Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 25: Đa thức một biến chi tiết sách Toán 7 Tập 2 Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7. Mời các bạn đón xem:
Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 25: Đa thức một biến
1. Đơn thức một biến
Câu hỏi trang 25 Toán lớp 7: Cho biết hệ số và bậc của mỗi đơn thức sau
a) 2.x6; b) c) -8; d) 32x
Phương pháp giải:
Đơn thức có dạng tích của một số thực với một lũy thừa của biến.
Số thực gọi là hệ số
Số mũ của lũy thừa của biến gọi là bậc của đơn thức
Lời giải:
a) Hệ số: 2
Bậc: 6
b) Hệ số:
Bậc: 2
c) Hệ số: -8
Bậc: 0
d) Hệ số: 9 ( vì 32 = 9)
Bậc: 1
Chú ý: Đơn thức chỉ gồm số thực khác 0 có bậc là 0
Phương pháp giải:
Muốn nhân 2 đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai lũy thừa của biến với nhau
Lời giải:
Giả sử hai đơn thức đã cho có biến x
Đơn thức bậc 3 có dạng: a.x3
Đơn thức bậc 2 có dạng: b.x2
Nhân 2 đơn thức trên, ta được đơn thức a.x3.b.x2 = (a.b).(x3.x2) = (a.b).x3+2= (a.b). x5
Vậy ta thu được đơn thức bậc 5.
Luyện tập 1 trang 26 Toán lớp 7: Tính:
Phương pháp giải:
+ Muốn cộng (hay trừ) hai đơn thức cùng bậc, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau, giữ nguyên lũy thừa của biến.
+ Muốn nhân 2 đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai lũy thừa của biến với nhau
Lời giải:
2. Khái niệm đa thức một biến
Câu hỏi trang 26 Toán lớp 7: Mỗi số thực có phải một đa thức không? Tại sao?
Phương pháp giải:
Một đơn thức cũng là một đa thức
Lời giải:
Vì một số thực là một đơn thức. Mà 1 đơn thức cũng là một đa thức nên mỗi số thực cũng là một đa thức
Luyện tập 2 trang 26 Toán lớp 7: Hãy liệt kê các hạng tử của đa thức
Phương pháp giải:
Đa thức là tổng của các đơn thức.
Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức
Lời giải:
Các hạng tử của B là: 2x4; -3x2; x ; 1
3. Đa thức một biến thu gọn
Luyện tập 3 trang 27 Toán lớp 7: Thu gọn đa thức:
Phương pháp giải:
Cộng, trừ các đơn thức cùng bậc để thu được đa thức thu gọn không chứa hai đơn thức nào cùng bậc
Lời giải:
4. Sắp xếp đa thức một biến
Phương pháp giải:
Bước 1: Đưa đa thức về dạng thu gọn
Bước 2: Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến
Lời giải:
5. Bậc và các hệ số của một đa thức
Phương pháp giải:
Bậc của hạng tử là số mũ của lũy thừa của biến
Lời giải:
Bậc của hạng tử -3x4 là 4 ( số mũ của x4)
Bậc của hạng tử -2x là 1 ( số mũ của x)
Bậc của 1 là 0
Phương pháp giải:
Tìm hạng tử có lũy thừa của biến có bậc cao nhất
+ Hệ số của hạng tử là số thực trong đơn thức đó
+ Bậc của hạng tử là số mũ của lũy thừa của biến
Lời giải:
Trong P, hạng tử -3x4 có bậc cao nhất. Hạng tử này có:
+ Hệ số: -3
+ Bậc: 4
Phương pháp giải:
+ Bậc của hạng tử là số mũ của lũy thừa của biến.
Hạng tử chỉ gồm số thực khác 0 có bậc là 0
Lời giải:
Trong P, hạng tử 1 có bậc bằng 0.
Câu hỏi trang 28 Toán lớp 7: Một số khác 0 cũng là một đa thức. Vậy bậc của nó bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Một số thực được xem là một đơn thức có bậc là 0
Mỗi đơn thức cũng là 1 đa thức
Trả lời:
Bậc của một số khác 0 là 0.
Luyện tập 5 trang 28 Toán lớp 7: Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau
a) 5x2-2x+1-3x4;
b) 1,5x2-3,4x4+0,5x2-1.
Phương pháp giải:
Bước 1: Thu gọn đa thức
Bước 2: Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức
+ Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất
+ Hệ số cao nhất là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất
+ Hệ số tự do là hệ số của hạng tử bậc 0.
Lời giải:
a) 5x2-2x+1-3x4 = -3x4 + 5x2 - 2x + 1
+ Bậc của đa thức là: 4
+ Hệ số cao nhất là: -3
+ Hệ số tự do là: 1
b) 1,5x2-3,4x4+0,5x2-1 = -3,4x4 + (1,5x2 + 0,5x2) -1 = -3,4x4 + 2x2 -1
+ Bậc của đa thức là: 4
+ Hệ số cao nhất là: -3,4
+ Hệ số tự do là: -1
6. Nghiệm của đa thức một biến
Phương pháp giải:
Thay từng giá trị của x vào đa thức x2 – 4
Lời giải:
G(-2) = (-2)2 – 4 = 4 – 4 = 0;
G(1) = 12 – 4 = 1 – 4 = -3;
G(0) = 02 – 4 = 0 – 4 = -4;
G(1) = 12 – 4 = 1- 4 = -3;
G(2) = 22 – 4 = 4 – 4 = 0
HĐ 5 trang 29 Toán lớp 7: Với giá trị nào của c thì G(x) có giá trị bằng 0?
Phương pháp giải:
Xét các giá trị x xem tại x = ? thì G(x) = 0
Lời giải:
Tại x = - 2 và x = 2 thì G(x) có giá trị bằng 0.
2. Tìm nghiệm của đa thức E(x) = x2 + x.
Phương pháp giải:
+ Nghiệm của đa thức là giá trị của biến làm cho đa thức có giá trị bằng 0
Chú ý: Đa thức có hệ số tự do bằng 0 thì có nghiệm x = 0
Lời giải:
1. G(-1) = 2.(-1)2 – 3. (-1) – 2 = 2.1 +3 – 2
G(0) = 2. 02 – 3 . 0 – 2 = -2
G(1) = 2.12 – 3.1 – 2 = 2 – 3 – 2 = -3
G(2) = 2.22 – 3.2 – 2 = 8 – 6 – 2 = 0
Vì G(2) = 0 nên 0 là 1 nghiệm của đa thức G(x)
2. Vì đa thức E(x) có hệ số tự do bằng 0 nên có một nghiệm là x = 0
Vận dụng trang 29 Toán lớp 7: Trở lại bài toán mở đầu, hãy thực hiện các yêu cầu sau
a) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức H(x) = -5x2 + 15x
b) Tại sao x = 0 là một nghiệm của đa thức H(x)? Kết quả đó nói lên điều gì?
c) Tính giá trị của H(x) khi x =1; x = 2 và x = 3 để tìm nghiệm khác 0 của H(x). Nghiệm ấy có ý nghĩa gì? Từ đó hãy trả lời câu hỏi của bài toán.
Phương pháp giải:
a) + Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất
+ Hệ số cao nhất là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất
+ Hệ số tự do là hệ số của hạng tử bậc 0.
b) Đa thức có hệ số tự do bằng 0 thì có nghiệm x = 0
c) Nghiệm của đa thức là giá trị của biến làm cho đa thức có giá trị bằng 0
Trả lời:
a) + Bậc của đa thức là: 2
+ Hệ số cao nhất là: -5
+ Hệ số tự do là: 0
b) Vì đa thức có hệ số tự do bằng 0 nên có nghiệm x = 0
Điều này nói lên: Tại thời điểm bắt đầu ném thì vật ở mặt đất.
c) H(1) = -5.12 + 15.1 = -5 + 15 = 10
H(2) = -5.22 + 15.2 = -20 + 30 = 10
H(3) = -5.32 + 15.3 = -45 + 45 = 0
Vì H(3) = 0 nên x = 3 là nghiệm của H(x)
Nghiệm này có ý nghĩa: Tại thời điểm sau khi ném vật 3 giây thì vật trở lại mặt đất.
