Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 2: Phương trình bậc hai một ẩn chi tiết sách Toán 9 Tập 2 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 9 Bài 2: Phương trình bậc hai một ẩn

Khởi động trang 52 Toán 9 Tập 2: Giả sử khi ném một quả bóng vào rổ, độ cao y (feet) của quả bóng và thời gian x (giây) liên hệ với nhau bởi công thức:

y = –5,8x² + 11,8x + 7.

(Nguồn: https://askiitians.com)

Khi quả bóng chạm đất, ta có thời gian x thoả mãn phương trình:

–5,8x² + 11,8x + 7 = 0.

Làm thế nào để giải đuợc phuơng trình trên?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Giải phương trình: –5,8x² + 11,8x + 7 = 0 với x > 0.

Phương trình có các hệ số a = –5,8; b = 11,8, c = 7,

∆ = 11,8² – 4.(–5,8).7 = 301,64 > 0.

Do ∆ > 0 nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-11,8+\sqrt{301,64}}{2\cdot \left(-5,8\right)}\approx -0,5$ (không thỏa mãn điều kiện x > 0);

$x_2=\frac{-11,8-\sqrt{301,64}}{2\cdot \left(-5,8\right)}\approx 2,5$ (thỏa mãn điều kiện x > 0).

Vậy sau khoảng 2,5 giây ném bóng thì quả bóng chạm đất.

I. Định nghĩa

Hoạt động 1 trang 52 Toán 9 Tập 2: Trong bài toán ở phần mở đầu, đối với đa thức –5,8x² + 11,8x + 7 ở vế trái của phương trình, hãy xác định: bậc; hệ số của x², hệ số của x và hệ số tự do.

Lời giải:

Đa thức –5,8x² + 11,8x + 7 ở vế trái của phương trình có bậc là 2; hệ số của x² là –5,8; hệ số của x là 11,8 và hệ số tự do là 7.

Luyện tập 1 trang 52 Toán 9 Tập 2: Cho hai ví dụ về:

a) Phương trình bậc hai ẩn t;

b) Phương trình không phải là phương trình bậc hai một ẩn.

Lời giải:

a) Hai ví dụ về phương trình bậc hai ẩn t:

t² – 2t + 3 = 0; t² + 1 = 0.

b) Hai ví dụ về phương trình không phải là phương trình bậc hai một ẩn:

0x² – x = 2; x + 1 = 0.

II. Giải phương trình

Hoạt động 2 trang 53 Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:

a) (x – 2)² = 0;

b) (x – 1)² = 9;

c) (x – 3)² = –1.

Lời giải:

a) (x – 2)² = 0

      x – 2 = 0

      x = 2.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x = 2.

b) (x – 1)² = 9

     x – 1 = 3 hoặc x – 1 = –3

     x = 4 hoặc x = –2.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 4 và x = –2.

c) (x – 3)² = –1.

Vì (x – 3)² ≥ 0 với mọi x nên phương trình (x – 3)² = –1 vô nghiệm.

Luyện tập 2 trang 53 Toán 9 Tập 2: Giải phương trình: (x – 4)² = 11.

Lời giải:

Ta có:

(x – 4)² = 11

$x-4=\sqrt{11}$ hoặc $x-4=-\sqrt{11}$

$x=4+\sqrt{11}$ hoặc $x=4-\sqrt{11}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=4+\sqrt{11}$ và $x=4-\sqrt{11}.$

Hoạt động 3 trang 53 Toán 9 Tập 2: Xét phương trình

2x² – 4x – 16 = 0    (1)

Chia hai vế của phương trình (1) cho 2, ta được phương trình:

x² – 2x – 8 = 0    (2)

a) Tìm số thích hợp cho  khi biến đổi phương trình (2) về dạng: 

b) Từ đó, hãy giải phương trình (2).

c) Nêu các nghiệm của phương trình (1).

Lời giải:

a) Ta có:

x² – 2x – 8 = 0   

x² – 2x + 1 – 9 = 0

(x – 1)² = 9.

