Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 14 Các số đặc trưng đo độ phân tán sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán

Giải SBT Toán 10 trang 80 Tập 1

Bài 5.13 trang 80 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như sau:

trong đó, mỗi chấm biểu diễn một giá trị trong mẫu số liệu.

Không tính, hãy cho biết:

a) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu nào lớn hơn.

b) Khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu có như nhau không.

Lời giải:

a) Quan sát hai biểu đồ đã cho ta thấy: các chấm biểu diễn giá trị của mẫu số liệu trong biểu đồ A phân tán hơn trong biểu đồ B.

Do đó độ lệch chuẩn của dãy số liệu A lớn hơn.

b) Khoảng biến thiên dùng để đo độ phân tán của mẫu số liệu, khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

Do mức độ phân tán của hai mẫu số liệu khác nhau nên khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu này không như nhau.

Bài 5.14 trang 80 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai dãy số liệu sau:

A:      4        5        7        9        10;

B:      9        10      12      14      15.

Không tính, hãy cho biết:

a) Khoảng biến thiên của hai dãy có như nhau không.

b) Độ lệch chuẩn của hai dãy có như nhau không.

Lời giải:

Quan sát hai dãy số liệu ta thấy dãy B có được là do cộng mỗi giá trị của dãy A với 5.

a) Khoảng biến thiên là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu.

Do đó khoảng biến thiên của hai dãy như nhau.

b) Độ lệch chuẩn của hai dãy như nhau.

Bài 5.15 trang 80 SBT Toán 10 Tập 1: Điểm số của hai vận động viên bắn cung trong 10 lần bắn thủ đề chuẩn bị cho Olympic Tokyo 2020 được ghi lại như sau:

Vận động viên A: 10       9        8        10      9        9        9        10      9        8;

Vận động viên B: 5         10      10      10      10      7        9        10      10      10.

a) Tìm khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của mỗi dãy số liệu trên.

b) Vận động viên nào có thành tích bắn thử ổn định hơn?

Lời giải:

a)

– Đối với vận động viên A: Điểm số bắn cung thấp nhất và cao nhất tương ứng là 8; 10.

• Khoảng biến thiên: R_A = 10 – 8 = 2.

• Số trung bình là:

$\overline{x_A}=\frac{10+9+\mathrm{...}+9+8}{10}=9,1.$

• Phương sai là:

$$\begin{gathered} s_A^2=\frac{{\left(10-9,1\right)}^2+{\left(9-9,1\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(8-9,1\right)}^2}{10} \\ =0,49 \end{gathered}$$

• Độ lệch chuẩn là: $s_A=\sqrt{s_A^2}=\sqrt{0,49}=0,7.$

– Đối với vận động viên B: Điểm số bắn cung thấp nhất và cao nhất tương ứng là 5; 10.

• Khoảng biến thiên: R_B = 10 – 5 = 5.

• Số trung bình là:

$\overline{x_B}=\frac{5+10+\mathrm{...}+10+10}{10}=9,1.$

• Phương sai là:

$$\begin{gathered} s_B^2=\frac{{\left(5-9,1\right)}^2+{\left(10-9,1\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(10-9,1\right)}^2}{10} \\ =2,69 \end{gathered}$$

• Độ lệch chuẩn là: $s_B=\sqrt{s_B^2}=\sqrt{2,69}\approx 1,64.$

Vậy khoảng biến thiên về thành tích của vận động A và B lần lượt là 2 và 5;

Độ lệch chuẩn về thành tích của vận động viên A và B lần lượt là: 0,7 và 1,64.

b) Vì khoảng biến thiên, độ lệch chuẩn về thành tích của vận động viên A đều nhỏ hơn của vận động viên B nên dựa trên các tiêu chí này ta có thể kết luận vận động viên A có thành tích ổn định hơn.

Giải SBT Toán 10 trang 81 Tập 1

Bài 5.16 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Trong các dãy số liệu sau, dãy nào có độ lệch chuẩn lớn nhất?

(a) 98          99      100    101    102.

(b) 2            4        6        8        10.

(c) 2            10.

Lời giải:

– Đối với dãy (a) ta có:

• Số trung bình là:

$\overline{x}=\frac{98+99+100+101+102}{5}=100.$

• Phương sai là:

• Độ lệch chuẩn là: $s=\sqrt{s_{}^2}=\sqrt{2}\approx 1,41.$

– Đối với dãy (b) ta có:

• Số trung bình là:

$\overline{x}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=6.$

• Phương sai là:

• Độ lệch chuẩn là: $s=\sqrt{s_{}^2}=\sqrt{8}\approx 2,83.$

– Đối với dãy (c) ta có:

• Số trung bình là:

$\overline{x}=\frac{2+10}{2}=6.$

• Phương sai là:

$s^2=\frac{{\left(2-6\right)}^2+{\left(10-6\right)}^2}{2}=16.$

• Độ lệch chuẩn là: $s=\sqrt{s_{}^2}=\sqrt{16}=4.$

Vì 1,41 < 2,83 < 4 nên độ lệch chuẩn của dãy (c) lớn nhất.

Vậy độ lệch chuẩn của dãy số liệu (c) là lớn nhất.

Bài 5.17 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Mẫu số liệu sau là chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn trong tổ của Lan:

165    168    157    162    165    165    179    148    170    167.

a) Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

b) Khoảng tứ phân vị có bị ảnh hưởng bởi chiều cao của bạn cao nhất, bạn thấp nhất không?

Lời giải:

a) Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

148    157    162    165    165    165    167    168    170    179.

• Vì n = 10 là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa (số liệu thứ 5 và thứ 6) của mẫu số liệu đã sắp xếp.

Do đó Q₂ = $\frac{165+165}{2}=165.$

• Nửa dữ liệu bên trái Q₂ là: 148; 157; 162; 165; 165.

Dãy này gồm 5 số liệu, n = 5 là số lẻ nên trung vị là giá trị chính giữa (số liệu thứ 3 của nửa dữ liệu bên trái Q₂) nên Q₁ = 162.

• Nửa dữ liệu bên phải Q₂ là: 165; 167; 168; 170; 179.

Dãy này gồm 5 số liệu, n = 5 là số lẻ nên trung vị là giá trị chính giữa (số liệu thứ 3 của nửa dữ liệu bên phải Q₂) nên Q₃ = 168.

Khi đó khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho là:

D_Q = Q₃ – Q₁ = 168 – 162 = 6.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho là 6 cm.

b) Khoảng tứ phân vị là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp nên đo độ phân tán của 50% dữ liệu này.

Do đó khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.

Vậy khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi chiều cao của bạn cao nhất và bạn thấp nhất.

Bài 5.18 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Bình dùng đồng hồ đo thời gian để một vật rơi tự do (đơn vị: giây) từ vị trí A đến vị trí B trong 10 lần cho kết quả như sau:

Bình nghĩ là giá trị 0,290 ở lần đo thứ 9 không chính xác. Hãy kiểm tra nghi ngờ của Bình.

Lời giải:

Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

• Vì n = 10 là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa (số liệu thứ 5 và thứ 6) của mẫu số liệu đã sắp xếp.

Do đó Q₂ = $\frac{0,402+0,402}{2}=0,402.$

• Nửa dữ liệu bên trái Q₂ là: 0,290; 0,398; 0,399; 0,401; 0,402.

Dãy này gồm 5 số liệu, n = 5 là số lẻ nên trung vị là giá trị chính giữa (số liệu thứ 3 của nửa dữ liệu bên trái Q₂) nên Q₁ = 0,399.

• Nửa dữ liệu bên phải Q₂ là: 0,402; 0,405; 0,406; 0,408; 0,410.

Dãy này gồm 5 số liệu, n = 5 là số lẻ nên trung vị là giá trị chính giữa (số liệu thứ 3 của nửa dữ liệu bên phải Q₂) nên Q₃ = 0,406.

Khi đó khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho là:

D_Q = Q₃ – Q₁ = 0,406 – 0,399 = 0,007.

Ta có: Q₁ – 1,5.D_Q = 0,399 – 1,5.0,007 = 0,3885.

Vì 0,290 < 0,3885 nên đây là giá trị bất thường.

Vậy giá trị 0,290 ở lần đo thứ 9 không chính xác.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Bài tập cuối chương 5

Bài 15: Hàm số

Bài 16: Hàm số bậc hai

Lý thuyết Các số đặc trưng đo độ phân tán

1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

a) Khoảng biến thiên

Khoảng biến thiên, kí hiệu là R, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu.

Ý nghĩa: Khoảng biến thiên dùng để đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

Ví dụ: Hai xạ thủ A và B cùng bắn 10 phát đạn, kết quả được ghi lại như bảng sau:

a) Điểm số trung bình của hai xạ thủ A và B có như nhau không?

b) Tính các khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu. Căn cứ trên chỉ số này, xạ thủ nào bắn đều hơn?

Hướng dẫn giải

a) Điểm số trung bình của xạ thủ A là: $\frac{7.2+8.2+9.4+10.2}{10}$= 8,6 (điểm).

Điểm số trung bình của xạ thủ B là: $\frac{6+7.2+8+9.2+10.4}{10}$= 8,6 (điểm)

Vậy điểm kiểm tra trung bình của hai xạ thủ A và B đều bằng 8,6.

b) Đối với xạ thủ A: Điểm số thấp nhất và cao nhất tương ứng là 7 và 10. Do đó khoảng biến thiên là R_A = 10 – 7 = 3.

Đối với xạ thủ B: Điểm số thấp nhất và cao nhất tương ứng là 6 và 10. Do đó khoảng biến thiên là R_B = 10 – 6 = 4.

