Với giải Bài 5 trang 14 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài 5 trang 14 Chuyên đề Toán 12: Hàm lượng các vi chất (chất vi lượng) calcium, phosphorus và iron chứa trong 100 g hai loại thực phẩm X và Y được cho ở bảng sau:

Từ hai loại thực phẩm X và Y, người ta muốn tạo ra một lượng thực phẩm hỗn hợp chứa ít nhất 2 000 mg calcium, 3 000 mg phosphorus, 48 mg iron. Cần chọn bao nhiêu gam thực phẩm mỗi loại X và Y sao cho lượng thực phẩm hỗn hợp có khối lượng nhỏ nhất?

Lời giải:

Gọi x, y (x ≥ 0, y ≥ 0, tính theo gam) lần lượt là số gam thực phẩm loại X và loại Y cần chọn để tạo ra thực phẩm hỗn hợp.

Từ yêu cầu thực phẩm hỗn hợp cần chứa ít nhất 2 000 mg calcium, 3 000 mg phosphorus, 48 mg iron, ta có các bất phương trình

$\left\{\begin{array}{l}2x+5y\ge 2000\\ 6x+3y\ge 3000\\ \mathrm{0,08}x+\mathrm{0,06}y\ge 48\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}2x+5y\ge 2000\\ 2x+y\ge 1000\\ 4x+3y\ge 2400.\end{array}\right.$

Lượng thực phẩm hỗn hợp có khối lượng là F = x + y (g).

Từ đó, ta nhận được bài toán quy hoạch tuyến tính:

F = x + y → min

với ràng buộc 

$\left\{\begin{array}{l}2x+5y\ge 2000\\ 2x+y\ge 1000\\ 4x+3y\ge 2400\\ x\ge 0\\ y\ge 0.\end{array}\right.$

Tập phương án Ω của bài toán là miền không bị gạch chéo trên hình dưới đây, có các đỉnh là A(1 000; 0), $B\left(\frac{3000}{7};\frac{1600}{7}\right)$, C(300; 400) và D(0; 1 000).

Miền Ω nằm trong góc phần tư thứ nhất, các hệ số của hàm mục tiêu F dương nên F đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của Ω.

Giá trị của F tại các đỉnh:

F(1 000; 0) = 1 000 + 0 = 1 000;

$F\left(\frac{3000}{7};\frac{1600}{7}\right)=\frac{3000}{7}+\frac{1600}{7}=\frac{4600}{7}$;

F(300; 400) = 300 + 400 = 700;

F(0; 1 000) = 0 + 1 000 = 1 000.

Suy ra $\underset{\Omega }{\min }F=\frac{4600}{7}$, đạt được khi $x=\frac{3000}{7};y=\frac{1600}{7}$.

Vậy cần dùng $\frac{3000}{7}$g thực phẩm loại X và $\frac{1600}{7}$g thực phẩm loại Y thì lượng thực phẩm hỗn hợp có khối lượng nhỏ nhất.