Vậy sau 3 giây kể từ khi được ném lên, vật sẽ rơi trở lại mặt đất.
Bài tập
Bài 7.5 trang 30 Toán lớp 7: a) Tính . Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.
b) Tính . Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.
Phương pháp giải:
Bước 1: Thu gọn
a) Muốn nhân 2 đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai lũy thừa của biến với nhau
b) Muốn trừ hai đơn thức cùng bậc, ta trừ các hệ số với nhau, giữ nguyên lũy thừa của biến.
Bước 2:
Đơn thức có dạng tích của một số thực với một lũy thừa của biến thì:
Số thực gọi là hệ số
Số mũ của lũy thừa của biến gọi là bậc của đơn thức
Lời giải:
a) .
Hệ số: 2
Bậc: 5
b)
Hệ số: -2
Bậc: 3
Bài 7.6 trang 30 Toán lớp 7: Cho hai đa thức
a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.
b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đã cho.
Phương pháp giải:
a) Bước 1: Cộng, trừ các đơn thức cùng bậc để thu được đa thức thu gọn không chứa hai đơn thức nào cùng bậc
Bước 2: Sắp xếp đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.
b) + Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất
+ Hệ số cao nhất là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất
+ Hệ số tự do là hệ số của hạng tử bậc 0.
Lời giải:
a)
b) * Đa thức A(x):
+ Bậc của đa thức là: 4
+ Hệ số cao nhất là: -7
+ Hệ số tự do là: 9
* Đa thức B(x):
+ Bậc của đa thức là: 4
+ Hệ số cao nhất là: 8
+ Hệ số tự do là: -7
Bài 7.7 trang 30 Toán lớp 7: Cho hai đa thức
a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.
b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đã cho.
Phương pháp giải:
a) Bước 1: Cộng, trừ các đơn thức cùng bậc để thu được đa thức thu gọn không chứa hai đơn thức nào cùng bậc
Bước 2: Sắp xếp đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.
b) Thay từng giá trị x vào P(x), Q(x) đã thu gọn và tính.
Lời giải:
a)
b) P(1) = 2.12 = 2
P(0) = 2. 02 = 0
Q(-1) = 8.(-1)2 – 2.(-1) +5 = 8 +2 +5 =15
Q(0) = 8.02 – 2.0 + 5 = 5
Phương pháp giải:
Bước 1: Viết đa thức biểu thị dung tích bể = Lượng nước 2 máy bơm trong x giờ + lượng nước máy 2 bơm trong 0,5 giờ + Lượng nước trong bể có sẵn
Bước 2: Thu gọn đa thức
+ Hệ số cao nhất là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất
+ Hệ số tự do là hệ số của hạng tử bậc 0.
Lời giải:
Đa thức V(x) = 22.x + 16.x + 0,5.16 + 1,5 = (22+16).x + 8 + 1,5 = 38.x + 9,5
Hệ số cao nhất: 38
Hệ số tự do: 9,5
Bài 7.9 trang 30 Toán lớp 7: Viết đa thức F(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
Phương pháp giải:
Viết đa thức thỏa mãn yêu cầu:
+ Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất
+ Hệ số cao nhất là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất
+ Hệ số tự do là hệ số của hạng tử bậc 0.
Lời giải:
F(x) = -6x3 + 2x2 + 2x + 3
Bài 7.10 trang 30 Toán lớp 7: Kiểm tra xem
a) có phải là nghiệm của đa thức P(x) = 4x + không?
b) Trong ba số 1; -1 và 2, số nào là nghiệm của đa thức Q(x) = x2 + x – 2 ?
