Với giải Bài 4 trang 70 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 2: Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Bài 4 trang 70 Chuyên đề Toán 12: Tỉ lệ phát bóng hỏng của một vận động viên bóng chuyền là 15%. Vận động viên đó thực hiện 40 quả phát bóng một cách độc lập với nhau. Gọi X là số quả phát bóng hỏng trong 40 quả đó.

a) Tính kì vọng và phương sai của X.

b) Hỏi xác suất X nhận giá trị bằng bao nhiêu là lớn nhất?

Lời giải:

Gọi T là phép thử “Vận động viên phát ngẫu nhiên một quả bóng”. Theo đề bài, phép thử T được lặp lại 40 lần một cách độc lập. Gọi A là biến cố “Quả bóng bị phát hỏng”. Ta có P(A) = 15% = 0,15.

Do phép thử T được thực hiện 40 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử đều bằng 0,15 nên X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức B(40; 0,15).

a) Kì vọng của X là: E(X) = np = 40 . 0,15 = 6.

Phương sai của X là: V(X) = np(1 – p) = 40 . 0,15 . (1 – 0,15) = 5,1.

b) Ta có:

$P\left(X=k\right)=C_{40}^k\cdot 0,{15}^k\cdot {\left(1-0,15\right)}^{40-k}$ (với k = 0, 1, …, 40)

$=C_{40}^k\cdot 0,{15}^k\cdot 0,{85}^{40-k}=C_{40}^k\cdot {\left(\frac{0,15}{0,85}\right)}^k\cdot 0,{85}^{40}=C_{40}^k\cdot {\left(\frac{3}{17}\right)}^k\cdot 0,{85}^{40}.$

Khi đó: $P\left(X=k+1\right)=C_{40}^{k+1}\cdot {\left(\frac{3}{17}\right)}^{k+1}\cdot 0,{85}^{40}$ với k = 0, 1, …, 39.

⦁ Trường hợp 1. Nếu P(X = k) > P(X = k + 1) thì ta có:

⇔ 17k + 17 – 120 + 3k > 0 (do 40 – k > 0)

⇔ 20k > 103

$\iff k>\frac{103}{20}=5,15$

Mà k ∈ {0; 1; …; 40} nên k ∈ {6; 7; …; 50}.

Khi đó P(X = 6) > P(X = 7) > … > P(X = 40).

⦁ Trường hợp 2. Nếu P(X = k) < P(X = k + 1) thì tương tự trường hợp 1, ta có: k < 5,15.

Mà k ∈ {0; 1; …; 39} nên k ∈ {0; 1; ..; 5}.

Khi đó P(X = 0) < P(X = 1) < … < P(X = 5).

⦁ Xét $P\left(X=5\right)=C_{40}^5\cdot {\left(\frac{3}{17}\right)}^5\cdot 0,{85}^{40}\approx 0,169;$

        $P\left(X=6\right)=C_{40}^6\cdot {\left(\frac{3}{17}\right)}^6\cdot 0,{85}^{40}\approx 0,174.$

Do đó P(X = 5) < P(X = 6).

Suy ra P(X = 0) < P(X = 1) < … < P(X = 5) < P(X = 6) > P(X = 7) > … > P(X = 40).

Vì vậy, P(X = 6) có giá trị lớn nhất.

Vậy xác suất X nhận giá trị bằng 6 là lớn nhất.