Giải SGK Toán 10 Bài 1: Số gần đúng và sai số

Giải SGK Toán 10 Bài 1: Số gần đúng và sai số | Chân trời sáng tạo

Nguyễn Linh Anh Ngày: 24-08-2024 Lớp 10

4.6 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Số gần đúng và sai số chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Số gần đúng và sai số

1. Số gần đúng

Giải toán lớp 10 trang 105 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 1 trang 105 Toán lớp 10: Hãy đo chiều dài bàn học bạn đang sử dụng

Lời giải:

(Bàn học sinh, hai người ngồi)

Chiều dài bàn khoảng 120 cm.

Thực hành 1 trang 105 Toán lớp 10: Trong trích đoạn một báo cáo tài chính dưới đây, theo bạn, số nào là số đúng, số nào là số gần đúng?

Trong tháng 01/2021 có 47 dự án được cấp phép mới với số vốn đăng kí đạt gần 1,3 tỉ USD, giảm khoảng 81,8% về số dự án và 70,3% về số vốn đăng kí so với cùng kì năm trước; 46 lượt dự án đã cấp phép từ các năm trước đăng kí điều chỉnh vốn đầu tư với số vốn tăng thêm trên 0,5 tỉ USD, tăng gần 41,4%.

(Nguồn: tapchitaichinh.vn)

Phương pháp giải:

Số gần đúng thường đi kèm với các từ ước lượng như: gần, khoảng, trên, …

Lời giải:

Số đúng: 47; 46.

Số gần đúng: 1,3; 81,8; 70,3; 0,5; 41,4.

2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

HĐ Khám phá 2 trang 105 Toán lớp 10: Vinh và Hoa đo chiều dài trang bìa của một quyển số (Hình 2). Vinh đọc kết quả là 21 cm. Hoa đọc kết quả là 20,7 cm. Kết quả của bạn nào có sai số nhỏ hơn?

Lời giải:

Quan sát Hình 2, ta thấy: Chiều dài trang bìa sổ gần tới vạch thứ 7 giữa số 20 và 21.

Do đó quyển sổ dài gần 20,7 cm.

Vậy kết quả của bạn Hoa có sai số nhỏ hơn.

Giải toán lớp 10 trang 106 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 106 Toán lớp 10: Cho biết $1, 41 < \sqrt{2} < 1, 42.$ Hãy tính độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 10 cm và xác định độ chính xác của kết quả tìm được.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định số gần đúng của $\sqrt{2}$ , tính độ dài đường chéo của hình vuông đó.

Bước 2: Tìm khoảng ước lượng, từ đó suy ra độ chính xác của kết quả.

Lời giải:

Ta có: $1, 41 < \sqrt{2} < 1, 42$ hay $1, 415 - 0, 005 < \sqrt{2} < 1, 415 + 0, 005$

$\Rightarrow$ Số gần đúng của $\sqrt{2}$ là 1,415 với độ chính xác 0,005

Khi đó: Độ dài đường chéo của hình vuông cạnh 10 cm là: $10.1, 415 = 14, 15 (c m)$

Độ dài đúng là $10 \sqrt{2}$ cm, thỏa mãn: $10.1, 41 < 10 \sqrt{2} < 10.1, 42$ hay $14, 1 < 10 \sqrt{2} < 14, 2$

Do đó $14, 1 - 14, 15 < 10 \sqrt{2} - 14, 15 < 14, 2 - 14, 15$ , tức là $| 10 \sqrt{2} - 14, 15 | < 0, 05.$

Vậy kết quả 14,15 cm có độ chính xác là 0,05.

Vận dụng 1 trang 106 Toán lớp 10: Một tấm bìa có dạng hình chữ nhật với kích thước được in như trong Hình 3.

a) Hãy cho biết kích thước chiều dài và chiều rộng của tấm bìa nằm trong khoảng nà.

b) Tính diện tích của tấm bìa.

Phương pháp giải:

a) $\bar{a} = a \pm d$ (hoặc $a \pm d$ ) thì có nghĩa là số đúng $\bar{a}$ nằm trong đoạn $[a - d; a + d]$

Bước 1: Xác định chiều dài gần đúng và chiều rộng gần đúng.

Bước 2: Tính diện tích gần đúng và độ chính xác của kết quả đó.