Phương pháp giải:
a) Thay giá trị vào đa thức P(x) = 4x + để tính giá trị P(). Nếu P() = 0 thì là nghiệm của P(x)
b) Tìm Q(1); Q(-1); Q(2). Tại giá trị x nào mà Q(x) = 0 thì số đó là nghiệm của Q(x)
Lời giải:
a) Ta có: P() = 4.()+ = (-) + = 0
Vậy là nghiệm của đa thức P(x) = 4x +
b) Q(1) = 12 +1 – 2 = 0
Q(-1) = (-1)2 + (-1) – 2 = -2
Q(2) = 22 + 2 – 2 = 4
Vì Q(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm của Q(x)
a) Hãy tìm đa thức ( biến x) biểu thị số tiền Quỳnh còn lại ( đơn vị: nghìn đồng). Tìm bậc của đa thức đó.
b) Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho. Hỏi giá tiền của cuốn sách là bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Viết đa thức biểu thị số tiền còn lại = số tiền mẹ cho – số tiền đã mua
Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất
Khi tiêu hết tiền, tức là số tiền còn lại bằng 0
Lời giải:
a) Đa thức C(x) = 100 – 37 – x = - x + 63
Bậc của đa thức là 1
b) Sau khi mua sách, ta có số tiền còn lại là 0 hay – x + 63 = 0
hay x = 63
Vậy giá tiền cuốn sách là 63 nghìn đồng
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến
Bài 27: Phép nhân đa thức một biến
1. Đơn thức một biến
• Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một lũy thừa của biến, trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của lũy thừa của biến gọi là bậc của đơn thức.
• Cộng (hay trừ) hai đơn thức cùng bậc bằng cách cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên lũy thừa của biến. Tổng nhận được là một đơn thức.
• Nhân hai đơn thức tùy ý bằng cách nhân hai hệ số với nhau và nhân hai lũy thừa của biến với nhau. Tích nhận được là một đơn thức.
Ví dụ:
+ Biểu thức 5x2 là một đơn thức, trong đó 5 là hệ số, số mũ 2 của x là bậc của đơn thức đó.
+ Đơn thức có hệ số là và có bậc là 1 vì x = x1.
+ Đơn thức x4 có hệ số là 1 (vì x4 = 1x4) và bậc là 4.
+ Cộng hai đơn thức cùng bậc: 2x3 + 7x3 = (2 + 7)x3 = 9x3.
+ Trừ hai đơn thức cùng bậc: – 4x5 – x5 = (– 4 – 1)x5 = – 5x5.
+ Nhân hai đơn thức: – 3x2. = = – 2x3.
Chú ý:
• Một số khác 0 được gọi là đơn thức bậc 0.
Chẳng hạn, số 3 là đơn thức bậc 0 vì có thể coi 3 = 3x0.
• Số 0 cũng được coi là một đơn thức. Đơn thức này không có bậc.
2. Khái niệm đa thức một biến
• Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng của những đơn thức của cùng một biến; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.
• Một đơn thức cũng là một đa thức.
• Số 0 cũng được coi là một đa thức, gọi là đa thức không.
Ví dụ:
+ Biểu thức – 4x4 + 2x – 10 là đa thức một biến với các hạng tử là – 4x4; 2x và – 10.
+ Các đơn thức x4; ; – 1 cũng là đa thức.
Chú ý:
• Ta thường kí hiệu đa thức bằng một chữ cái in hoa. Đôi khi còn viết thêm kí hiệu biến trong ngoặc đơn.
Chẳng hạn: M = M(x) = x3 – 2x2 + 7x + 1.
3. Đa thức một biến thu gọn
• Đa thức thu gọn là đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc.
• Nếu một đa thức có chứa những đơn thức cùng bậc (đa thức chưa thu gọn) thì ta có thể đưa nó về dạng thu gọn.
