Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau Bài 5 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1

Với giải Bài 5 trang 14 SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Bài 5 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) sin⁴x + cos⁴x = 1 ‒ 2sin²xcos²x.

b) $\frac{1 + \cot x}{1 - \cot x} = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1};$

c) $\frac{\sin α + \cos α}{\sin^{3} α} = \frac{1 - \cot^{4} α}{1 - \cot α};$

d) $\frac{\tan^{2} α + \cos^{2} α - 1}{\cot^{2} α + \sin^{2} α - 1} = \tan^{6} α .$

Lời giải:

${sin}^{4} x + {cos}^{4} x = {({sin}^{2} x + {cos}^{2} x)}^{2} - 2 {sin}^{2} x {cos}^{2} x = 1 - 2 {sin}^{2} x {cos}^{2} x$ ;

b) $\frac{1 + cot x}{1 - cot x} = \frac{1 + \frac{1}{tan x}}{1 - \frac{1}{tan x}} = \frac{\frac{tan x + 1}{tan x}}{\frac{tan x - 1}{tan x}} = \frac{tan x + 1}{tan x - 1} .$

$\frac{sin α + cos α}{{sin}^{3} α} = \frac{1}{{sin}^{2} α} + \frac{cos α}{sin α} \cdot \frac{1}{{sin}^{2} α} = (1 + {cot}^{2} α) + cot α (1 + {cot}^{2} α)$

$= (1 + cot α) (1 + {cot}^{2} α)$

$= \frac{(1 - {cot}^{2} α) (1 + {cot}^{2} α)}{1 - cot α} = \frac{1 - {cot}^{4} α}{1 - cot α}$

d) $\frac{{tan}^{2} α + {cos}^{2} α - 1}{{cot}^{2} α + {sin}^{2} α - 1} = \frac{{tan}^{2} α - {sin}^{2} α}{{cot}^{2} α - {cos}^{2} α} = \frac{\frac{{sin}^{2} α}{{cos}^{2} α} - {sin}^{2} α}{\frac{{cos}^{2} α}{{sin}^{2} α} - {cos}^{2} α}$

$= \frac{{sin}^{2} α (\frac{1}{{cos}^{2} α} - 1)}{{cos}^{2} α (\frac{1}{{sin}^{2} α} - 1)} = {tan}^{2} α \cdot \frac{{tan}^{2} α}{{cot}^{2} α} = {tan}^{6} α$