Vậy ta điền được số thích hợp cho  như sau:

b) Ta có:

(x – 1)² = 9

     x – 1 = 3 hoặc x – 1 = –3

     x = 4 hoặc x = –2.

Vậy phương trình (2) có hai nghiệm là x = 4 và x = –2.

c) Vì chia hai vế của phương trình (1) cho số 2 khác 0, ta được phương trình (2) nên nghiệm của phương trình (2) chính là nghiệm của phương trình (1).

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là x = 4 và x = –2.

Luyện tập 3 trang 55 Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:

a) 3x² – x – 0,5 = 0;

b) 4x² + 10x + 15 = 0;

c) $-x^2+x-\frac{1}{4}=0.$

Lời giải:

a) 3x² – x – 0,5 = 0

Phương trình có các hệ số a = 3, b = –1, c = –0,5,

∆ = (–1)² – 4.3.(–0,5) = 7 > 0.

Do ∆ > 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{7}}{2\cdot 3}=\frac{1+\sqrt{7}}{6};$$x_2=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{7}}{2\cdot 3}=\frac{1-\sqrt{7}}{6}.$

b) 4x² + 10x + 15 = 0

Phương trình có các hệ số a = 4, b = 10, c = 15,

∆ = 10² – 4.4.15 = –140 < 0.

Do ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

c) $-x^2+x-\frac{1}{4}=0.$

Phương trình có các hệ số a = –1, b = 1, $c=-\frac{1}{4},$

$\Delta =1^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(\frac{-1}{4}\right)=0.$

Do ∆ = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-1}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{1}{2}.$

Hoạt động 4 trang 55 Toán 9 Tập 2: Xét phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) với b = 2b’.

a) Đặt ∆’ = b’² – ac. Chứng tỏ rằng ∆ = 4∆’.

b) Xét tính có nghiệm và nêu công thức nghiệm (nếu có) của phương trình trong các trường hợp: ∆’ > 0; ∆’ = 0; ∆’ < 0.

Lời giải:

a) Ta có ∆ = b² – 4ac = (2b’)² – 4ac = 4b’² – 4ac = 4(b’² – ac) = 4∆’.

Vậy ∆ = 4∆’.

b) Trường hợp 1: ∆’ > 0 nên 4∆’ > 0 hay ∆ > 0.

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2b^{\text{'}}+\sqrt{4{\Delta }^{\text{'}}}}{2a}=\frac{-2b^{\text{'}}+2\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{2a}=\frac{-b^{\text{'}}+\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a};$

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2b^{\text{'}}-\sqrt{4{\Delta }^{\text{'}}}}{2a}=\frac{-2b^{\text{'}}-2\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{2a}=\frac{-b^{\text{'}}-\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a}.$

Trường hợp 2: ∆’ = 0 nên 4∆’ = 0 hay ∆ = 0.

Khi đó phương trình có nghiệm kép là:

$x_1=x_2=\frac{-b}{2a}=\frac{-2b^{\text{'}}}{2a}=\frac{-b^{\text{'}}}{a}.$

Trường hợp 3: ∆’ < 0 nên 4∆’ < 0 hay ∆ < 0.

Khi đó phương trình vô nghiệm.

Luyện tập 4 trang 56 Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:

a) x² – 6x – 5 = 0;

b) –3x² + 12x – 35 = 0;

c) –25x² + 30x – 9 = 0.

Lời giải:

a) x² – 6x – 5 = 0

Phương trình có các hệ số a = 1, b = –6, c = –5. Do b = –6 nên b’ = –3.

Ta có: ∆’ = (–3)² – 1.(–5) = 14 > 0.

Do ∆’ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{14}}{1}=3+\sqrt{14};$$x_2=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{14}}{1}=3-\sqrt{14}.$

b) –3x² + 12x – 35 = 0

Phương trình có các hệ số a = –3, b = 12, c = –35. Do b = 12 nên b’ = 6.

Ta có: ∆’ = 6² – (–3).(–35) = –69 < 0.