Do R_B > R_A nên ta nói xạ thủ A bắn đều hơn xạ thủ B.

Nhận xét: Sử dụng khoảng biến thiên có ưu điểm là đơn giản, dễ tính toán song khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mà bỏ qua thông tin từ tất cả các giá trị khác. Do đó, khoảng biến thiên rất dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.

b) Khoảng tứ phân vị

Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là ∆_Q, là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, tức là:

∆_Q = Q₃ – Q₁.

Về bản chất, khoảng tứ phân vị là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp.

Ý nghĩa: Khoảng tứ phân vị cũng là một số đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

Chú ý: Một số tài liệu gọi khoảng biến thiên là biên độ và khoảng tứ phân vị là độ trải giữa.

Ví dụ: Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp xiếc trong 9 ngày:

0739201151619

Tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải

Trước hết, ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

0357911161920

Mẫu số liệu trên gồm 9 giá trị nên trung vị là số ở vị trí chính giữa Q₂ = 9.

Nửa số liệu bên trái là 0; 3; 5; 7 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 3; 5.

Do đó, Q₁ = (3 + 5) : 2 = 4.

Nửa số liệu bên phải là 11; 16; 19; 20 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 16; 19.

Do đó, Q₃ = (16 + 19) : 2 = 17,5.

Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 17,5 – 4 = 13,5.

2. Phương sai và độ lệch chuẩn

Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu (bỏ qua thông tin của tất cả các giá trị khác). Khoảng tứ phân vị chỉ sử dụng thông tin của 50% số liệu chính giữa. Có một vài số đặc trưng khác đo độ phân tán sử dụng thông tin của tất cả các giá trị trong mẫu số liệu. Hai trong số đó là phương sai và độ lệch chuẩn.

Cụ thể với mẫu số liệu x₁, x₂,..., x_n, nếu gọi số trung bình là $\overline{x}$ thì với mỗi giá trị x_i, độ lệch của nó so với giá trị trung bình là x_i – $\overline{x}$.

•Phương sai là giá trị $s^2=\frac{{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2}{n}$.

•Căn bậc hai của phương sai, s = $\sqrt{s^2}$, được gọi là độ lệch chuẩn.

Chú ý: Người ta còn sử dụng đại lượng để đo độ phân tán của mẫu số liệu:

${\hat{s}}^2=\frac{{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2}{n-1}$.

Ý nghĩa: Nếu số liệu càng phân tán thì phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn.

Ví dụ: Mẫu số liệu sau đây cho biết số học sinh được lên lớp của 7 lớp khối 10 tại một trường Trung học phổ thông:

45424740414442

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu trên. Qua các đại lượng này, em có nhận xét gì về độ phân tán của mẫu số liệu?

Hướng dẫn giải

Số trung bình của mẫu số liệu là: $\overline{x}=\frac{45+42+47+40+41+44+42}{7}$= 43.

Ta có bảng sau:

Mẫu số liệu gồm 7 giá trị nên n = 7. Do đó phương sai là: s² = $\frac{36}{7}$≈ 5,14.

Độ lệch chuẩn là: s = $\sqrt{\mathrm{5,14}}$≈ 2,27.

Qua các đại lượng này, ta thấy phương sai và độ lệch chuẩn không lớn nên số liệu không quá phân tán.

3. Phát hiện số liệu bất thường hoặc không chính xác bằng biểu đồ hộp

Trong mẫu số liệu thống kê, có khi ta sẽ gặp phải những giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với đa số các giá trị khác. Những giá trị này được gọi là giá trị bất thường. Chúng xuất hiện trong mẫu số liệu có thể do nhầm lẫn hay sai sót nào đó. Ta có thể dùng biểu đồ hộp để phát hiện những giá trị bất thường này.

Các giá trị lớn hơn Q₃ + 1,5. ∆_Q hoặc bé hơn Q₁ –1,5. ∆_Q được xem là giá trị bất thường.

Ví dụ: Hàm lượng Canxi (đơn vị mg) trong 100 g một số loại thực phẩm được cho như trong bảng sau:

Tìm giá trị bất thường trong mẫu số liệu trên bằng cách sử dụng biểu đồ hộp.

Hướng dẫn giải

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

0; 4; 8; 10; 13; 14; 15; 16; 16; 18; 18; 18; 19; 20; 20; 20; 21; 22; 29; 34.

Từ mẫu số liệu trên, ta tính được Q₂ = 18; Q₁ = 13,5 và Q₃ = 20. Do đó khoảng tứ phân vị là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 20 – 13,5 = 6,5.

Biểu đồ hộp cho mẫu số liệu này là:

Ta có Q₁ – 1,5.∆_Q = 3,75 và Q₃ + 1,5.∆_Q = 29,75 nên trong mẫu số liệu có hai giá trị được xem là bất thường là 0 mg (bé hơn 3,75 mg) và 34 mg (lớn hơn 29,75 mg).