = 0 hay x – 2y + 9z – 7 = 0.

Do đó, một vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n}$ = (1; −2; 9).

Bài 56 trang 67 SBT Toán 12 Tập 2: Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): 5x – 6z + 4 = 0?

A. $\overrightarrow{n_1}$ = (5; 0; −6).

B. $\overrightarrow{n_2}$ = (5; −6; 4).

C. $\overrightarrow{n_3}$ = (5; 0; 6).

D. $\overrightarrow{n_4}$ = (5; 6; 4).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có (Q): 5x – 6z + 4 = 0 hay 5x + 0y – 6z + 4 = 0.

Do đó, một vectơ pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow{n}$ = (5; 0; −6).

Bài 57 trang 68 SBT Toán 12 Tập 2: Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R): z – 2 = 0?

A. $\overrightarrow{n_1}$ = (1; −2; 0).

B. $\overrightarrow{n_2}$ = (1; 0; −2).

C. $\overrightarrow{n_3}$ = (0; 0; 1).

D. $\overrightarrow{n_4}$ = (1; 2; 0).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có (R): z – 2 = 0 hay 0x + 0y + z – 2 = 0.

Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R) là $\overrightarrow{n}$ = (0; 0; 1).

Bài 58 trang 68 SBT Toán 12 Tập 2: Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=9+6t\\ y=-10-7t\\ z=11+8t\end{array}\right.$

A. $\overrightarrow{u_1}$ = (9; −10; 11).

B. $\overrightarrow{u_2}$ = (6; 7; 8).

C. $\overrightarrow{u_3}$ = (9; 10; 11).

D. $\overrightarrow{u_4}$ = (6; −7; 8).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=9+6t\\ y=-10-7t\\ z=11+8t\end{array}\right.$ là $\overrightarrow{u_4}$ = (6; −7; 8).

Bài 59 trang 68 SBT Toán 12 Tập 2: Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d: \left\{\begin{array}{l}x=8-t\\ y=7\\ z=-6+9t\end{array}\right.$?

A. $\overrightarrow{u_1}$ = (−1; 0; 9).

B. $\overrightarrow{u_2}$ = (8; 7; 6).

C. $\overrightarrow{u_3}$ = (1; 0; 9).

D. $\overrightarrow{u_4}$ = (8; 7; −6).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=8-t\\ y=7\\ z=-6+9t\end{array}\right.$ là $\overrightarrow{u_1}$ = (−1; 0; 9).

Bài 60 trang 68 SBT Toán 12 Tập 2: Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d: \frac{\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{15}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{y}\mathbf{+}\mathbf{9}}{\mathbf{-}\mathbf{10}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{z}\mathbf{-}\mathbf{7}}{\mathbf{5}}$?

A. $\overrightarrow{u_1}$ = (2; −9; 7).

B. $\overrightarrow{u_2}$ = (−2; 9; −7).

C. $\overrightarrow{u_3}$ = (15; 10; 5).

D. $\overrightarrow{u_4}$ = (3; −2; 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d: $\frac{x-2}{15}=\frac{y+9}{-10}=\frac{z-7}{5}$ là: $\overrightarrow{u}$ = (15; −10; 5).

Khi đó, $\overrightarrow{u^{\text{'}}}=\frac{1}{5}\overrightarrow{u}$ = (3; −2; 1) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Bài 61 trang 68 SBT Toán 12 Tập 2: Mặt cầu (S): (x – 23)² + (y – 8)² + (z – 44)² = 81 có bán kính bằng:

A. 23.

B. 9.

C. 8.

D. 44.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có mặt cầu (S): (x – 23)² + (y – 8)² + (z – 44)² = 81

hay (x – 23)² + (y – 8)² + (z – 44)² = 9².

Do đó, bán kính của mặt cầu là R = 9.

Bài 62 trang 68 SBT Toán 12 Tập 2: Tọa độ tâm của mặt cầu (S): (x + 19)² + (y – 20)² + (z + 21)² = 22 là:

A. (−19; 20; −21).

B. (19; 20; −21).

C. (−19; 20; 21).

D. (19; 20; 21).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: (x + 19)² + (y – 20)² + (z + 21)² = 22

⇔ [x – (−19)]² + (y – 20)² + [z – (−21)]² = 22.

Do đó, tọa độ tâm của mặt cầu là (−19; 20; −21).

Bài 63 trang 68 SBT Toán 12 Tập 2: Cho a + b + c ≠ 0. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng x + a + b + c = 0 bằng:

A. |a + b + c|.

B. $\frac{|a+b+c|}{a^2+b^2+c^2}$

C. $\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{|a+b+c|}$

D. $\frac{|a+b+c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có, khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt mặt phẳng x + a + b + c = 0 là:

$d = \frac{|0+a+b+c|}{\sqrt{1^2}}$= | a + b + c|.

Bài 64 trang 69 SBT Toán 12 Tập 2: Cho điểm I(1; 2; 3) và đường thẳng ∆: $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua I và vuông góc với đường thẳng ∆.

Lời giải:

Do ∆ ⊥ (P) nên nếu $\overrightarrow{u}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì $\overrightarrow{u}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ có tọa độ (2; 1; −1) và đây cũng là tọa độ của vectơ pháp tuyến của (P).

Phương trình mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với đường thẳng ∆ là:

2(x – 1) + (y – 2) – 1(z – 3) = 0 ⇔ 2x + y – z + 1= 0.

Bài 65 trang 69 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (P₁): x + 4y – 2z + 2 = 0, (P₂): −2x + y + z + 3 = 0.

Lời giải:

 Ta có: Vectơ $\overrightarrow{n_1}$= (1; 4; −2) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P₁).

           Vectơ $\overrightarrow{n_2}$ = (−2; 1; 1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P₂).

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$.$\overrightarrow{n_2}$  = 1.(−2) + 4.1 + (−2).1 = 0.

Vậy hai mặt phẳng (P₁), (P­₂) vuông góc với nhau.

Bài 66 trang 69 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai điểm A(0; 2; 0) và B(2; −4; 0).

Lời giải:

Gọi I(x; y; z) là trung điểm của đoạn AB, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{0+2}{2}\\ y=\frac{2+(-4)}{2}\\ z=\frac{0+0}{2}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\\ x=0\end{array}\right.$. Vậy I(1; –1; 0).

Ta có AB = $\sqrt{{(2-0)}^2+{(-4-2)}^2+{(0-0)}^2}$ = $\sqrt{40}$ = 2$\sqrt{10}$.

Mặt cầu (S) tâm A và đi qua B có bán kính là: R = AB = 2$\sqrt{10}$.

Phương trình mặt cầu (S) tâm A và đi qua B là:

x² + (y – 2)² + z² = 40.

Bài 67 trang 69 SBT Toán 12 Tập 2: Cho bốn điểm A(0; 1; 1), B(−1; 0; 3), C(0; 0; 2) và D(1; 1; −2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]$

b) Lập phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC.

c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).

d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (−1; −1; 2), $\overrightarrow{AC}$ = (0; −1; 1),

                $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]$ = $\left(\left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ -1& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& -1\\ 0& -1\end{array}\right|\right)$ = (1; 1; 1).

b) Phương trình tham số của đường thẳng AB: $\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=1-t\\ z=1+2t\end{array}\right.$ (t là tham số).

Phương trình tham số của đường thẳng AC: $\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=1-t_1\\ z=1+t_1\end{array}\right.$ (t₁ là tham số).

c) Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC):

1.x + 1.(y – 1) + 1.(z – 1) = 0 hay x + y + z – 2 = 0.

d) Thay tọa độ điểm D(1; 1; −2) vào phương trình mặt phẳng (ABC), ta được:

1 + 1 – 2 – 2 = −2 ≠ 0 suy ra D không thuộc mặt phẳng (ABC) hay bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) là:

d(D, (ABC)) = $\frac{|1.1+1.1+1.(-2)-2|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Bài 68 trang 70 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm M(6; −7; 10) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ = (1; −2; 1);

b) (P) đi qua điểm N(−3; 8; −4) và có một cặp vectơ chỉ phương là:

 $\overrightarrow{n}$ = (3; −2; −1), $\overrightarrow{v}$= (1; 4; −5);

c) (P) đi qua điểm I(1; −4; 0) và song song với mặt phẳng (Q): 5x + 6y – 7z – 8 = 0;

d) (P) đi qua điểm K(0; −3; 4) và vuông góc với đường thẳng

∆: $\frac{x-4}{-1}=\frac{y}{3}=\frac{z-7}{2}.$

Lời giải:

a) Phương trình mặt phẳng (P) là:

1.(x – 6) – 2.(y + 7) + 1.(z – 10) = 0 hay x – 2y + z – 30 = 0.

b) Ta có $\overrightarrow{n}$ = $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]$= $\left(\left|\begin{array}{cc}-2& -1\\ 4& -5\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& 3\\ -5& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 4\end{array}\right|\right)$ = (14; 14; 14) = 14(1; 1; 1).

Khi đó, $\overrightarrow{n_P}=\left(1;1;1\right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

1.(x + 3) + 1.(y – 8) + 1.(z + 4) = 0 hay x + y + z – 1 = 0.

c) Do (P) // (Q) nên $\overrightarrow{n_P}=\overrightarrow{n_Q}$ = (5; 6; −7).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

 5(x – 1) + 6(y + 4) – 7(z – 0) = 0 hay 5x + 6y – 7z + 19 = 0.

d) Do (P) ⊥ ∆ nên $\overrightarrow{n_P}=\overrightarrow{u_{\Delta }}$ = (−1; 3; 2).

Phương trình mặt phẳng (P):

−1(x – 0) + 3(y + 3) + 2(z – 4) = 0 hay −x + 3y + 2z + 1 = 0.

Bài 69 trang 70 SBT Toán 12 Tập 2: Lập phương trình của mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:

a) (S) có tâm I(−2; 3; 8) bán kính R = 100;

b) (S) có tâm I(3; −4; 0) và đi qua điểm M(2; −3; 1);

c) (S) có đường kính là AB với A(−1; 0; 4) và B(1; 0; 2).

Lời giải:

a) Phương trình mặt cầu (S) là:

(x + 2)² + (y – 3)² + (z – 8)² = 100² hay (x + 2)² + (y – 3)² + (z – 8)² = 10 000.

b) Ta có: R = IM = $\sqrt{{(2-3)}^2+{[-3-(-4\left)\right]}^2+{(1-0)}^2}$ = $\sqrt{3}$.

Phương trình mặt cầu (S) là: (x – 3)² + (y + 4)² + z² = 3.

c) Gọi (x; y; z) là tọa độ tâm I của mặt cầu (S) có đường kính AB, khi đó I là trung điểm của AB nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{-1+1}{2}=0\\ y=\frac{0+0}{2}=0\\ z=\frac{4+2}{2}=3\end{array}\right.$ ⇒ I(0; 0; 3).

Bán kính R = IA = $\sqrt{{(-1-0)}^2+{(0-0)}^2+{(4-3)}^2}$ = $\sqrt{2}$

Phương trình mặt cầu (S) là: x² + y² + (z – 3)² = 2.

Bài 70 trang 70 SBT Toán 12 Tập 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ trong mỗi trường hợp sau:

a) ${∆}_1: \frac{x+2}{9}=\frac{y-1}{27}=\frac{z-3}{-27}$ và ${∆}_2: \frac{x+1}{-1}=\frac{y-3}{-3}=\frac{z-7}{3}$

b) ${∆}_1:\frac{x+1}{-2}=\frac{y-6}{5}=\frac{z+3}{-4}$ và ${∆}_2: \frac{x+13}{7}=\frac{y+9}{5}=\frac{z+15}{8}$

c) ${∆}_1: \frac{x+3}{2}=\frac{y+6}{3}=\frac{z+3}{2}$ và ${∆}_2: \frac{x+17}{2}=\frac{y-33}{-3}=\frac{z+16}{2}$

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}}$ = (9; 27; −27) và đi qua M₁(−2; 1; 3).

Đường thẳng ∆₂ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}$ = (−1; −3; 3) và đi qua M₂(−1; 3; 7).

Có $\overrightarrow{M_1{M}_2}$ = (1; 2; 4) và $\left[\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}},\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}\right]$ = $\left(\left|\begin{array}{cc}27& -27\\ -3& 3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-27& 9\\ 3& -1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}9& 27\\ -1& -3\end{array}\right|\right)$ = (0; 0; 0).

Có $\left\{\begin{array}{l}\left[\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}},\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}\right]=\overrightarrow{0}\\ M_1\notin {\Delta }_2\end{array}\right.$

Vậy ∆₁ // ∆₂.

b) Đường thẳng ∆₁ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}}$ = (−2; 5; −4) và đi qua M₁(−1; 6; −3).

Đường thẳng ∆₂ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}$ = (7; 5; 8) và đi qua M₂(−13; −9; −15).

Có $\overrightarrow{M_1{M}_2}$ = (−12; −15; −12) và

$\left[\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}},\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}\right]$ = $\left(\left|\begin{array}{cc}5& -4\\ 5& 8\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-4& -2\\ 8& 7\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& 5\\ 7& 5\end{array}\right|\right)$ = (60; −12; −45) ≠ $\overrightarrow{0}$.

Ta có: $\left[\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}},\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}\right].\overrightarrow{M_1{M}_2}$= 0.

Do $\left\{\begin{array}{l}\left[\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}},\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}\right]\ne \overrightarrow{0}\\ \left[\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}},\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}\right].\overrightarrow{M_1{M}_2}=0\end{array}\right.$ nên ∆₁ và ∆₂ cắt nhau.

c) Đường thẳng ∆₁ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}}$ = (2; 3; 2) và đi qua M₁(−3; −6; −3).

Đường thẳng ∆₂ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}$ = (2; −3; 2) và đi qua M₂(−17; 33; −16).

Có $\overrightarrow{M_1{M}_2}$ = (−14; 39; −13) và $\left[\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}},\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}\right]$ = $\left(\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ -3& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& -3\end{array}\right|\right)$ = (12; 0; –12).

