Với lời giải Toán 11 trang 15 Tập 1 chi tiết trong Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác sách Cánh diều giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 1 trang 15 Toán 11 Tập 1: Xác định vị trí các điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác (OA, OM), (OA, ON), (OA, OP) lần lượt bằng$\frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6};-\frac{\pi }{6}$ .

Lời giải:

• Ta có $\left(OA,OM\right)=\alpha =\frac{\pi }{2}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc $\frac{\pi }{2}$, khi đó tia OM trùng với tia OB.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\left(OA,OM\right)=\alpha =\frac{\pi }{2}$ được biểu diễn trùng với điểm B.

• Ta có (OA,ON)=$\beta =\frac{7\pi }{6}=\pi +\frac{\pi }{6}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều dương một góc $\frac{7\pi }{6}$.

• Ta có (OA,OP) = $\gamma =-\frac{\pi }{6}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OP và quay theo chiều âm một góc $\frac{\pi }{6}$.

Ba điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác được biểu diễn nhu hình vẽ dưới đây:

Bài 2 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: 225°; ‒225°; ‒1 035°; $\frac{5\pi }{3};\frac{19\pi }{2};-\frac{159\pi }{4}$.

Lời giải:

‒ Các giá trị lượng giác của góc 225°:

Ta có: cos225° = cos(45° + 180°)= ‒cos45° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

sin225° = sin(45° + 180°) = ‒sin45° =$=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

tan225° = tan(45° + 180°) = tan45° = 1;

cot225° = cot(45° + 180°) = cot45° = 1.

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒225°:

Ta có: cos(‒225°) = cos225° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

sin(‒225°) = ‒sin225° = $-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

tan(‒225°) = ‒tan225° = ‒1;

cot(‒225°) = ‒cot225° = ‒1;

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒1 035°:

Ta có: cos(‒1 035°) = cos(‒3 . 360° + 45°) = cos45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

sin(‒1 035°) = sin(‒3 . 360° + 45°) = sin45° =$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

tan(‒1 035°) = tan(‒3 . 360° + 45°) = tan45° = 1;

cot(‒1 035°) = cot(‒3 . 360° + 45°) = cot45° = 1.

‒ Các giá trị lượng giác của góc $\frac{5\pi }{3}$:

Ta có: $cos\frac{5\pi }{3}=cos\left(\frac{2\pi }{3}+\pi \right)=-cos\frac{2\pi }{3}=-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$;

$\sin \frac{5\pi }{3}=\sin \left(\frac{2\pi }{3}+\pi \right)=-\sin \frac{2\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

$\tan \frac{5\pi }{3}=\tan \left(\frac{2\pi }{3}+\pi \right)=\tan \frac{2\pi }{3}=-\sqrt{3}$ ;

$\cot \frac{5\pi }{3}=\cot \left(\frac{2\pi }{3}+\pi \right)=\cot \frac{2\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

‒ Các giá trị lượng giác của góc $\frac{19\pi }{2}$ :

Ta có: $cos\frac{19\pi }{2}=cos\left(9\pi +\frac{\pi }{2}\right)=c\text{os}\left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=-cos\frac{\pi }{2}=0$ ;

$\sin \frac{19\pi }{2}=\sin \left(9\pi +\frac{\pi }{2}\right)=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \frac{\pi }{2}=-1$ ;

Do $cos\frac{19\pi }{2}=0$ nên $\tan \frac{19\pi }{2}$ không xác định;

$\cot \frac{19\pi }{2}=\cot \left(9\pi +\frac{\pi }{2}\right)=\cot \left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=\cot \frac{\pi }{2}=0$ .

‒ Các giá trị lượng giác của góc $-\frac{159\pi }{4}$ :

Ta có: $cos\left(-\frac{159\pi }{4}\right)=cos\left(-40\pi +\frac{\pi }{4}\right)=c\text{os}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\sin \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\sin \left(-40\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\text{sin}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

$\tan \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\tan \left(-40\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\tan \frac{\pi }{4}=1$;

$\cot \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\cot \left(-40\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\cot \frac{\pi }{4}=1$ .

Bài 3 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:

a) $\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$;

b) kπ (k ∈ ℤ);

c) $\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$;

d) $\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Lời giải:

a) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$:

•$cos\left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=cos\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ ;

• $\sin \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

• $\tan \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$;

• $\cot \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\cot \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác kπ (k ∈ ℤ):

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

• cos(kπ) = cos(2nπ) = cos0 = 1;

• sin(kπ) = sin(2nπ) = sin0 = 0;

• tan(kπ) = tan(2nπ) = tan0 = 0;

• Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

• cos(kπ) = cos(2nπ + π) = cosπ = ‒1.

• sin(kπ) = sin(2nπ + π) = sinπ = 0.

• tan(kπ) = tan(2nπ + π) = tanπ = 0.

• Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

Vậy với k ∈ ℤ thì sin(kπ) = 0; tan(kπ) = 0; cot(kπ) không xác định;

cos(kπ) = 1 khi k là số nguyên chẵn và cos(kπ) = ‒1 khi k là số nguyên lẻ.

c) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$:

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

• $cos\left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=cos\left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)=cos\frac{\pi }{2}=0$;

•$\sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)=\sin \frac{\pi }{2}=1$;

• Do $cos\left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0$ nên $\tan \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ không xác định;

• $\cot \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)=\cot \frac{\pi }{2}=0$.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

•$cos\left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=cos\left(\frac{\pi }{2}+2n\pi +\pi \right)=cos\left(\frac{\pi }{2}+\pi \right)=-cos\frac{\pi }{2}=0$ ;

• $\sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi +\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+\pi \right)=-\sin \frac{\pi }{2}=-1$;

• Do $cos\left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0$ nên $\tan \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ không xác định;

•$\cot \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi +\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{2}+\pi \right)=\cot \frac{\pi }{2}=0$.

Vậy với k ∈ ℤ thì $cos\left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0$;$\cot \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0;$

$\tan \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ không xác định;

$\sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=1$ khi k là số chẵn và $\sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=-1$ khi k là số lẻ.

d) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ :

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

•$cos\left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=cos\left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=cos\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

• $\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

• $\tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\tan \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\tan \frac{\pi }{4}=1$;

• $\cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\cot \frac{\pi }{4}=1$.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

• $cos\left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=cos\left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=cos\left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=-cos\frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

• $\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=-\sin \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

• $\tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\tan \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=\tan \left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=\tan \frac{\pi }{4}=1$;

• $\cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=\cot \frac{\pi }{4}=1$.

Vậy với k ∈ ℤ thì:

$cos\left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi k là số nguyên chẵn, $cos\left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi k là số nguyên lẻ;

$\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi k là số nguyên chẵn, $\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi k là số nguyên lẻ;

$\tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1$; $\cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1$.

Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$;

b) $cos\alpha =-\frac{2}{3}$ với $-\pi <\alpha <0$ ;

c) tanα = 3 với ‒π < α < 0;

d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Lời giải:

a) Do $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên cosα < 0.

Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1, ta có:

${\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2+co{s}^2\alpha =1$

$\Rightarrow co{s}^2\alpha =1-{\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2=1-\frac{15}{16}=\frac{1}{16}$

$\Rightarrow cos\alpha =-\frac{1}{4}$ (do cosα < 0).

Ta có: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}}=-\sqrt{15}$ ;

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\sqrt{15}}=-\frac{\sqrt{15}}{15}$ .

Vậy $cos\alpha =-\frac{1}{4}$ ; $\tan \alpha =-\sqrt{15}$ và $\cot \alpha =-\frac{\sqrt{15}}{15}$.

b) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0.

Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1, ta có:

${\sin }^2\alpha +{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=1$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha =1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$.

$\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$ (do sinα < 0).

Ta có: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$;

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{15}}{15}$.

Vậy $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$ ; $\tan \alpha =\frac{\sqrt{15}}{2}$ và $\cot \alpha =\frac{2\sqrt{15}}{15}$.

c) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0 và cosα > 0.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$.

Áp dụng công thức $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$, ta có

$1+3^2=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ hay$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=10$

$\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$ (do cosα > 0).

Áp dụng công thức $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ , ta có:

$1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$hay $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=\frac{10}{9}$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{9}{10}\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{3}{\sqrt{10}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$ (do sinα < 0).

Vậy $\sin \alpha -\frac{3\sqrt{10}}{10}$ ; $\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$; $\cot \alpha =\frac{1}{3}$.

Bài 5 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính:

a) A = sin²5° + sin²10° + sin²15° + ... + sin²85° (17 số hạng).

b) B = cos5° + cos10° + cos15° + ... + cos175° (35 số hạng).

Lời giải:

a) Ta có:

A = sin²5° + sin²10° + sin²15° + ... + sin²80°+ sin²85° (17 số hạng).

= (sin²5° + sin²85°) + (sin²10° + sin²80°) + … + (sin²40° + sin²50°) + sin²45°

= (sin²5° + cos²5°) + (sin²10° + cos²10°) + … + (sin²40° + cos²40°) + sin²45°

$=\underset{8so1}{\underbrace{1+1+\mathrm{...}+1}}+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$

$=8+\frac{1}{2}=\frac{17}{2}$.

b) Ta có:

B = cos5° + cos10° + cos15° + ... + cos170° + cos175° (35 số hạng).

= (cos5° + cos175°) + (cos10° + cos170°) + … + (cos85° + cos95°) + cos90°

= (cos5° ‒ cos5°) + (cos10° ‒ cos10°) + … + (cos85° ‒ cos85°) + cos90°

$=\underset{17so0}{\underbrace{0+0+\mathrm{...}+0}}+0=0$ .

Bài 6 trang 15 Toán 11 Tập 1: Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 2 h.

a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau: 1 h; 3 h; 5 h.

b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Giả sử vệ tinh được định tại vị trí A, chuyển động quanh Trái Đất được mô tả như hình vẽ dưới đây:

a) Vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo tức là vệ tinh chuyển động được quãng đường bằng chu vi của quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km.

Do đó quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 2 h là:

2π . 9 000 = 18π (km).

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 1 h là: $\frac{18\pi }{2}.1=9\pi \left(km\right)$.

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 3 h là: $\frac{18\pi }{2}.3=27\pi \left(km\right)$.

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 5 h là: $\frac{18\pi }{2}.5=45\pi \left(km\right)$.

b) Ta thấy vệ tinh chuyển động được quãng đường là 9π (km) trong 1h.

Vậy vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km trong thời gian là: $\frac{200000}{9\pi }\approx 7074$(giờ).