Lời giải:

a) Chiều rộng của tấm bìa là $\bar{R} = 170 \pm 2 m m$ , nghĩa là chiều rộng gần đúng $R = 170$ với độ chính xác $d = 2$

Suy ra kích thước chiều rộng nằm trong khoảng $[170 - 2; 170 + 2]$ hay $[168; 172] .$

Tương tự, chiều dài của tấm bìa là $\bar{D} = 240 \pm 2 m m$

Vậy kích thước chiều dài nằm trong khoảng $[240 - 2; 240 + 2]$ hay $[238; 242]$

b) Chiều rộng gần đúng là 170 mm, chiều dài gần đúng là 240 mm.

Khi đó, diện tích tấm bìa là $S = 170.240 = 40800 (m m^{2})$

Diện tích đúng, kí hiệu $\bar{S}$ , của tấm bìa trên thỏa mãn:

$168.238 < \bar{S} < 172.242 \Leftrightarrow 39984 < \bar{S} < 41624$

Do đó $39984 - 40800 < \bar{S} - 40800 < 41624 - 40800$ hay $- 816 < \bar{S} - S < 824 \Rightarrow | \bar{S} - S | < 824$

Vậy diện tích tấm bìa là $40800 \pm 824 (m m^{2})$

Cách 2:

Diện tích tấm bìa là:

$\bar{S} = (170 \pm 2) (240 \pm 2) = 170.240 \pm (170.2 + 240.2 + 2.2) = 40800 \pm 824 (m m^{2})$

Vậy diện tích tấm bìa là $40800 \pm 824 (m m^{2})$

HĐ Khám phá 3 trang 106 Toán lớp 10: Vào năm 2015, các nhà khoa học trên thế giới ước lượng độ tuổi của vũ trụ là $13 799 \pm 21$ triệu năm.

Trọng tài bấm thời gian chạy 100 m của một vận động viên là $10, 3 \pm 0, 1$ giây.

Theo bạn, trong hai phép đo trên, phép đo nào có độ chính xác cao hơn.

Phương pháp giải:

Cho $\bar{a} = a + d$ , nếu $\frac{d}{| a |}$ càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc (tính toán) càng cao.

Lời giải:

Ta có: $\frac{21}{13799} = 0, 0015...$ và $\frac{0, 1}{10, 3} = 0, 0097...$

$\Rightarrow \frac{21}{13799} < \frac{0, 1}{10, 3}$ hay phép đo ước lượng độ tuổi của vũ trụ có độ chính xác cao hơn.

Giải toán lớp 10 trang 107 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 107 Toán lớp 10: Hãy ước lượng sai số tương đối trong phép đo tuổi của vũ trụ và thời gian chạy của vận động viên ở Hoạt động khám phá 3.

Phương pháp giải:

Nếu $\bar{a} = a + d$ , sai số tương đối là $δ_{a}$ và $δ_{a} \leq \frac{d}{| a |}$

Lời giải:

Trong phép đo tuổi của vũ trụ, ta có: $d = 21; a = 13799$

Sai số tương đối không vượt quá $\frac{21}{13799} \approx 0, 15 %$

Trong phép đo thời gian chạy của vận động viên, ta có: $d = 0, 1; a = 10, 3$

Sai số tương đối không vượt quá $\frac{0, 1}{10, 3} \approx 0, 97 %$

3. Số quy tròn

Thực hành 4 trang 107 Toán lớp 10: Hãy quy tròn số $\bar{b} = 5496$ đến hàng chục và ước lượng sai số tương đối.

Lời giải:

Quy tròn số $\bar{b} = 5496$ đến hàng chục, ta được số gần đúng là $b = 5500$

Sai số tuyệt đối là: $Δ_{b} = | \bar{b} - b | = | 5496 - 5500 | = 4$

Sai số tương đối là: $δ_{b} = \frac{Δ_{b}}{| b |} = \frac{4}{| 5500 |} \approx 0, 07 %$

Giải toán lớp 10 trang 108 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 5 trang 108 Toán lớp 10: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng trong những trường hợp sau:

a) $318081 \pm 2000$

b) $18, 0113 \pm 0, 003$

Phương pháp giải:

Bước 1: Từ giả thiết $a \pm d$ , xác định a và d.

Bước 2: Tìm hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của d

Bước 3: Quy tròn số a ở hàng gấp 10 lần hàng tìm được ở bước 2.

Lời giải:

a) Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của độ chính xác $d = 2000$ là hàng nghìn, nên ta quy tròn $a = 318081$ đến hàng chục nghìn.

