Bài 1. Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo,  cm. Vẽ đường tròn (A; 4 cm). Trong các điểm O, B, C, D, xác định điểm nằm trong, nằm trên và nằm ngoài đường tròn (A; 4 cm).

Hướng dẫn giải

Hình vuông ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo nên AC ⊥ BD, AC = BD và O là trung điểm của AC, BD.

Suy ra  (cm) và AO ⊥ OB.

Xét ∆AOB vuông O, theo định lí Pythagore ta có:

Do đó AB = 4 (cm).

Khi đó, AD = AB = 4 (cm) (do ABCD là hình vuông) nênhai điểm B, D nằm trên đường tròn (A; 4 cm).

Vì  (cm) < 4 (cm) nên điểm O nằm trong đường tròn (A; 4 cm).

Ta có  (cm) > 4 (cm) nên điểm C nằm ngoài đường tròn (A; 4 cm).

Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có  và CD = 2AD.

a) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

b) Tính diện tích hình thang ABCD biết AD = 4 cm vàAB = 1,5 cm.

Hướng dẫn giải

a) Hình thang ABCD, có: AB // CD và   nên ABCD là hình thang cân.

Do đó BC = AD.

Gọi M là trung điểm CD. Suy ra CD = 2MD và MC = MD     (1)

Mà CD = 2AD nên MD = AD.

Xét ∆ADM có MD = AD và nên ∆ADM đều.

Suy ra MA = MD      (2)

Chứng minh tương tự, ta được MC = MB     (3)

Từ (1), (2), (3), ta thu được MA = MB = MC = MD.

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (M; MD).

b) Kẻ AH ⊥ CD tại H.

Do tam giác ADM đều nên 

Xét ∆ADH vuông tại H, ta có:

Diện tích hình thang ABCD là:

Vậy diện tích hình thang ABCD bằng  cm².

Bài 3. Cho đường tròn (O; R). Đường thẳng d đi qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại hai điểm A, C. Đường thẳng d’ (khác d) đi qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại hai điểm B, D. Chứng minh rằng:

a) A và C đối xứng với nhau qua điểm O; B và D đối xứng với nhau qua điểm O.

b) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

a) Xét đường tròn (O; R), ta có: OA = OC = R.

Suy ra O là trung điểm của AC.

Như vậy, A và C đối xứng với nhau qua điểm O.

Chứng minh tương tự, ta được B và D đối xứng với nhau qua O.

b) Ta có: AC = OA + OC = 2R và BD = OB + OD = 2R, nên AC = BD.

Xét tứ giác ABCD có O là trung điểm của AC và BD nên ABCD là hình bình hành.

Lại có AC = BD nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Bài 4. Đường tròn có bao nhiêu trục đối xứng?

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. Vô số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mỗi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của đường tròn đó.

Vậy đường tròn có vô số trục đối xứng.

Bài 5. Cho hai đường tròn (O; 9 cm), (O’; 8 cm) với OO’ = 17 cm. Kết luận nào sau đây đúng về vị trí tương đối của hai đường tròn?

A. Hai đường tròn ở ngoài nhau;

B. Hai đường tròn tiếp xúc ngoài;

C. Hai đường tròn tiếp xúc trong;

D. Hai đường tròn cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O), (O’) lần lượt là R = 9 cm và r = 8 cm.

Vì R + r = 9 + 8 = 17 (cm) nên OO’ = R + r.

Vậy hai đường tròn đã cho tiếp xúc ngoài.