Với giải Bài 30 trang 67 SBT Toán lớp 8 Cánh diều chi tiết trong Bài 5: Tam giác đồng dạng giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 5: Tam giác đồng dạng

Bài 30 trang 67 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Lấy điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng DC lần lượt tại M và N. Các đường thẳng NA, MB cắt nhau tại K.

a) Chứng minh: ∆KAB ᔕ ∆KNM; ∆CEM ᔕ ∆DAM; ∆NFD ᔕ ∆NBC.

b) So sánh CM.DN và AB².

c) Các điểm E, F lấy ở vị trí nào trên các cạnh BC, AD thì MN có độ dài nhỏ nhất?

Lời giải:

a) Do ABCD là hình vuông nên AB // CD, AD // BC.

M, N ∈ CD nên AB // MN.

E ∈ BC, F ∈ AD nên CE // AD, DF // BC.

• Vì AB // MN nên ∆KAB ᔕ ∆KNM;

• Vì CE // AD nên ∆CEM ᔕ ∆DAM;

• Vì DF // BC nên ∆NFD ᔕ ∆NBC.

b) Vì AB // CM nên ∆CEM ᔕ ∆BEA, do đó $\frac{CM}{BA}=\frac{CE}{BE}$ (1).

Vì AB // ND nên ∆NDF ᔕ ∆BAF, do đó $\frac{DF}{AF}=\frac{ND}{BA}$ hay $\frac{AF}{DF}=\frac{BA}{DN}$ (2).

Từ (1), (2) và CE = AF, BE = DF, ta có $\frac{CM}{BA}=\frac{CE}{BE}=\frac{AF}{DF}=\frac{BA}{DN}.$

Hay $\frac{CM}{BA}=\frac{BA}{DN}$ nên CM.DN = AB².

c) Ta có (CM ‒ DN)² ≥ 0

Suy ra (CM² + 2.CM.DN + DN² ‒ 4.CM.DN) ≥ 0

Do đó (CM + DN)² ≥ 4CM.DN.

Hay $CM+DN\ge 2\sqrt{CM\cdot DN}=2\sqrt{A{B}^2}=2AB$

Do đó MN = MC + CD + DN ≥ 3AB (vì AB = CD)

Dấu "=" xảy ra khi CM = DN = AB = a.

Khi đó, $\frac{CM}{BA}=\frac{CE}{BE}=1$ nên E là trung điểm của BC. Tương tự, lúc này F là trung điểm của AD.

Vậy MN có độ dài nhỏ nhất bằng 3AB khi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD.