Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

A. Lý thuyết Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Ví dụ:

1. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}2x-y=3\\ x+2y=4\end{array}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $y=2x-3$.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $x+2\left(2x-3\right)=4$

Giải phương trình $x+2\left(2x-3\right)=4$, ta được:

$x+2\left(2x-3\right)=4$

$5x-6=4$

$x=2$.

Thay $x=2$ vào phương trình $y=2x-3$, ta có: $y=2.2-3=1$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(2;1\right)$.

2. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x-y=-2\\ 2x-2y=8\end{array}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $x=y-2$.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được

$2\left(y-2\right)-2y=8$

$0y-4=8$.

Do không có giá trị vào của y thỏa mãn hệ thức $0y-4=8$ nên hệ phương trình vô nghiệm.

3. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}-x+y=-2\\ 3x-3y=6\end{array}$ được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có $y=x-2$.

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được

$3x-3\left(x-2\right)=6$

$0x=0$.

Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn $0x=0$.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị tương ứng của y được tính bởi $y=x-2$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $\left(x;x-2\right)$ với $x\in \mathbb{R}$ tùy ý.

Chú ý: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Ví dụ:

1. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}5x-7y=9\\ 5x-3y=1\end{array}$ được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Trừ từng vế hai phương trình ta được $\left(5x-5x\right)+\left(-7y+3y\right)=9-1$ hay $-4y=8$, suy ra $y=-2$.

Thế $y=-2$ vào phương trình thứ hai ta được $5x-7.\left(-2\right)=9$ hay $5x+14=9$, suy ra $x=-1$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (-1;-2).

2. Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}3x-5y=2\\ -6x+10y=-4\end{array}$ được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ $\{\begin{array}{l}3x-5y=2\\ -3x+5y=-2\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta có $0x+0y=0$. Hệ này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức $3x-5y=2$, suy ra $y=\frac{3}{5}x-\frac{2}{5}$.

Vậy hệ phương trình đã cho cho nghiệm là $\left(x;\frac{3}{5}x-\frac{2}{5}\right)$ với $x\in \mathbb{R}$.

Lưu ý: Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình tương tự như các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Hai xe cùng khởi hành một lúc ở hai tỉnh A và tỉnh B cách nhau 60km. Nếu đi ngược chiều thì gặp nhau sau 1 giờ; nếu đi cùng chiều thì xe đi nhanh sẽ đuổi kịp xe kia sau 3 giờ. Tìm vận tốc mỗi xe.

Lời giải:

Gọi x là vận tốc của xe đi nhanh, y là vận tốc của xe đi chậm ( $x,y>0;x>y$ và x, y tính bằng km/h).

Sau 1 giờ hai xe gặp nhau, nên ta có phương trình:

x + y = 60

Sau 3 giờ mỗi xe đi được 3x; 3y ( km) và gặp nhau, nên ta có phương trình:

3x – 3y = 60.

Vậy, ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x+y=60\\ 3x-3y=60\end{array}\\ \{\begin{array}{l}3x+3y=180\\ 3x-3y=60\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=40\\ y=20\end{array}$

($x=40;y=20$ thỏa mãn các điều kiện đã nêu)

Vậy xe đi nhanh có vận tốc $40(km/h)$, xe đi chậm có vận tốc $20(km/h)$.

Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số ấy bằng 12 và khi thay đổi thứ tự hai chữ số thì được một số lớn hơn số cũ là 18.

Lời giải:

Gọi x, y là các chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đã cho ($x\in \mathbb{N}$,$0<x\le 9$ ,$0\le x\le 9$)

Khi đó hai số có dạng $\overline{xy}=10x+y$ và $\overline{yx}=10y+x.$

Ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}x+y=12\\ 10y+x-18=10x+y\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x+y=12\\ x-y=2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=5\\ y=7\end{array}$

Vậy số cần tìm là 57.

3. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ: Giải hệ $\{\begin{array}{l}2x+y-4=0\\ -2x+y=0\end{array}$, ta viết nó dưới dạng $\{\begin{array}{l}2x+y=4\\ -2x+y=0\end{array}$.

Khi đó, ta có $a_1=2$, $b_1=1$, $c_1=4$, $a_2=-2$, $b_2=1$, $c_2=0$. Lần lượt thực hiện các bước sau:

Bước 1. Vào chức năng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách nhấn MENU rồi bấm phím 9 để chọn tính năng Equation/Func (Ptrình/HệPtrình).

Bấm phím 1 để chọn Simul Equation (hệ phương trình).

