Với lời giải SBT Toán 11 trang 34 Tập 1 chi tiết trong Bài tập cuối chương 1 trang 32 sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1 trang 32

Bài 1 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\sin \alpha =\frac{3}{4}$ với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi .$ Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin2α;

b) $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right);$

c) $\tan \left(2\alpha -\frac{\pi }{4}\right).$

Lời giải:

a) Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên cosα < 0.

Ta có sin²α + cos²α = 1, suy ra cos²α = 1 – sin²α

Do đó $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$

Ta có: sin2α = 2sinαcosα $=2\cdot \frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)=-\frac{3\sqrt{7}}{8}.$

b) $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}$

$=\frac{-\sqrt{7}}{4}\cdot \frac{1}{2}-\frac{3}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-\sqrt{7}-3\sqrt{3}}{8}.$

c) $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}}=-\frac{3}{\sqrt{7}}$

$\tan \left(2\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan 2\alpha -\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan 2\alpha \tan \frac{\pi }{4}}$

Mà $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{2\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}{1-{\left(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}^2}=\frac{2\cdot \frac{-3}{\sqrt{7}}}{1-{\left(\frac{-3}{\sqrt{7}}\right)}^2}=3\sqrt{7}$

Nên $\tan \left(2\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan 2\alpha -\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan 2\alpha \tan \frac{\pi }{4}}$

$=\frac{3\sqrt{7}-1}{1+3\sqrt{7}\cdot 1}=\frac{3\sqrt{7}-1}{3\sqrt{7}+1}=\frac{{\left(3\sqrt{7}-1\right)}^2}{\left(3\sqrt{7}+1\right)\left(3\sqrt{7}-1\right)}$

$=\frac{63-6\sqrt{7}+1}{63-1}=\frac{64-6\sqrt{7}}{62}=\frac{32-3\sqrt{7}}{31}.$

Bài 2 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn và xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số đó.

a) $y=3\sin x+2\tan \frac{x}{3};$

b) $y=\cos x\sin \frac{\pi -x}{2}.$

Lời giải:

a) Hàm số $y=3\sin x+2\tan \frac{x}{3}$ xác định khi $\cos \frac{x}{3}\ne 0$

$\iff \frac{x}{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ $\iff x\ne \frac{3\pi }{2}+k3\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Tập xác định của hàm số $y=3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}$ là $D=ℝ\backslash \left\{\frac{3\pi }{2}+k3\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}.$

⦁ Vì x ± 6π ∈ D với mọi x ∈ D và

$3\text{sin}\left(x+6\pi \right)+2\text{tan}\frac{x+6\pi }{3}$ = $3\text{sin}x+2\text{tan}\left(\frac{x}{3}+2\pi \right)$ = $3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}$

Nên hàm số $y=3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}$ là hàm số tuần hoàn.

⦁ Vì ‒x ∈ D với mọi x ∈ D và

$3\text{sin}\left(-x\right)+2\text{tan}\left(-\frac{x}{3}\right)$ = $-3\text{sin}x-2\text{tan}\frac{x}{3}=-\left(3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}\right)$

Nên hàm số $y=3\text{sin}x+2\text{tan}\frac{x}{3}$ là hàm số lẻ.

b) Hàm số $y=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$ có tập xác định là ℝ.

⦁ Vì x ± 4π ∈ ℝ với mọi x ∈ ℝ và

$\text{cos}\left(x+4\pi \right)\text{sin}\frac{\pi -\left(x+4\pi \right)}{2}$ = $\text{cos}x\text{sin}\left(\frac{\pi -x}{2}-2\pi \right)=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$

Nên hàm số $y=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$ là hàm số tuần hoàn.

⦁ Vì ‒x ∈ ℝ với mọi x ∈ ℝ và

$\text{cos}\left(-x\right)\text{sin}\frac{\pi +x}{2}$ = $\text{cos}x\text{sin}\left(\pi -\frac{\pi -x}{2}\right)=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$

Nên hàm số $y=\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi -x}{2}$ là hàm số chẵn.          