Ví dụ:
+ Đa thức A = 5x2 + 6x3 – x + 1 là đa thức thu gọn vì không có hai đơn thức nào cùng bậc.
+ Đa thức B = – 3x2 – 12 + x5 + x2 – 2x4 là đa thức chưa thu gọn vì có hai đơn thức cùng bậc là – 3x2 và x2.
Để thu gọn đa thức B = – 3x2 – 12 + x5 + x2 – 2x4 ta làm như sau:
B = – 3x2 – 12 + x5 + x2 – 2x4
= (– 3x2 + x2) – 12 + x5 – 2x4← Đổichỗ và nhóm hai đơn thức cùng bậc 2
= (– 3 + 1)x2 – 12 + x5 – 2x4← Cộng hai đơn thức cùng bậc
= –2x2 – 12 + x5 – 2x4← Đa thức thu gọn
4. Sắp xếp đa thức một biến
• Đối với các đa thức khác đa thức 0, để thuận lợi cho việc tính toán các đa thức một biến, người ta thường viết chúng dưới dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm dần của biến.
Ví dụ:
+ Sắp xếp đa thức P = 7x2 – 3x +1 – 2x4 theo lũy thừa giảm dần của biến ta được:
P = – 2x4 + 7x2 – 3x + 1
+ Đa thức P = – 2x4 + 7x2 – 3x + 1 có đơn thức bậc 4 và bậc 2 nhưng khuyết đơn thức bậc 3. Khi cần ta có thể viết là:
P = – 2x4 + 0x3 + 7x2 – 3x + 1
Chú ý:
• Ta có thể sắp xếp đa thức theo lũy thừa tăng dần của biến.
Chẳng hạn, sắp xếp đa thức P = 7x2 – 3x +1 – 2x4 theo lũy thừa tăng dần của biến, ta được: P =1 – 3x + 7x2 – 2x4.
5. Bậc và các hệ số của một đa thức
Trong một đa thức thu gọn và khác đa thức 0:
• Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức đó.
• Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất của đa thức đó.
• Hệ số của hạng tử bậc 0 gọi là hệ số tự do của đa thức đó.
Ví dụ:
+ Để xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức Q = 2x3 – 3x2 – x – 2x3 + 7 ta làm như sau:
Thu gọn đa thức Q
Q = 2x3 – 3x2 – x – 2x3 + 7
= (2x3 – 2x3) – 3x2 – x + 7
= – 3x2 – x + 7
Trong dạng thu gọn của Q, hạng tử có bậc cao nhất là – 3x2 nên bậc của đa thức Q là 2, hệ số cao nhất là – 3.
Hạng tử bậc 0 là 7 (vì 7 = 7x0) nên hệ số tự do là 7.
Chú ý:
• Đa thức không là đa thức không có bậc.
• Trong một đa thức thu gọn, hệ số cao nhất phải khác 0 (các hệ số khác có thể bằng 0)
• Muốn tìm bậc của một đa thức chưa thu gọn, ta phải thu gọn đa thức đó.
6. Nghiệm của đa thức một biến
• Nếu tại x = a (a là một số), đa thức F(x) có giá trị bằng 0, tức là F(a) = 0, thì ta gọi a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức F(x).
• Một đa thức có thể có nhiều nghiệm hoặc không có nghiệm.
• Một đa thức có hệ số tự do bằng 0 thì x = 0 là một nghiệm của đa thức đó.
Ví dụ:
+ Đa thức F(x) = x2 – 4 có hai nghiệm là x = 2 và x = – 2 vì
F(2) = 22 – 4 = 0; F(– 2) = (– 2)2 – 4 = 0.
+ Đa thức G(x) = 1 + x2 không có nghiệm vì x2 ≥ 0 với mọi giá trị của x.
Nên G(x) = 1 + x2 ≥ 1 > 0.
+ Đa thức P(x) = x2 + x có hệ số tự do là 0.
Mà ta có P(0) = 02 + 0 = 0. Do đó, x = 0 là một nghiệm của đa thức.