Do ∆’ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

c) –25x² + 30x – 9 = 0

Phương trình có các hệ số a = –25, b = 30, c = –9. Do b = 30 nên b’ = 15.

Ta có: ∆’ = 15² – (–25).(–9) = 0.

Do ∆’ = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-15}{-25}=\frac{3}{5}.$

III. Ứng dụng của phương trình bậc hai một ẩn

Luyện tập 5 trang 58 Toán 9 Tập 2: Trong bài toán ở phần mở đầu, sau bao lâu thì quả bóng chạm đất?

Lời giải:

Giải phương trình: –5,8x² + 11,8x + 7 = 0 với x > 0.

Phương trình có các hệ số a = –5,8; b = 11,8, c = 7,

∆ = 11,8² – 4.(–5,8).7 = 301,64 > 0.

Do ∆ > 0 nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-11,8+\sqrt{301,64}}{2\cdot \left(-5,8\right)}\approx -0,5$ (không thỏa mãn điều kiện x > 0);

$x_2=\frac{-11,8-\sqrt{301,64}}{2\cdot \left(-5,8\right)}\approx 2,5$ (thỏa mãn điều kiện x > 0).

Vậy sau khoảng 2,5 giây ném bóng thì quả bóng chạm đất.

IV.Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Luyện tập 6 trang 59 Toán 9 Tập 2: Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn (làm tròn kết quả đến hàng phần mười):

$\sqrt{2}{x}^2-4x-\sqrt{3}=0.$

Lời giải:

Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

Ta thấy trên màn hình hiện ra (kết quả gần đúng) x­₁ = 3,209971027.

Ấn tiếp phím  ta thấy trên màn hình hiện ra (kết quả gần đúng) x₂ = –0,3815439022.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x₁ ≈ 3,2; x₂ ≈ –0,4.

Bài tập

Bài 1 trang 59 Toán 9 Tập 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn? Đối với những phương trình bậc hai một ẩn đó, xác định hệ số a của x², hệ số b của x, hệ số tự do c.

a) $0,5x^2-5x+\sqrt{3}=0.$

b) 0x² – 0,25x + 6 = 0.

c) $-x^2+\sqrt{5}x=0.$

Lời giải:

a) Phương trình $0,5x^2-5x+\sqrt{3}=0$ là phương trình bậc hai ẩn x, có a = 0,5; b = –5; c = $\sqrt{3}.$

b) Phương trình 0x² – 0,25x + 6 = 0 không phải là phương trình bậc hai một ẩn vì a = 0.

c) Phương trình $-x^2+\sqrt{5}x=0$ là phương trình bậc hai ẩn x, có a = –1; b = $\sqrt{5};$ c = 0.

Bài 2 trang 59 Toán 9 Tập 2: Chứng minh rằng: Nếu ac < 0 thì phương trình ax² + bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt. Điều ngược lại có đúng hay không? Vì sao?

Lời giải:

⦁ Xét phương trình ax² + bx + c (a ≠ 0) có ∆ = b² – 4ac.

Theo bài, nếu ac < 0 thì – 4ac > 0.

Mà b² ≥ 0 nên b² – 4ac > 0, hay ∆ > 0.

Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

⦁ Xét phương trình ax² + bx + c (a ≠ 0) có ∆ = b² – 4ac.

Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0, hay b² – 4ac > 0, suy ra b² > 4ac.

Ta thấy có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: b² > 4ac > 0 thì khi đó ta có ac > 0.

Trường hợp 2: 4ac < 0 thì khi đó ta có ac < 0.

Vậy khẳng định chiều ngược lại là không đúng.

Bài 3 trang 59 Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:

a) x² – x – 5 = 0;

b) 2x² – 0,5x + 0,03 = 0;

c) –16x² + 8x – 1 = 0;

d) –2x² + 5x – 4 = 0;

e) $\frac{1}{5}{x}^2-5=0;$

g) $3x^2-\sqrt{2}x=0.$

Lời giải:

a) x² – x – 5 = 0

Phương trình có các hệ số a = 1, b = –1, c = –5,

∆ = (–1)² – 4.1.(–5) = 21 > 0.

Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{21}}{2\cdot 1}=\frac{1+\sqrt{21}}{2};$$x_2=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{21}}{2\cdot 1}=\frac{1-\sqrt{21}}{2}.$

b) 2x² – 0,5x + 0,03 = 0

Phương trình có các hệ số a = 2; b = –0,5; c = 0,03;

∆ = (–0,5)² – 4.2.0,03 = 0,01 > 0.

Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-0,5\right)+\sqrt{0,01}}{2\cdot 2}=\frac{0,5+0,1}{4}=\frac{0,6}{4}=0,15;$

$x_2=\frac{-\left(-0,5\right)-\sqrt{0,01}}{2\cdot 2}=\frac{0,5-0,1}{4}=\frac{0,4}{4}=0,1.$

c) –16x² + 8x – 1 = 0

Phương trình có các hệ số a = –16, b = 8, c = –1. Do b = 8 nên b’ = 4.

Ta có: ∆’ = 4² – (–16).(–1) = 0.

Do ∆’ = 0 nên phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-4}{-16}=\frac{1}{4}.$

d) –2x² + 5x – 4 = 0

Phương trình có các hệ số a = –2, b = 5, c = –4,

∆ = 5² – 4.(–2).(–4) = –7 < 0.

Do ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

e) $\frac{1}{5}{x}^2-5=0$

Phương trình có các hệ số a = $\frac{1}{5},$ b = 0, c = –5. Do b = 0 nên b’ = 0.

Ta có: ${\Delta }^{\text{'}}=0^2-\frac{1}{5}\cdot \left(-5\right)=1>0.$

Do ∆’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-0+\sqrt{1}}{\frac{1}{5}}=5;$$x_2=\frac{-0-\sqrt{1}}{\frac{1}{5}}=-5.$

g) $3x^2-\sqrt{2}x=0$

Phương trình có các hệ số a = 3, b = $-\sqrt{2},$ c = 0,

$\Delta ={\left(-\sqrt{2}\right)}^2-4\cdot 3\cdot 0=2>0.$

Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}}{2\cdot 3}=\frac{2\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{3};$

$x_2=\frac{-\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}}{2\cdot 3}=\frac{0}{6}=0.$

Bài 4 trang 60 Toán 9 Tập 2: Ra đa của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của một ô tô trong 10 phút, phát hiện rằng tốc độ v (km/h) của ô tô thay đổi phụ thuộc vào thời gian t (phút) bởi công thức v = 3t² – 30t + 135. (Nguồn: Toán 9 – tập 2, NXB Giáo dục Việt Nam, 2020)

a) Tính tốc độ của ô tô khi t = 5.

b) Tính giá trị của t khi tốc độ ô tô bằng 120 km/h (theo đơn vị phút và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải:

a) Khi t = 5, thay vào công thức v = 3t² – 30t + 135, ta được:

v = 3.5² – 30.5 + 135 = 60.

Vậy khi t = 5 thì tốc độ của ô tô là 60 km/h.

b) Khi tốc độ của ô tô bằng 120 km/h, tức là v = 120, thay vào công thức v = 3t² – 30t + 135, ta có:

3t² – 30t + 135 = 120

3t² – 30t + 15 = 0

t² – 10t + 5 = 0.

Phương trình trên có các hệ số a = 1, b = –10, c = 5. Do b = –10 nên b’ = –5.

Ta có: ∆’ = (–5)² – 1.5 = 20 > 0.

Do ∆’ > 0 nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

$t_1=\frac{-\left(-5\right)+\sqrt{20}}{1}=5+2\sqrt{5}\approx 9;$

$t_2=\frac{-\left(-5\right)-\sqrt{20}}{1}=5-2\sqrt{5}\approx 1.$

Ta thấy cả hai giá trị trên của t đều thỏa mãn điều kiện t > 0.

Vậy khi t ≈ 1 phút và t ≈ 9 phút thì tốc độ của ô tô bằng 120 km/h.