Có $\left[\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}},\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}\right].\overrightarrow{M_1{M}_2}$= 12 . (−14) + 0 . 39 + (–12) . (−13) = −12 ≠ 0.

Vì $\left[\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}},\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}\right].\overrightarrow{M_1{M}_2}$ ≠ 0 nên ∆₁ và ∆₂ chéo nhau.

Bài 71 trang 70 SBT Toán 12 Tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết ${∆}_1:\left\{\begin{array}{l}x=8+\sqrt{2}{t}_1\\ y=9-t_1\\ z=10+t_1\end{array}\right.$ và ${∆}_2: \left\{\begin{array}{l}x=-7+t_2\\ y=-9+\sqrt{2}{t}_2\\ z=11-t_2\end{array}\right.$ (t₁, t₂ là tham số).

Lời giải:

Vectơ chỉ phương của ∆₁ và ∆₂ lần lượt là $\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}}$ = ( $\sqrt{2}$; −1; 1), $\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}$ = (1; $\sqrt{2}$; −1).

Có cos(∆₁, ∆₂) = $\frac{|\sqrt{2}.1+(-1).\sqrt{2}+1.(-1\left)\right|}{\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{(-1)}^2+1^2}.\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{(-1)}^2}}$= $\frac{1}{4}$.

Suy ra (∆₁, ∆₂) ≈ 76°.

Bài 72 trang 70 SBT Toán 12 Tập 2: Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết ∆: $\left\{\begin{array}{l}x=-1-5t\\ y=4-4t\\ z=-1+3t\end{array}\right.$(t là tham số) và (P): 3x + 4y +5z + 60 = 0.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{u_{\Delta }}$ = (−5; −4; 3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ và $\overrightarrow{n_P}$ = (3; 4; 5) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Có sin (∆, (P)) = $\frac{|-5.3+(-4).4+3.5|}{\sqrt{{(-5)}^2+{(-4)}^2+3^2}.\sqrt{3^2+4^2+5^2}}$ = $\frac{8}{25}$.

Suy ra (∆, (P)) ≈ 19°.

Bài 73 trang 71 SBT Toán 12 Tập 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng (P₁) và (P₂) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị), biết (P₁): 5x + 12y – 13z – 14 = 0 và (P₂): 13x – 5y – 12z + 7 = 0.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{n_{P_1}}$ = (5; 12; −13), $\overrightarrow{n_{P_2}}$ = (13; −5; −12) lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P₁) và (P₂).

Ta có: cos ((P₁), (P₂)) = $\frac{|5.13+12.(-5)+(-13).(-12\left)\right|}{\sqrt{5^2+{12}^2+{(-13)}^2}.\sqrt{{13}^2+{(-5)}^2+{(-12)}^2}}$ = $\frac{161}{338}$

Suy ra ((P₁), (P₂)) ≈ 62°.

Bài 74 trang 71 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai đường thẳng ∆₁: $\left\{\begin{array}{l}x=1+4t_1\\ y=9+t_1\\ z=1-6t_1\end{array}\right.$ và ∆₂: $\left\{\begin{array}{l}x=-4+3t_2\\ y=1-18t_2\\ z=-5-t_2\end{array}\right.$ (t₁, t₂ là tham số). Chứng minh rằng ∆₁ ⊥ ∆₂.

Lời giải:

Hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là:

$\overrightarrow{u_1}$= (4; 1; −6) và $\overrightarrow{u_2}$ = (3; −18; −1).

Ta có: $\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}$= 4 . 3 + 1 . (−18) + (−6) . (−1) = 0.

Suy ra ∆₁ ⊥ ∆₂ (đpcm).

Bài 75 trang 71 SBT Toán 12 Tập 2: Một nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu (mặt đầu sóng là mặt cầu). Khi gắn trên hệ trục tọa độ Oxyz với đơn vị trên mỗi trục là mét, vị trí nguồn âm có tọa độ (2; 3; 1), cường độ âm chuẩn phát ra có bán kính 10 m.

a) Lập phương trình mặt cầu mô tả ranh giới nhận được cường độ âm chuẩn.

b) Tại một vị trí có tọa độ (5; 0; 2) có nhận được cường độ âm chuẩn từ nguồn âm trên hay không?

Lời giải:

a) Ta có phương trình mặt cầu mô tả ranh giới nhận được cường độ âm chuẩn là:

(x – 2)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 10² hay (x – 2)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 100.

b) Khoảng cách từ vị trí điểm có tọa độ (5; 0; 2) đến nguồn âm là:

d = $\sqrt{{(5-2)}^2+{(0-3)}^2+{(2-1)}^2}$ = $\sqrt{19}$ < R (R = 10).

Vậy tại vị trí có tọa độ (5; 0; 2) có thể nhận được cường độ âm chuẩn từ nguồn âm.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác: