Giải toán 10 trang 62 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Lữ Ngọc My My Ngày: 17-02-2023 Lớp 10

2.7 K

Với Giải toán 10 trang 62 Tập 2 Chân trời sáng tạo chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải toán 10 trang 62 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 62 Toán lớp 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0$ tại điểm $A (4; 6)$

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm $I (a; b)$ tại điểm $M (x_{0}; y_{0})$ nằm trên đường tròn là: $(a - x_{0}) (x - x_{0}) + (b - y_{0}) (y - y_{0}) = 0$

Lời giải:

Ta có $4^{2} + 6^{2} - 2.4 - 4.6 - 20 = 0$ , nên điểm A thuộc (C)

Đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0$ có tâm $I (1; 2)$

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại $A (4; 6)$ là:

$\begin{array}{l} (4 - 1) (x - 4) + (6 - 2) (y - 6) = 0 \\ \Leftrightarrow 3 x + 4 y + 16 = 0 \end{array}$

Vận dụng 3 trang 62 Toán lớp 10: Một vận động viên ném đĩa đã vung đĩa theo một đường tròn $(C)$ có phương trình:

${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{169}{144}$ .

Khi người đó vung đĩa đến vị trí điểm $M (\frac{17}{12}; 2)$ thì buông đĩa (hình 4). Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm M

Vận dụng 3 trang 62 Toán lớp 10 Tập 2 | Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đường trong tâm $I (a; b)$ tại điểm $M (x_{0}; y_{0})$ nằm trên đường tròn là: $(a - x_{0}) (x - x_{0}) + (b - y_{0}) (y - y_{0}) = 0$

Lời giải:

Ta có ${(\frac{17}{12} - 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2} = \frac{169}{144}$ , nên điểm M thuộc (C)

Đường tròn ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{169}{144}$ có tâm $I (1; 1)$

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại $M (\frac{17}{12}; 2)$ là:

$\begin{array}{l} (\frac{17}{12} - 1) (x - \frac{17}{12}) + (2 - 1) (y - 2) = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{5}{2} x + y - \frac{133}{24} = 0 \end{array}$

Bài 1 trang 62 Toán lớp 10: Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 21 = 0$

b) $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 2 = 0$

c) $x^{2} + y^{2} - 3 x + 2 y + 7 = 0$

d) \(2{x^2} + 2{y^2} + x + y - 1

Phương pháp giải:

+) Phương trình $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} - c > 0$ , khi đó nó có tâm I(a;b) và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$

Lời giải:

a) Phương trình đã cho có dạng $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ với $a = 3, b = 4, c = 21$

Ta có $a^{2} + b^{2} - c = 9 + 16 - 21 = 4 > 0$ . Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là $I (3; 4)$ và có bán kính $R = \sqrt{4} = 2$

b) Phương trình đã cho có dạng $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ với $a = 1, b = - 2, c = 2$

Ta có $a^{2} + b^{2} - c = 1 + 4 - 2 = 3 > 0$ . Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là $I (1; - 2)$ và có bán kính $R = \sqrt{3}$

c) Phương trình đã cho có dạng $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ với $a = \frac{3}{2}, b = - 1, c = 7$

Ta có $a^{2} + b^{2} - c = \frac{9}{4} + 1 - 7 = - \frac{15}{4} < 0$ . Vậy đây không là phương trình đường tròn.

d) Phương trình không có dạng $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ nên phương trình đã cho không là phương trình đường tròn.

Bài 2 trang 62 Toán lớp 10: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) $(C)$ có tâm $I (1; 5)$ và bán kính $r = 4$

b) $(C)$ có đường kính MN với $M (3; - 1)$ và $N (9; 3)$

c) $(C)$ có tâm $I (2; 1)$ và tiếp xúc với đường thẳng $5 x - 12 y + 12 = 0$

d) $(C)$ có tâm $A (1; - 2)$ và đi qua điểm $B (4; - 5)$

Phương pháp giải:

a) Phương trình đường tròn có dạng ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = R^{2}$ với tâm $I (a; b)$ và bán kính R

b) Bước 1: Từ đường kính xác định bán kính của đường tròn

Bước 2: Xác định tâm của đường tròn (là trung điểm của đường kính)

c, d) Bước 1: Xác định bán kính của đường tròn (là khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến)

Bước 2: Viết phương trình đường tròn ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = R^{2}$ với tâm $I (a; b)$ và bán kính R

Lời giải:

a) Đường tròn (C) tâm $I (1; 5)$ , bán kính $r = 4$ có phương trình là: ${(x - 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 16$

b) $M N = \sqrt{{(9 - 3)}^{2} + {(3 - (- 1))}^{2}} = 2 \sqrt{13}$ , suy ra bán kính là $\sqrt{13}$

Tâm của đường tròn là trung điểm của MN: $I (6; 1)$

Đường tròn (C) tâm $I (6; 1)$ và bán kính là $\sqrt{13}$ có phương trình: ${(x - 6)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 13$

c) Ta có bán kính của đường tròn $r = d (I, d) = \frac{| 5.2 - 12.1 + 11 |}{\sqrt{5^{2} + 12^{2}}} = \frac{9}{13}$

Đường tròn (C) tâm $I (2; 1)$ và bán kính là $\frac{9}{13}$ có phương trình: ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{81}{169}$

d) Bán kính của đường tròn là $r = A B = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {((- 5) - (- 2))}^{2}} = 3 \sqrt{2}$

Đường tròn (C) tâm $A (1; - 2)$ và bán kính là $3 \sqrt{2}$ có phương trình: ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 18$

Bài 3 trang 62 Toán lớp 10: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:

a) $M (2; 5), N (1; 2), P (5; 4)$

b) $A (0; 6), B (7; 7), C (8; 0)$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tâm của đường tròn (điểm cách đều ba đỉnh của tam giác, là giao điểm của 3 đường trung trực)

Bước 2: Tính bán kính của đường tròn (là khoảng cách từ tâm đến một trong ba đỉnh)

Bước 3: Viết phương trình đường tròn ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = R^{2}$ với tâm $I (a; b)$ và bán kính R

Lời giải:

a) Gọi A,B lần lượt là trung điểm của MN, MP ta có: $A (\frac{3}{2}; \frac{7}{2}), B (\frac{7}{2}; \frac{9}{2})$

Đường trung trực $Δ$ của đoạn thẳng MN là đường thẳng đi qua $A (\frac{3}{2}; \frac{7}{2})$ và nhận vt $\vec{M N} = (- 1; - 3)$ làm vt pháp tuyến, nên có phương trình $- x - 3 y + 12 = 0$

Đường trung trực d của đoạn thẳng MP là đường thẳng đi qua $B (\frac{7}{2}; \frac{9}{2})$ và nhận vt $\vec{M P} = (3; - 1)$ làm vt pháp tuyến, nên có phương trình $3 x - y - 6 = 0$

$Δ$ cắt d tại điểm $I (3; 3)$ cách đều ba điểm M, N, P suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm $I (3; 3)$ và có bán kính $R = I M = \sqrt{5}$ . Vậy (C) có phương trình: ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC ta có: $M (\frac{7}{2}; \frac{13}{2}), N (4; 3)$

Đường trung trực $Δ$ của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua $M (\frac{7}{2}; \frac{13}{2})$ và nhận vt $\vec{B A} = (- 7; - 1)$ làm vt pháp tuyến, nên có phương trình $- 7 x - y + 31 = 0$

Đường trung trực d của đoạn thẳng AC là đường thẳng đi qua $N (4; 3)$ và nhận vt $\vec{A C} = (8; - 6)$ làm vt pháp tuyến, nên có phương trình $8 x - 6 y - 14 = 0$

$Δ$ cắt d tại điểm $I (4; 3)$ cách đều ba điểm A, B, C suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm $I (4; 3)$ và có bán kính $R = I A = 5$ . Vậy (C) có phương trình: ${(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 25$

Bài 4 trang 62 Toán lớp 10: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm $A (4; 2)$

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi $I (a, b)$ là tâm của bán kính, giải hệ phương trình ${\begin{cases} d (I, O x) = I A \\ d (I, O y) = I A \end{cases}$

Bước 2: Viết phương trình đường tròn ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = R^{2}$ với tâm $I (a; b)$ và bán kính R

Lời giải:

Gọi tâm của đường tròn là điểm $I (a; b)$

Ta có: $I A = \sqrt{{(a - 4)}^{2} + {(b - 2)}^{2}}, d (I, O x) = b, d (I, O y) = a$

Giải hệ phương trình ${\begin{cases} d (I, O x) = I A \\ d (I, O y) = I A \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} b = \sqrt{{(a - 4)}^{2} + {(b - 2)}^{2}} \\ a = \sqrt{{(a - 4)}^{2} + {(b - 2)}^{2}} \end{cases}$

Thay $a = b$ vào phương trình $a = \sqrt{{(a - 4)}^{2} + {(b - 2)}^{2}}$ ta có:

$\begin{array}{l} a = \sqrt{{(a - 4)}^{2} + {(a - 2)}^{2}} \\ \Rightarrow a^{2} = {(a - 4)}^{2} + {(a - 2)}^{2} \\ \Rightarrow a^{2} - 12 a + 20 = 0 \\ \Rightarrow [\begin{array}{l} a = 10 \\ a = 2 \end{array} \end{array}$