Bài 5 trang 60 Toán 9 Tập 2: Một nhà máy chuyên sản xuất một loại sản phẩm. Năm 2019, nhà máy sản xuất được 5 000 sản phẩm. Do ảnh hưởng của dịch bệnh nên sản lượng của nhà máy trong các năm 2020 và 2021 đều giảm, cụ thể: Số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2020 giảm x% so với số lượng sản phẩm sản xuất được của năm 2019; Số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2021 giảm x% so với số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2020. Biết rằng số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2021 giảm 51% so với số lượng sản phẩm sản xuất được của năm 2019. Tìm x.

Lời giải:

Do số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2020 giảm x% so với số lượng sản phẩm sản xuất được của năm 2019 nên số lượng sản phẩm sản xuất được năm 2020 là:

5 000 – 5 000.x% = 5 000 – 50x (sản phẩm).

Do số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2021 giảm x% so với số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2020 nên số lượng sản phẩm sản xuất được năm 2021 là:

5 000 – 50x – (5 000 – 50x).x%

= 5 000 – 50x – 50x + 0,5x²

= 5 000 – 100x + 0,5x² (sản phẩm).

Do số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2021 giảm 51% so với số lượng sản phẩm sản xuất được của năm 2019 nên số lượng sản phẩm sản xuất được năm 2021 là:

5 000 – 5 000.51% = 2 450.

Khi đó, ta có phương trình: 5 000 – 100x + 0,5x² = 2 450.

Giải phương trình:

5 000 – 100x + 0,5x² = 2 450

0,5x² – 100x + 2 550 = 0

x² – 200x + 5 100 = 0.

Phương trình trên có các hệ số a = 1, b = –200, c = 5 100. Do b = –200 nên b’ = –100.

Ta có: ∆’ = (–100)² – 1. 5 100 = 4 900 > 0.

Do ∆’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-100\right)+\sqrt{4900}}{1}=100+70=170;$

$x_2=\frac{-\left(-100\right)-\sqrt{4900}}{1}=100-70=30.$

Ta thấy chỉ có giá trị x₂ = 30 thỏa mãn điều kiện vì x% < 100%.

Vậy x = 30 là giá trị cần tìm.

Bài 6 trang 60 Toán 9 Tập 2: Mảnh đất của bác An có dạng hình chữ nhật với chiều dài hơn chiều rộng 10 m. Ở mỗi góc của mảnh đất, bác An đã dành một phần đất có dạng tam giác vuông cân với cạnh góc vuông bằng $\frac{1}{8}$ chiều rộng của mảnh đất để trồng hoa (Hình 8). Tính chiều rộng mảnh đất đó, biết diện tích còn lại của mảnh đất không tính phần đất trồng hoa là 408 m².

Lời giải:

Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m) (x > 0).

Chiều dài của mảnh đất là x + 10 (m).

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là: x(x + 10) (m²).

Độ dài cạnh góc vuông của phần đất dạng tam giác vuông cân để trồng hoa là: $\frac{1}{8}$ (m).

Diện tích mảnh đất trồng hoa là: $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{8}x\cdot \frac{1}{8}x=\frac{1}{32}{x}^2$ (m²).

Diện tích phần đất còn lại là: $x\left(x+10\right)-\frac{1}{32}{x}^2$ (m²).

Theo bài, diện tích còn lại của mảnh đất không tính phần đất trồng hoa là 408 m² nên ta có phương trình: $x\left(x+10\right)-\frac{1}{32}{x}^2=408.$

Giải phương trình:

$x\left(x+10\right)-\frac{1}{32}{x}^2=408$

$x^2+10x-\frac{1}{32}{x}^2=408$

32x² + 320x – x² = 13 056

31x² + 320x – 13 056 = 0.

Phương trình trên có các hệ số a = 31, b = 320, c = –13 056.

Do b = 320 nên b’ = 160.

Ta có: ∆’ = 160² – 31.(–13 056) = 430 336 > 0.

Do ∆’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-160+\sqrt{430336}}{31}=\frac{-160+656}{31}=16$(thỏa mãn điều kiện x > 0);

$x_2=\frac{-160-\sqrt{430336}}{31}=\frac{-160-656}{31}=-\frac{816}{31}$(không thỏa mãn điều kiện x > 0).

Vậy chiều rộng của mảnh đất đó là 16 m.

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

§1. Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

§2. Phương trình bậc hai một ẩn

§3. Định lí Viète

Bài tập cuối chương 7

§1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác

§2. Tứ giác nội tiếp đường tròn

Lý thuyết Phương trình bậc hai một ẩn

1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng ax² + bx + c = 0, trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0.

Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn? Xác định các hệ số a, b, c của mỗi phương trình bậc hai đó.

a) –x² + 3x + 5 = 0;

b) $4y^2-\sqrt{10}=0;$

c) t² + 8t = 0;

d) 0x² + 9 = 0;

e)${\left(\frac{2}{x}\right)}^2-6.\frac{2}{x}+1=0;$

f) x² + (2m + 1)x + m = 0 (với m là một số cho trước).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình –x² + 3x + 5 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x và có a = –1, b = 3, c = 5.

b) Phương trình $4y^2-\sqrt{10}=0$ là phương trình bậc hai ẩn y và có a = 4, b = 0,$c=-\sqrt{10}.$

c) Phương trình t² + 8t = 0 là phương trình bậc hai ẩn t và có a = 1, b = 8, c = 0.

d) Phương trình 0x² + 9 = 0 không là phương trình bậc hai vì a = 0.

e) Phương trình ${\left(\frac{2}{x}\right)}^2-6.\frac{2}{x}+1=0$ không là phương trình bậc hai vì không có dạng ax² + bx + c = 0 (với a ≠ 0).

f) Phương trình x² + (2m + 1)x + m = 0 (với m là một số cho trước) là phương trình bậc hai ẩn x và có a = 1, b = 2m + 1, c = m.

2. Giải phương trình

– Cho m, n là hai số thực. Ta có thể giải phương trình (x – n)² = m như sau:

⦁ Khi m > 0, ta có: (x – n)² = m

⦁ Khi m > 0, ta có: (x – n)² = m

$x-n=\sqrt{m}$hoặc $x-n=-\sqrt{m}$

$x=n+\sqrt{m}$hoặc $x=n-\sqrt{m}$

Như vậy, phương trình có hai nghiệm là $x_1=n+\sqrt{m}$và $x_2=n-\sqrt{m}.$

⦁ Khi m = 0, phương trình có nghiệm x₁ = x₂ = n (nghiệm kép).

⦁ Khi m < 0, phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2. Giải phương trình (x – 2)² = 7.

Hướng dẫn giải

Ta có: (x – 2)² = 7.

$x-2=\sqrt{7}$hoặc $x-2=-\sqrt{7}$

$x=2+\sqrt{7}$hoặc $x=2-\sqrt{7}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=2+\sqrt{7}.$và $x=2-\sqrt{7}.$

– Ta có thể giải phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) theo các bước sau:

Bước 1. Chia hai vế của phương trình cho a, ta được phương trình:

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$(1)

Bước 2. Viết lại số hạng $\frac{b}{a}x=2\cdot x\cdot \frac{b}{2a}$và thêm số hạng ${\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$vào hai vế của phương trình (1) rồi biến đổi để vế trái thành bình phương của một biểu thức:

$x^2+2\cdot x\cdot \frac{b}{2a}+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2+\frac{c}{a}={\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$

$x^2+2\cdot x\cdot \frac{b}{2a}+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2={\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}$

${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

Bước 3. Kí hiệu ∆ = b² – 4ac và gọi nó là biệt thức của phương trình (∆ là một chữ cái Hy Lạp, đọc là “đenta”). Khi đó, phương trình (1) viết được về dạng:

${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{\Delta }{4a^2}$(2)

Bước 4. Giải phương trình (2). Từ đó, kết luận nghiệm của phương trình đã cho.

– Tóm lại, ta có kết luận chung sau:

$➀$Xét phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức ∆ = b² – 4ac.

