Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

A. Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Tip học thuộc nhanh:

Chú ý: Nếu $\alpha$ là một góc nhọn thì $0<\sin \alpha <1$; $0<\cos \alpha <1$; $\tan \alpha >0$; $\cot \alpha >0.$

Ví dụ:

Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác, ta có:

$\sin \alpha =\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}$, $\cos \alpha =\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$, $\tan \alpha =\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3}$, $\cot \alpha =\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$

Giá trị lượng giác của các góc ${30}^0,{45}^0,{60}^0$

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Cho $\alpha$ và $\beta$ là hai góc phụ nhau, ta có:

$\sin \alpha =\cos \beta$, $\cos \alpha =\sin \beta$, $\tan \alpha =\cot \beta$, $\cot \alpha =\tan \beta$.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}\sin {60}^0=\cos \left({90}^0-{60}^0\right)=\cos {30}^0;\\ \cos {52}^0{30}^{\prime }=\sin \left({90}^0-{52}^0{30}^{\prime }\right)=\sin {37}^0{30}^{\prime };\\ \tan {80}^0=\cot \left({90}^0-{80}^0\right)=\cot {10}^0;\\ \cot {82}^0=\tan \left({90}^0-{82}^0\right)=\tan 8^0.\end{array}$

3. Sử dụng máy tính cầm tay tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Sử dụng máy tính cầm tay để tính các tỉ số lượng giác

Sử dụng máy tính cầm tay để tìm được góc khi biết một trong các tỉ số lượng giác của góc đó

Một số công thức mở rộng:

+) ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

+) $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

+) $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

+) $\tan \alpha .\cot \alpha =1$

+) $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }={\tan }^2\alpha +1$

+) $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }={\cot }^2\alpha +1$

Sơ đồ tư duy Tỉ số lượng giác của góc nhọn

B. Bài tập Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác sin, cos, tan, cot của các góc nhọn B và C khi biết:

a) AB = 5 cm, BC = 19 cm;

b) AC = 0,8 cm, AB = 1,2 cm.

Hướng dẫn giải

a) Theo định lí Pythagore, ta có: BC² = AB² + AC²

Suy ra AC² = BC² – AB² = 19² – 5² = 336

Do đó $AC=\sqrt{336}=4\sqrt{21}$.

Các tỉ số lượng giác của góc B và góc C là:

• $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{4\sqrt{21}}{19};$ $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{19}.$

• $\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{4\sqrt{21}}{5};$ $\cot B=\frac{1}{\tan B}=\frac{5}{4\sqrt{21}}=\frac{5\sqrt{21}}{84}.$

• $\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{19};$ $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{4\sqrt{21}}{19}.$

• $\tan C=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{4\sqrt{21}}=\frac{5\sqrt{21}}{84};$ $\cot C=\frac{1}{\tan C}=\frac{4\sqrt{21}}{5}.$

b) Theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 0,8² + 1,2² = 2,08.

Suy ra $BC=\sqrt{2,08}=\frac{2\sqrt{13}}{5}$.

Các tỉ số lượng giác của góc B và góc C là:

• $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{1,2}{\frac{2\sqrt{13}}{5}}=\frac{3\sqrt{13}}{13};$ $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{0,8}{\frac{2\sqrt{13}}{5}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}.$

• $\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{1,2}{0,8}=\frac{3}{2};$ $\cot B=\frac{1}{\tan B}=\frac{2}{3}.$

• $\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{0,8}{\frac{2\sqrt{13}}{5}}=\frac{2\sqrt{13}}{13};$ $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{1,2}{\frac{2\sqrt{13}}{5}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}.$

• $\tan C=\frac{AB}{AC}=\frac{0,8}{1,2}=\frac{2}{3};$ $\cot C=\frac{1}{\tan C}=\frac{3}{2}.$

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 2 và $\sqrt{2}.$ Tính $\widehat{CAD}$. (làm tròn đến độ).

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình chữ nhật  nên $\widehat{ADC}=90°$.

Xét tam giác ACD vuông tại D, ta có: $\tan \widehat{CAD}=\frac{CD}{AD}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.

Do đó $\widehat{CAD}\approx 55°.$

Vậy góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật bằng 55°.

Bài 3. Tính chiều cao của một ngọn núi (làm tròn đến mét), biết tại hai điểm A, B cách nhau 500m, người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 34° và 38°.

Hướng dẫn giải

Đặt BC = x (m).

Theo đề bài, ta có: AC = AB + BC = 500 + x (m)

Xét tam giác ACD vuông tại C, ta có:

$\tan \widehat{CAD}=\frac{CD}{AC}$ nên$CD=AC.\tan \widehat{CAD}$

Suy ra CD = (500 + x).tan 34° (1)

Xét tam giác BCD vuông tại C, ta có:

$\tan \widehat{CBD}=\frac{CD}{BC}$ nên$CD=BC.\tan \widehat{CBD}$

Suy ra CD = x.tan 38° (2)

Từ (1) và (2), ta có:(500 + x).tan 34° = x.tan 38°

500.tan 34° + x.tan 34° = x.tan 38°

x.tan 38° − x.tan 34° = 500.tan 34°

x.(tan 38° − tan 34°) = 500.tan 34°

Do đó $x=\frac{500.\tan 34°}{\tan 38°-\tan 34°}\approx 3158,5$ (m).

Chiều cao của ngọn núi là: CD ≈ 3158,5.tan 38° ≈ 2467,7 (m).

Vậy chiều cao của ngọn núi là 2467,7 m.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 10: Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Lý thuyết Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lý thuyết Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Lý thuyết Bài 13: Mở đầu về đường tròn

Lý thuyết Bài 14: Cung và dây của một đường tròn

Lý thuyết Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên