Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 với vectơ n = (A; B; C) là vectơ pháp tuyến

76

Với giải Hoạt động 10 trang 59 Toán 12 Tập 2 Cánh diều chi tiết trong Bài 1: Phương trình mặt phẳng giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Hoạt động 10 trang 59 Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 với n=A;B;C là vectơ pháp tuyến. Cho điểm M0(2; 3; 4). Gọi H(xH; yH; zH) là hình chiếu vuông góc của điểm M0 trên mặt phẳng (P) (Hình 16).

Hoạt động 10 trang 59 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

a) Tính tọa độ của HM0 theo xH, yH, zH.

b) Nêu nhận xét về phương của hai vectơ n=A;B;C,  HM0. Từ đó, hãy suy ra rằng

nHM0=nHM0=A2+B3+C4+D.

c) Tính các độ dài n,  HM0 theo A, B, C, D. Từ đó, hãy nêu công thức tính khoảng cách từ điểm M0(2; 3; 4) đến mặt phẳng (P).

Lời giải:

a) HM0=2xH;3yH;4zH.

b) Vì H là hình chiếu vuông góc của M0 trên mặt phẳng (P) nên HM0 ⊥ (P).

Vectơ n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên giá của vectơ n vuông góc với mặt phẳng (P).

Từ đó suy ra đường thẳng HM0 và giá của vectơ n song song hoặc trùng nhau.

Do vậy, hai vectơ n,  HM0 cùng phương.

Suy ra nHM0=nHM0

= |A(2 – xH) + B(3 – yH) + C(4 – zH)|

= |A ∙ 2 + B ∙ 3 + C ∙ 4 + (– AxH – ByH – CzH)|. (1)

Mặt khác vì H ∈ (P) nên ta có

AxH + ByH + CzH + D = 0, suy ra D = – AxH – ByH – CzH. (2)

Thay (2) và (1) ta được nHM0=nHM0 = |A ∙ 2 + B ∙ 3 + C ∙ 4 + D|.

c) Ta có n=A2+B2+C2.

Từ câu b) suy ra HM0=A2+B3+C4+Dn=A2+B3+C4+DA2+B2+C2.

Vậy d(M0, (P)) = HM0=A2+B3+C4+DA2+B2+C2

Đánh giá

0

0 đánh giá