⦁ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}.$

⦁ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}.$

⦁ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

a) 2x² – 5x – 1 = 0;

b) $x^2-3x+\frac{9}{4}=0;$

c) –6x² + 8x – 7 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đã cho có các hệ số a = 2; b = –5; c = –1.

Ta có ∆ = b² – 4ac = (–5)² – 4.2.(–1) = 33 > 0.

Vì ∆ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-5\right)+\sqrt{33}}{2\cdot 2}=\frac{5+\sqrt{33}}{4};x_2=\frac{-\left(-5\right)-\sqrt{33}}{2\cdot 2}=\frac{5-\sqrt{33}}{4}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x_1=\frac{5+\sqrt{33}}{4};x_2=\frac{5-\sqrt{33}}{4}.$

b) Phương trình đã cho có các hệ số a = 1; b = –3; $c=\frac{9}{4}.$

Ta có $\Delta =b^2-4ac={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \frac{9}{4}=0.$

Vì ∆ = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép $x_1=x_2=-\frac{-3}{2\cdot 1}=\frac{3}{2}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép là $x_1=x_2=\frac{3}{2}.$

c) Phương trình đã cho có các hệ số a = –6; b = 8; c = –7.

Ta có ∆ = b² – 4ac = 8² – 4.(–6).(–7) = –104 < 0.

Vì ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

$➁$Xét phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) với b = 2b’ và ∆’ = b’² – ac.

⦁ Nếu ∆’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b^{\text{'}}+\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a};x_2=\frac{-b^{\text{'}}-\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a}.$

⦁ Nếu ∆’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b^{\text{'}}}{a}.$

⦁ Nếu ∆’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Công thức nghiệm vừa viết trên đây được gọi là công thức nghiệm thu gọn.

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

a) x² – 6x + 5 = 0;

b) –x² + 8x – 16 = 0;

c) 12x² + 3x – 3 = 7x² – x – 4.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đã cho có các hệ số a = 1; b = –6; c = 5.

Do b = –6 nên b’ = –3.

Ta có ∆’ = b’² – ac = (–3)² – 1.5 = 4 > 0.

Vì ∆’ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{4}}{1}=\frac{3+2}{1}=5;$

$x_2=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{4}}{1}=\frac{3-2}{1}=1.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là x₁ = 5; x₂ = 1.

b) Phương trình đã cho có các hệ số a = –1; b = 8; c = –16.

Do b = 8 nên b’ = 4.

Ta có ∆’ = b’² – ac = 4² – (–1).(–16) = 0.

Vì ∆’ = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-4}{-1}=4.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép x₁ = x₂ = 4.

c) Ta có: 12x² + 3x – 3 = 7x² – x – 4.

12x² – 7x² + 3x + x – 3 + 4 = 0.

5x² + 4x + 1 = 0(1)

Phương trình (1) có các hệ số a = 5; b = 4; c = 1.

Do b = 4 nên b’ = 2.

Ta có: ∆’ = b’² – ac = 2² – 5.1 = –1 < 0.

Vì ∆’ < 0 nên phương trình (1) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

3. Ứng dụng của phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn giúp chúng ta giải quyết nhiều vấn đề trong toán học cũng như trong thực tiễn. Ta sẽ tìm hiểu qua một số ví dụ sau đây.

Ví dụ 5. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 160 m, diện tích 1500 m². Giả sử x (m) là chiều rộng của mảnh đất thỏa mãn 0 < x < 80 (m).

a) Lập phương trình bậc hai ẩn x biểu thị mối liên hệ giữa chiều rộng, chiều dài và diện tích của mảnh đất.

b) Tính chiều rộng của mảnh đất.

Hướng dẫn giải

a) Nửa chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là: 160 : 2 = 80(m).

Chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật đó là 80 – x (m).

Do chiều rộng nhỏ hơn chiều dài nên ta có:

0 < x < 80 – x hay 0 < 2x < 80, suy ra 0 < x < 40.

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là: x.(80 – x) (m²).