Cuối cùng, bấm phím 2 để giải hệ hai phương trình bậc nhất

Bước 2. Ta nhập các hệ số $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$ bằng cách bấm

Bước 3. Sau khi nhập xong, ta bấm phím =, màn hình hiện x = 1; tiếp tục bấm =, màn hình hiện y = 3. Ta hiểu nghiệm của hệ phương trình là (-1;2).

Chú ý:

- Muốn xóa số vừa mới nhập thì bấm phím AC, muốn thay đổi số đã nhập ở vị trí nào đó thì di chuyển con trỏ đến vị trí đó rồi nhập số mới.

- Bấm phím ▲ hay ▼ để chuyển hiển thị các giá trị của x và y trong kết quả.

- Nếu máy báo Infinite Solution thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Nếu máy báo No Solution thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Sơ đồ tư duy Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

B. Bài tập Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1. Trong một đợt khuyến mãi, siêu thị giảm giá cho mặt hàng A là 20% và mặt hàng B là 15% so vối giá niêm yết. Một khách hàng mua 2 món hàng A và 1 món hàng B thì phải trả số tiền là 362 000 đồng. Nhưng nếu mua trong khung giờ vàng thì mặt hàng A được giảm giá 30% và mặt hàng B được giảm giá 25% so với giá niêm yết. Một khách hàng mua 3 món hàng A và 2 món hàng B trong khung giờ vàng nên phải trả số tiền là 552 000 đồng. Tính giá niêm yết của mỗi mặt hàng A và B.

Hướng dẫn giải

Gọi giá niêm yết của mặt hàng A và B lần lượt là x, y (đồng) (x > 0, y > 0).

Giá của mặt hàng A sau khi giảm giá 20% là x.(100% – 20%) = 0,8x (đồng).

Giá của mặt hàng B sau khi giảm giá 15% là y.(100% – 15%) = 0,85y (đồng).

Khi đó, số tiền khách hàng phải trả khi mua 2 món hàng A và 1 món hàng B là: 2.0,8x + 0,85y (đồng).

Theo bài, ta có phương trình:

2.0,8x + 0,85y = 362 000 hay 1,6x + 0,85y = 362 000. (1)

Giá của mặt hàng A sau khi giảm giá 30% là x.(100% – 30%) = 0,7x (đồng).

Giá của mặt hàng B sau khi giảm giá 25% là y.(100% – 25%) = 0,75y (đồng).

Khi đó, số tiền khách hàng phải trả khi mua 3 món hàng A và 2 món hàng B là: 3.0,7x + 2.0,75y (đồng).

Theo bài, ta có phương trình:

3.0,7x + 2.0,75y = 552 000 hay 2,1x + 1,5y = 552 000. (2)

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}1,6x+0,85y=362000\left(1\right)\\ 2,1x+1,5y=552000\left(2\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (1) với 210 và nhân hai vế của phương trình (1) với 160, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}336x+178,5y=76020000\left(3\right)\\ 336x+240y=88320000\left(4\right)\end{array}\right.$

Trừ từng vế hai phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình:

–61,5y = –12 300 000, tức là y = 200 000 (thỏa mãn).

Thay y = 200 000 vào phương trình (1), ta có:

1,6x + 0,85.200 000 = 362 000. (5)

Giải phương trình (5):

1,6x + 0,85.200 000 = 362 000

1,6x + 170 000 = 362 000

1,6x = 192 000

x = 120 000 (thỏa mãn).

Do đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất (120 000; 200 000).

Vậy giá niêm yết của mặt hàng A và B lần lượt là 120 000 đồng và 200 000 đồng.

Bài 2. Tìm các hệ số x, y để cân bằng phương trình phản ứng hóa học sau:

4Al + xO₂ → yAl₂O₃.

Hướng dẫn giải

Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với Al và O, ta có: $\left\{\begin{array}{l}4=2y\left(1\right)\\ 2x=3y\left(2\right)\end{array}\right.$

Giải phương trình (1):

4 = 2y

y = 2.

Thay y = 2 vào phương trình (2), ta được: 2x = 3.2.   (3)

Giải phương trình (3):

2x = 3.2

2x = 6

  x = 3.

Do đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; 2).

Vậy ta có phương trình sau cân bằng:

4Al + 3O₂ → 2Al₂O₃.

Bài 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}0,6x+0,3y=1,8\\ 2x+y=-6\end{array}\right.$

A. có một nghiệm.

B. vô nghiệm.

C. có vô số nghiệm.

D. có hai nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}0,6x+0,3y=1,8\left(1\right)\\ 2x+y=-6\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (2), ta có:    y = –6 – 2x. (*)

Thế vào phương trình (1) ta được: 0,6x + 0,3.(–6 – 2x) = 1,8. (**)

Giải phương trình (**):

0,6x + 0,3.(–6 – 2x) = 1,8

0,6x – 1,8 – 0,6x = 1,8

0x = 3,6.

