Với giải Hoạt động 10 trang 59 Toán 12 Tập 2 Cánh diều chi tiết trong Bài 1: Phương trình mặt phẳng giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Hoạt động 10 trang 59 Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 với $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ là vectơ pháp tuyến. Cho điểm M₀(2; 3; 4). Gọi H(x_H; y_H; z_H) là hình chiếu vuông góc của điểm M₀ trên mặt phẳng (P) (Hình 16).

a) Tính tọa độ của $\overrightarrow{H{M}_0}$ theo x_H, y_H, z_H.

b) Nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right),\overrightarrow{H{M}_0}$. Từ đó, hãy suy ra rằng

$\left|\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{H{M}_0}\right|=\left|\overrightarrow{n}\right|\cdot \left|\overrightarrow{H{M}_0}\right|=\left|A\cdot 2+B\cdot 3+C\cdot 4+D\right|$.

c) Tính các độ dài $\left|\overrightarrow{n}\right|,\left|\overrightarrow{H{M}_0}\right|$ theo A, B, C, D. Từ đó, hãy nêu công thức tính khoảng cách từ điểm M₀(2; 3; 4) đến mặt phẳng (P).

Lời giải:

a) $\overrightarrow{H{M}_0}=\left(2-x_H;3-y_H;4-z_H\right)$.

b) Vì H là hình chiếu vuông góc của M₀ trên mặt phẳng (P) nên HM₀ ⊥ (P).

Vectơ $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với mặt phẳng (P).

Từ đó suy ra đường thẳng HM₀ và giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ song song hoặc trùng nhau.

Do vậy, hai vectơ $\overrightarrow{n},\overrightarrow{H{M}_0}$ cùng phương.

Suy ra $\left|\overrightarrow{n}\right|\cdot \left|\overrightarrow{H{M}_0}\right|=\left|\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{H{M}_0}\right|$

= |A(2 – x_H) + B(3 – y_H) + C(4 – z_H)|

= |A ∙ 2 + B ∙ 3 + C ∙ 4 + (– Ax_H – By_H – Cz_H)|. (1)

Mặt khác vì H ∈ (P) nên ta có

Ax_H + By_H + Cz_H + D = 0, suy ra D = – Ax_H – By_H – Cz_H. (2)

Thay (2) và (1) ta được $\left|\overrightarrow{n}\right|\cdot \left|\overrightarrow{H{M}_0}\right|=\left|\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{H{M}_0}\right|$ = |A ∙ 2 + B ∙ 3 + C ∙ 4 + D|.

c) Ta có $\left|\overrightarrow{n}\right|=\sqrt{A^2+B^2+C^2}$.

Từ câu b) suy ra $\left|\overrightarrow{H{M}_0}\right|=\frac{\left|A\cdot 2+B\cdot 3+C\cdot 4+D\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|A\cdot 2+B\cdot 3+C\cdot 4+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Vậy d(M₀, (P)) = $\left|\overrightarrow{H{M}_0}\right|=\frac{\left|A\cdot 2+B\cdot 3+C\cdot 4+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$