Theo bài, diện tích của mảnh đất hình chữ nhật là 1500 m² nên ta có phương trình:

(80 – x).x = 1500 hay –x² + 80x – 1500 = 0.(1)

b) Phương trình (1) có các hệ số a = –1; b = 80; c = –1500.

Do b = 80 nên b’ = 40.

Ta có: ∆’ = b’² – ac = 40² – (–1).(–1500) = 100 > 0.

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-40+\sqrt{100}}{-1}=\frac{-40+10}{-1}=30;$

$x_2=\frac{-40-\sqrt{100}}{-1}=\frac{-40-10}{-1}=50$

Ta thấy chỉ có giá trị x₁ = 30 thỏa mãn điều kiện 0 < x < 40.

Vậy chiều rộng mảnh đất đã cho là 30 m.

– Để giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Lập phương trình bậc hai

⦁ Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số

⦁ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

⦁ Lập phương trình bậc hai biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2. Giải phương trình bậc hai

Bước 3. Kết luận

⦁ Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn

⦁ Đưa ra câu trả lời cho bài toán.

Ví dụ 6. Hai xe ô tô khởi hành cùng một lúc từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 54 km. Biết rằng xe thứ nhất đi nhanh hơn xe thứ hai là 15 km/h nên đã đến thành phố B sớm hơn xe thứ hai 18 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Hướng dẫn giải

Gọi x (km/h) là vận tốc của xe thứ hai (x > 0).

Khi đó, vận tốc của xe thứ nhất là x + 15 (km/h).

Thời gian xe thứ hai đi từ thành phố A đến thành phố B là $\frac{54}{x}$(giờ).

Thời gian xe thứ nhất đi từ thành phố A đến thành phố B là $\frac{54}{x+15}$(giờ).

Vì xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai 18 phút = $\frac{3}{10}$giờ nên ta có phương trình:

$\frac{54}{x}-\frac{54}{x+15}=\frac{3}{10}.$

Giải phương trình :

$\frac{54}{x}-\frac{54}{x+15}=\frac{3}{10}$

$\frac{18}{x}-\frac{18}{x+15}=\frac{1}{10}$

$\frac{18\cdot 10\left(x+15\right)}{10x\left(x+15\right)}-\frac{18\cdot 10x}{10x\left(x+15\right)}=\frac{1\cdot x\left(x+15\right)}{10x\left(x+15\right)}$

18.10(x + 15) – 18.10x = x.(x + 15)

180x + 2 700 – 180x = x² + 15x

2 700 = x² + 15x

x² + 15x – 2700 = 0(1)

Phương trình (1) có các hệ số a = 1; b = 15; c = –2700.

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 15² – 4.1.(–2700) = 11 025 > 0.

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-15+\sqrt{11025}}{2\cdot 1}=\frac{-15+105}{2}=45;$

$x_2=\frac{-15-\sqrt{11025}}{2\cdot 1}=\frac{-15-105}{2}=-60.$

Ta thấy x₁ = 45 thỏa mãn điều kiện x > 0.

Vận vận tốc của xe thứ hai là 45 km/h; vận tốc của xe thứ nhất là 45 + 15 = 60 km/h.

4. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Ta có thể tìm nghiệm (đúng hoặc gần đúng) của phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng máy tính cầm tay. Mỗi loại máy tính khác nhau có thể có hệ thống phím, chức năng và cách sử dụng khác nhau. Tuy nhiên, chúng đều có quy tắc chung là phải mở chương trình giải phương trình bậc hai một ẩn rồi mới nhập dữ liệu. Chẳng hạn, ấn liên tiếp các phím

Ví dụ. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn (làm tròn kết quả đến hàng phần mười):

$9x^2+\sqrt{2}x-3\sqrt{5}=0.$

Hướng dẫn giải

Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp các phím:

Ta thấy trên màn hình hiện ra (kết quả gần đúng): x₁ = 0,7883402059.

Ấn tiếp phím  ta thấy trên màn hình hiện ra (kết quả gần đúng) x₂ = –0,9454750461.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x₁ ≈ 0,8 và x₂ ≈ –0,9.