Do đó phương trình (**) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 4. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}1,5x-0,6y=0,3\\ -2x+y=-2\end{array}\right.$

A. có nghiệm là (0; –0,5).

B. có nghiệm là (1; 0).

C. có nghiệm là (–3; –8).

D. vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}1,5x-0,6y=0,3\left(1\right)\\ -2x+y=-2\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (2), ta có:    y = 2x – 2. (*)

Thế vào phương trình (1) ta được: 1,5x – 0,6.(2x – 2) = 0,3. (**)

Giải phương trình (**):

1,5x – 0,6.(2x – 2) = 0,3

1,5x – 1,2x + 1,2 = 0,3

0,3x = –0,9

     x = –3.

Thay x = –3 vào phương trình (*), ta có:

y = 2.(–3) – 2 = –8.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (–3; –8).

Bài 5. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\left\{\begin{array}{l}x+y=5\\ 3x-2y=5.\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}x+7y=14\\ 2x+14y=28.\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}x-2y=8\\ 3x-4y=11.\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

a) $\left\{\begin{array}{l}x+y=5\left(1\right)\\ 3x-2y=5\left(2\right).\end{array}\right.$

Từ phương trình (1), ta có:    x = 5 – y. (*)

Thế vào phương trình (2) ta được: 3.(5 – y) – 2y = 5. (**)

Giải phương trình (**):

3.(5 – y) – 2y = 5

15 – 3y – 2y = 5

15 – 5y = 5

–5y = –10

    y = 2.

Thay y = 2 vào phương trình (*), ta có:

x = 5 – 2 = 3.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (3; 2).

b) $\left\{\begin{array}{l}x+7y=14\left(3\right)\\ 2x+14y=28.\left(4\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (3), ta có:    x = 14 – 7y. (***)

Thế vào phương trình (4) ta được: 2.(14 – 7y) + 14y = 28. (****)

Giải phương trình (****):

2.(14 – 7y) + 14y = 28

28 – 14y + 14y = 28

0y = 0.

Do đó phương trình (****) có vô số nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

c) $\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}x-2y=8\left(5\right)\\ 3x-4y=11\left(6\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (5), ta có:    $2y=\frac{3}{2}x-8,$ suy ra $y=\frac{3}{4}x-4.\left(7\right)$

Thế vào phương trình (6) ta được: $3x-4\cdot \left(\frac{3}{4}x-4\right)=11.\left(8\right)$

Giải phương trình (8):

$3x-4\cdot \left(\frac{3}{4}x-4\right)=11$

3x – 3x + 16 = 11

0x = –5.

Do đó phương trình (8) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 6. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) $\left\{\begin{array}{l}-0,5x+0,5y=1\\ -2x+2y=8.\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}2x+6y=-7\\ 5x-2y=-9.\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}3x-5y=2\\ -6x+10y=-4.\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}-0,5x+0,5y=1\left(1a\right)\\ -2x+2y=8\left(2a\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (1a) với 4, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}-2x+2y=4\left(3a\right)\\ -2x+2y=8\left(4a\right)\end{array}\right.$

Trừ từng vế hai phương trình (3a) và (4a), ta nhận được phương trình:

0x + 0y = 12.

Phương trình trên vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

b) $\left\{\begin{array}{l}2x+6y=-7\left(1b\right)\\ 5x-2y=-9\left(2b\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (2b) với 3, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}2x+6y=-7\left(3b\right)\\ 15x-6y=-27\left(4b\right)\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình (3b) và (4b), ta nhận được phương trình:

17x = –34, tức là x = –2.

Thay x = –2 vào phương trình (2b), ta có: 5.(–2) – 2y = –9. (5b)

Giải phương trình (5b):

5.(–2) – 2y = –9

–10 – 2y = –9

–2y = 1

  $y=-\frac{1}{2}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(-2;-\frac{1}{2}\right).$

c) $\left\{\begin{array}{l}3x-5y=2\left(1c\right)\\ -6x+10y=-4\left(2c\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (1c) với 2, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}6x-10y=4\left(3c\right)\\ -6x+10y=-4\left(4c\right)\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình (3c) và (4c), ta nhận được phương trình:

0x + 0y = 0.

Phương trình trên vô số nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Xem thêm các bài tóm tắt Lý thuyết Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết Bài 1: Bất đẳng thức

Lý thuyết Bài 2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Lý thuyết Bài 1: Căn bậc hai và căn bậc ba của số thực

Lý thuyết Bài 2: Một số phép tính về căn bậc hai của số thực