Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất một ẩn (Cánh diều 2024)

Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất một ẩn (Cánh diều 2024) | Lý thuyết Toán 9

Nguyễn Mạnh Tài Ngày: 08-07-2024 Lớp 9

193

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Bài 2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

A. Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất một ẩn

1. Mở đầu về bất phương trình bậc nhất một ẩn

Một bất phương trình với ẩn x có dạng $A (x) > B (x)$ (hoặc $A (x) < B (x), A (x) \geq B (x), A (x) \leq B (x)$ ) trong đó vế trái $A (x)$ và vế phải $B (x)$ là hai biểu thức của cùng một biến x.

Nghiệm của bất phương trình

Khi thay giá trị $x = a$ vào bất phương trình với ẩn x, ta được một khẳng định đúng thì số a (hay giá trị $x = a$ ) gọi là nghiệm của bất phương trình đó.

Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ:

Số -2 là nghiệm của bất phương trình $2 x - 10 < 0$ vì $2. (- 2) - 10 = - 4 - 10 = - 14 < 0$ .

Số 6 không là nghiệm của bất phương trình $2 x - 10 < 0$ vì $2.6 - 10 = 12 - 10 = 2 > 0$ .

2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Định nghĩa

Bất phương trình dạng $a x + b > 0$ (hoặc $a x + b < 0, a x + b \geq 0, a x + b \leq 0$ ) với a, b là hai số đã cho và $a \neq 0$ được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ: $3 x + 16 \leq 0$ ; $- 3 x > 0$ là các bất phương trình bậc nhất một ẩn x.

$x^{2} - 4 \geq 0$ không phải là một bất phương trình bậc nhất một ẩn x vì $x^{2} - 4$ là một đa thức bậc hai.

$3 x - 2 y < 2$ không phải là một bất phương trình bậc nhất một ẩn vì đa thức $3 x - 2 y$ là đa thức với hai biến x và y.

Cách giải

Bất phương trình bậc nhất một ẩn $a x + b > 0$ (với $a > 0$ ) được giải như sau:

$\begin{array}{l} a x + b > 0 \\ a x > - b \\ x > \frac{- b}{a} . \end{array}$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x > \frac{- b}{a}$ .

Bất phương trình bậc nhất một ẩn $a x + b > 0$ (với $a < 0$ ) được giải như sau:

$\begin{array}{l} a x + b > 0 \\ a x > - b \\ x < \frac{- b}{a} . \end{array}$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x < \frac{- b}{a}$ .

Chú ý: Các bất phương trình $a x + b < 0$ , $a x + b \leq 0$ , $a x + b \geq 0$ với a, b là hai số đã cho và $a \neq 0$ được giải bằng cách tương tự.

Ví dụ: Giải bất phương trình $- 2 x - 4 > 0$

Lời giải: Ta có:

$\begin{array}{l} - 2 x - 4 > 0 \\ - 2 x > 0 + 4 \\ - 2 x > 4 \\ x < 4. (- \frac{1}{2}) \\ x < - 2 \end{array}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < - 2$ .

Chú ý: Ta cũng có thể giải được các bất phương trình dạng $a x + b > c x + d; a x + b < c x + d; a x + b \geq c x + d; a x + b \leq c x + d$ bằng cách đưa bất phương trình về dạng $a x + b < 0$ , $a x + b > 0$ , $a x + b \leq 0$ , $a x + b \geq 0$ .

Sơ đồ tư duy Bất phương trình bậc nhất một ẩn

B. Bài tập Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

a) $\frac{2 x - 3}{3} \geq \frac{3 x - 2}{4} .$

b) $\frac{3 x + 5}{2} - 1 \leq \frac{x + 2}{3} + x .$

c) $\frac{x + 2}{6} + \frac{x + 5}{3} > \frac{x + 3}{5} + \frac{x + 6}{2} .$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{2 x - 3}{3} \geq \frac{3 x - 2}{4} .$

$\frac{4 (2 x - 3)}{12} \geq \frac{3 (3 x - 2)}{12}$

4(2x – 3) ≥ 3(3x – 2)

8x – 12 ≥ 9x – 6

8x – 9x ≥ – 6 + 12

–x ≥ 6

x ≤ –6.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ –6.

b) $\frac{3 x + 5}{2} - 1 \leq \frac{x + 2}{3} + x$

$\frac{3 (3 x + 5)}{6} - \frac{6}{6} \leq \frac{2 (x + 2)}{6} + \frac{6 x}{6}$

3(3x + 5) – 6 ≤ 2(x + 2) + 6x

9x + 15 – 6 ≤ 2x + 4 + 6x

9x – 2x – 6x ≤ 4 – 15 + 6

x ≤ –5.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ –5.

c) $\frac{x + 2}{6} + \frac{x + 5}{3} > \frac{x + 3}{5} + \frac{x + 6}{2}$

$(\frac{x + 2}{6} + 1) + (\frac{x + 5}{3} + 1) > (\frac{x + 3}{5} + 1) + (\frac{x + 6}{2} + 1)$

$\frac{x + 2 + 6}{6} + \frac{x + 5 + 3}{3} - \frac{x + 3 + 5}{5} - \frac{x + 6 + 2}{2} > 0$

$\frac{x + 8}{6} + \frac{x + 8}{3} - \frac{x + 8}{5} - \frac{x + 8}{2} > 0$

$(x + 8) (\frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2}) > 0$

$(x + 8) (\frac{5}{30} + \frac{10}{30} - \frac{6}{30} - \frac{15}{30}) > 0$

$(x + 8) \cdot \frac{- 6}{30} > 0$

x + 8 < 0

x < –8.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x < –8.

Bài 2. Bạn An đi taxi công nghệ đến trường, biết rằng đi taxi công nghệ rẻ bằng nửa giá mỗi km so với đi taxi truyền thống nhưng chịu giá mở cửa xe là 12 000 đồng (giá mở cửa xe là khi bạn đặt xe dù đi hay không tài khoản sẽ tự động trừ tiền). Biết rằng bạn An phải trả số tiền lớn hơn 42 000 đồng và nhỏ hơn 52 000 đồng. Tính số tiền nếu bạn An đi xe taxi truyền thống đến trường, biết nếu đi taxi truyền thống thì số tiền bạn An phải trả là số tròn chục nghìn.

Hướng dẫn giải

Gọi số tiền bạn An phải trả khi đi taxi truyền thống là x (đồng). (x > 0)

Khi đó, số tiền bạn An phải trả khi đi taxi công nghệ là $\frac{x}{2} + 12 000$ (đồng).

Theo bài, ta có bất phương trình:

$\frac{x}{2} + 12 000 > 42 000 (1)$ và $\frac{x}{2} + 12 000 < 52 000 (2)$

Giải bất phương trình (1):

$\frac{x}{2} + 12 000 > 42 000$

$\frac{x}{2} > 30 000$

x > 60 000. (*)

Giải bất phương trình (2):

$\frac{x}{2} + 12 000 < 52 000$

$\frac{x}{2} < 40 000$

x < 80 000. (**)

Từ (*) và (**) ta có 60 000 < x < 80 000.

Mà khi đi taxi truyền thống thì số tiền bạn An phải trả là số tròn chục nghìn nên ta có x = 70 000.

Vậy số tiền nếu bạn An đi xe taxi truyền thống đến trường là 70 000 đồng.

Bài 3. Trong các bất phương trình sau, đâu nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A. 5x + 7 < 0.

B. 0x + 6 > 0.

C. x² – 2x > 0.

D. x – 10 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bất phương trình dạng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0) với a, b là hai số đã cho và a ≠ 0 được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Dựa vào định nghĩa trên, ta có:

⦁ Bất phương trình ở phương án A là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

⦁ Bất phương trình ở phương án B không là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì có a = 0.

⦁ Bất phương trình ở phương án C không là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì có x².

⦁ Bất phương trình ở phương án D không là bất phương trình vì đây là phương trình bậc nhất một ẩn.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4. Giá trị x = 2 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. 7 – x < 2x.

B. 2x + 3 > 9.

C. –4x ≥ x + 5.

D. 5 – x > 6x – 12.

Hướng dẫn giải