Bài 3 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) ${\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{8}\right)-{\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{8}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x;$

b) sin²y + 2cosxcosycos(x ‒ y) = cos²x + cos²(x ‒ y).

Lời giải:

a) ${\text{sin}}^2\left(x+\frac{\pi }{8}\right)-{\text{sin}}^2\left(x-\frac{\pi }{8}\right)$

$=\left[\text{sin}\left(x+\frac{\pi }{8}\right)+\text{sin}\left(x-\frac{\pi }{8}\right)\right]\left[\text{sin}\left(x+\frac{\pi }{8}\right)-\text{sin}\left(x-\frac{\pi }{8}\right)\right]$

$=\left(2\text{sin}x\text{cos}\frac{\pi }{8}\right)\left(2\text{cos}x\text{sin}\frac{\pi }{8}\right)=\left(2\text{sin}x\text{cos}x\right)\left(2\text{cos}\frac{\pi }{8}\text{sin}\frac{\pi }{8}\right)$

$=\text{sin}2x\text{sin}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{sin}2x$

b) sin²y + 2cosxcosycos(x ‒ y) = cos²x + cos²(x ‒ y).

⇔ 2cosxcosycos(x ‒ y) ‒ cos²(x ‒ y) = cos²x ‒ sin²y

Ta có:

VT = 2cosxcosycos(x ‒ y) ‒ cos²(x ‒ y)

= cos(x – y)[2cosxcosy – cos(x – y)]

= cos(x – y)[2cosxcosy – (cosxcosy + sinxsiny)]

= cos(x – y)(cosxcosy – sinxsiny)

$=\text{cos}\left(x-y\right)\text{cos}\left(x+y\right)=\frac{1}{2}\left(\text{cos}2y+\text{cos}2x\right)$

$=\frac{1}{2}\left(1-2{\text{sin}}^{2}y+2{\text{cos}}^{2}x-1\right)={\text{cos}}^{2}x-{\text{sin}}^{2}y=VP.$

Bài 4 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+s\text{inx}=0;$

b) ${\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{2+\sqrt{3}}{4};$

c) $\cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)+2{\sin }^{2}x=1.$

Lời giải:

Bài 5 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Vận tốc v₁ (cm/s) của con lắc đơn thứ nhất và vận tốc v₂ (cm/s) của con lắc đơn thứ hai theo thời gian t (giây) được cho bởi công thức:

$v_1\left(t\right)=-4\cos \left(\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)$ và $v_2\left(t\right)=2\sin \left(2t+\frac{\pi }{6}\right).$

Xác định các thời điểm t mà tại đó:

a) Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất bằng 2 cm/s;

b) Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất gấp 2 lần vận tốc của con lắc đơn thứ 2.

Lời giải:

a) Thời điểm t mà tại đó vận tốc của con lắc đơn thứ nhất bằng 2 cm/s là nghiệm của phương trình:

$-4\cos \left(\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)=2$

$\iff \cos \left(\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{2}$

$\iff \cos \left(\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{2\pi }{3}$

$\iff \frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $\frac{2t}{3}+\frac{\pi }{4}=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\iff t=\frac{5\pi }{8}+k3\pi ,k\in \mathbb{Z}$ hoặc $t=-\frac{11\pi }{8}+k3\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

b) Thời điểm t mà tại vận tốc của con lắc đơn thứ nhất gấp hai lần vận tốc của con lắc đơn thứ hai là nghiệm của phương trình:

Vậy thời điểm mà vận tốc của con lắc đơn thứ nhất gấp hai lần vận tốc của con lắc đơn thứ hai là $t=\frac{19\pi }{16}+k^{\text{'}}\frac{3\pi }{2},k^{\text{'}}\in \mathbb{Z}$ và $t=\frac{13\pi }{32}+k^{\text{'}}\frac{3\pi }{4},k^{\text{'}}\in \mathbb{Z}.$