Với lời giải SBT Toán 11 trang 14 Tập 1 chi tiết trong Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Bài 1 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu:

a) $\sin \alpha =-\frac{4}{5}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2};$

b) $cos\alpha =\frac{11}{61}$ và $0<\alpha <\frac{\pi }{2};$

c) $\tan \alpha =-\frac{15}{8}$ và $-90°<\alpha <90°;$

d) cotα = ‒2,4 và ‒180° < α < 0°.

Lời giải:

a) Ta có ${\text{cos}}^2\alpha =1-{\text{sin}}^2\alpha =1-{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}$. Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2};$ nên cosα < 0.

Do đó $\text{cos}\alpha =-\frac{3}{5}.$

Suy ra $\text{tan}\alpha =\frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\alpha }=\frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$ và $\text{cot}\alpha =\frac{1}{\text{tan}\alpha }=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}.$

b) Ta có ${\text{sin}}^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{11}{61}\right)}^2={\left(\frac{60}{61}\right)}^2$ Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2};$ nên sinα > 0.

Do đó $\text{sin}\alpha =\frac{60}{61}.$

Suy ra $\text{tan}\alpha =\frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\alpha }=\frac{\frac{60}{61}}{\frac{11}{61}}=\frac{60}{11}$ và $\text{cot}\alpha =\frac{1}{\text{tan}\alpha }=\frac{1}{\frac{60}{11}}=\frac{11}{60}.$

c) Ta có $\text{cot}\alpha =\frac{1}{\text{tan}\alpha }=\frac{1}{-\frac{15}{8}}=-\frac{8}{15};\frac{1}{{\text{cos}}^2\alpha }=1+{\text{tan}}^2\alpha =1+{\left(-\frac{15}{8}\right)}^2=\frac{289}{64}$

Suy ra ${\text{cos}}^2\alpha =\frac{64}{289}$. Vì $-90°<\alpha <90°;$ nên $\text{cos}\alpha >0$. Do đó $\text{cos}\alpha =\frac{8}{17}.$

Suy ra $\text{sin}\alpha =\text{tan}\alpha \text{cos}\alpha =-\frac{15}{8}\cdot \frac{8}{17}=-\frac{15}{17}.$

d) Ta có

 $$\begin{gathered} \text{tan}\alpha =\frac{1}{\text{cot}\alpha }=\frac{1}{-\mathrm{2,4}}=-\frac{5}{12}; \\ \frac{1}{{\text{sin}}^2\alpha }=1+{\text{cot}}^2\alpha =1+{\left(-\mathrm{2,4}\right)}^2=\frac{676}{100} \end{gathered}$$

Suy ra ${\text{sin}}^2\alpha =\frac{100}{676}$. Vì ‒180° < α < 0°  nên $\text{sin}\alpha <0$. Do đó $\text{sin}\alpha =-\frac{5}{13}.$

Suy ra $\text{cos}\alpha =\text{cot}\alpha \text{sin}\alpha =-\mathrm{2,4}\cdot \left(-\frac{5}{13}\right)=\frac{12}{13}.$

Bài 2 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến $\frac{\pi }{4}$ (hoặc từ 0° đến 45°).

a) sin(‒1693°);

b) $cos\frac{1003\pi }{3};$

c) tan 885°;

d) $\cot \left(-\frac{53\pi }{10}\right).$

Lời giải:

a) sin(‒1693°) = ‒sin(1693°)

= ‒sin(4.360° + 180° + 73°)

= sin73°

= cos(90° ‒ 73°) = cos17°.

b) $\text{cos}\frac{1003\pi }{3}=\text{cos}\left(334\pi +\frac{\pi }{3}\right)=\text{cos}\frac{\pi }{3}=\text{sin}\frac{\pi }{6}$

c) tan 885° = tan(180.4 + 165°) = tan165° = tan(180° ‒ 15°) = ‒tan15°.

d) $\cot \left(-\frac{53\pi }{10}\right)=-\cot \left(\frac{53\pi }{10}\right)=-\cot \left(\frac{50\pi }{10}+\frac{3\pi }{10}\right)$

$=-\cot \left(5\pi +\frac{3\pi }{10}\right)=-\cot \left(\frac{3\pi }{10}\right)$

= $-\cot \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{5}\right)=-\tan \left(\frac{\pi }{5}\right).$

Bài 3 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}.$ Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:

a) cos(α + π);

b) $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right);$

c) $\tan \left(\alpha +\frac{3\pi }{2}\right);$

d) $\cot \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right);$

e) $\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{2}\right);$

g) sin(π ‒ 2α).

Lời giải:

Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$  nên sinα < 0; cosα < 0, tanα > 0 và cotα > 0.

a) cos(α + π) = ‒cosα > 0 vì cosα < 0.

b) $\text{sin}\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\text{cos}\alpha <0$ vì cosα < 0.

c) $\text{tan}\left(\alpha +\frac{3\pi }{2}\right)=-\text{cot}\alpha <0$ vì cotα > 0.

d) $\text{cot}\left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)=-\text{tan}\alpha <0$ vì tanα > 0.

e) Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$  nên 2π < 2α < 3π, do đó sin2α > 0.

Vậy $\text{cos}\left(2\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\text{sin}2\alpha <0$

g) sin (π ‒ 2α) = sin2α > 0 vì sin2α > 0.

Bài 4 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Biết $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi .$ Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=\frac{3\sin \alpha }{2cos\alpha -\tan \alpha };$

b) $B=\frac{{\cot }^2\alpha -\sin \alpha }{\tan \alpha +2cos\alpha }.$

Lời giải:

Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$  nên cosα < 0, tanα < 0 và cotα < 0.

Ta có: sin²α + cos²α = 1, suy ra ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}$

Do đó $\cos \alpha =-\frac{4}{5}.$

Suy ra $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}$  và $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}.$

a) $A=\frac{3\cdot \frac{3}{5}}{2\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)-\left(-\frac{3}{4}\right)}=\frac{\frac{9}{5}}{-\frac{8}{5}+\frac{3}{4}}=\frac{\frac{9}{5}}{-\frac{17}{20}}=-\frac{36}{17}.$

b) $B=\frac{{\left(-\frac{4}{3}\right)}^2-\frac{3}{5}}{-\frac{3}{4}+2\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)}=\frac{\frac{16}{9}-\frac{3}{5}}{-\frac{3}{4}-\frac{8}{5}}=\frac{\frac{53}{45}}{-\frac{47}{20}}=-\frac{212}{423}.$

Bài 5 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) sin⁴x + cos⁴x = 1 ‒ 2sin²xcos²x.

b) $\frac{1+\cot x}{1-\cot x}=\frac{\tan x+1}{\tan x-1};$

c) $\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{{\sin }^3\alpha }=\frac{1-{\cot }^4\alpha }{1-\cot \alpha };$

d) $\frac{{\tan }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -1}{{\cot }^2\alpha +{\sin }^2\alpha -1}={\tan }^6\alpha .$

Lời giải:

a)

 $$\begin{gathered} {\text{sin}}^{4}x+{\text{cos}}^{4}x={\left({\text{sin}}^{2}x+{\text{cos}}^{2}x\right)}^2-2{\text{sin}}^{2}x{\text{cos}}^{2}x \\ =1-2{\text{sin}}^{2}x{\text{cos}}^{2}x \end{gathered}$$;

b) $\frac{1+\text{cot}x}{1-\text{cot}x}=\frac{1+\frac{1}{\text{tan}x}}{1-\frac{1}{\text{tan}x}}=\frac{\frac{\text{tan}x+1}{\text{tan}x}}{\frac{\text{tan}x-1}{\text{tan}x}}=\frac{\text{tan}x+1}{\text{tan}x-1}.$

c)

 $$\begin{gathered} \frac{\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha }{{\text{sin}}^3\alpha }=\frac{1}{{\text{sin}}^2\alpha }+\frac{\text{cos}\alpha }{\text{sin}\alpha }\cdot \frac{1}{{\text{sin}}^2\alpha } \\ =\left(1+{\text{cot}}^2\alpha \right)+\text{cot}\alpha \left(1+{\text{cot}}^2\alpha \right) \end{gathered}$$

$=\left(1+\text{cot}\alpha \right)\left(1+{\text{cot}}^2\alpha \right)$

$=\frac{\left(1-{\text{cot}}^2\alpha \right)\left(1+{\text{cot}}^2\alpha \right)}{1-\text{cot}\alpha }=\frac{1-{\text{cot}}^4\alpha }{1-\text{cot}\alpha }$

d) $\frac{{\text{tan}}^2\alpha +{\text{cos}}^2\alpha -1}{{\text{cot}}^2\alpha +{\text{sin}}^2\alpha -1}=\frac{{\text{tan}}^2\alpha -{\text{sin}}^2\alpha }{{\text{cot}}^2\alpha -{\text{cos}}^2\alpha }=\frac{\frac{{\text{sin}}^2\alpha }{{\text{cos}}^2\alpha }-{\text{sin}}^2\alpha }{\frac{{\text{cos}}^2\alpha }{{\text{sin}}^2\alpha }-{\text{cos}}^2\alpha }$

$=\frac{{\text{sin}}^2\alpha \left(\frac{1}{{\text{cos}}^2\alpha }-1\right)}{{\text{cos}}^2\alpha \left(\frac{1}{{\text{sin}}^2\alpha }-1\right)}={\text{tan}}^2\alpha \cdot \frac{{\text{tan}}^2\alpha }{{\text{cot}}^2\alpha }={\text{tan}}^6\alpha$