Vậy số quy tròn của a là 318 000.

b) Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của độ chính xác $d = 0, 003$ là hành phần nghìn, nên ta quy tròn $b = 18, 0113$ đến hàng phần trăm. Vậy số quy tròn của b là 18,01.

Thực hành 6 trang 108 Toán lớp 10: Hãy xác định số gần đúng của các số sau với độ chính xác $d = 0, 0001.$

a) $\bar{a} = \frac{20}{11} = 1, 8181818...;$

b) $\bar{b} = 1 - \sqrt{7} = - 1, 6457513...$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của d

Bước 2: Quy tròn $\bar{a}$ đến hàng tìm được ở trên.

Lời giải:

a) Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của độ chính xác $d = 0, 0001$ là hàng phần nghìn.

Quy tròn $\bar{a} = 1, 8181818...$ đến hàng phần nghìn ta được số gần đúng của $\bar{a}$ là $a = 1, 818$

b) Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của độ chính xác $d = 0, 0001$ là hành phần nghìn.

Quy tròn $\bar{b} = - 1, 6457513...$ đến hàng phần nghìn ta được số gần đúng của $\bar{b}$ là $b = - 1, 646$

Bài tập

Giải toán lớp 10 trang 109 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 109 Toán lớp 10: Ở Babylon, một tấm đất sét có niên đại khoảng 1900 – 1600 trước Công nguyên đã ghi lại một phát biểu hình học, trong đó ám chỉ ước lượng số π bằng $\frac{25}{8}$ = 3,1250. Hãy ước lượng sai số tuyệt đối và sai số tương đối của giá trị gần đúng này, biết 3,141 < π < 3,142.

Phương pháp giải:

Ta viết $\bar{a} = a \pm d$ (hoặc $a \pm d$ ) thì có nghĩa là số đúng $\bar{a}$ nằm trong đoạn $[a - d; a + d]$

Lời giải:

Ta có: $3, 141 < π < 3, 142 \Rightarrow 3, 141 - 3, 125 < π - 3, 125 < 3, 142 - 3, 125$

Hay $0, 016 < π - 3, 125 < 0, 017 \Rightarrow 0, 016 < | π - 3, 125 | < 0, 017$

Sai số tuyệt đối của số gần đúng 3,125: $0, 016 < Δ_{3, 125} < 0, 017$

Sai số tương đối $δ_{3, 125} = \frac{Δ_{3.125}}{| 3, 125 |} < \frac{0, 017}{3, 125} = 0, 0544 %$

Bài 2 trang 109 Toán lớp 10: Cho số gần đúng a = 6547 với độ chính xác d = 100. Hãy viết số quy tròn của số a và ước lượng sai số tương đối của số quy tròn đó.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của d

Bước 2: Quy tròn số a ở hàng gấp 10 lần hàng tìm được.

Bước 3: Ước lượng sai số tương đối $δ_{a} \leq \frac{d}{| a |}$

Lời giải:

Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của độ chính xác $d = 100$ là hàng trăm, nên ta quy tròn $a = 6547$ đến hàng nghìn.

Vậy số quy tròn của a là 7 000.

Sai số tương đối là $δ_{a} \leq \frac{100}{| 6547 |} \approx 1, 53 %$

Bài 3 trang 109 Toán lớp 10: Cho biết $\sqrt{3} = 1, 7320508....$ .

a) Hãy quy tròn $\sqrt{3}$ đến hàng phần trăm và ước lượng sai số tương đối.

b) Hãy tìm số gần đúng của $\sqrt{3}$ với độ chính xác 0,003.

c) Hãy tìm số gần đúng của $\sqrt{3}$ với độ chính xác đến hàng phần chục nghìn.

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Quy tròn số, tìm sai số tuyệt đối

Bước 2: Ước lượng sai số tương đối

b) Bước 1: Tìm hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của d=0,003

Bước 2: Quy tròn $\bar{a} = \sqrt{3} = 1, 7320508...$ đến hàng tìm được ở trên

Lời giải:

a) Quy tròn số $\bar{a} = \sqrt{3}$ đến hàng phần trăm, ta được số gần đúng là $a = 1, 73$

Do $a < \bar{a} < 1, 735$ nên sai số tuyệt đối là

$Δ_{a} = | \bar{a} - a | < 0, 005.$

Sai số tương đối là $δ_{a} \leq \frac{0, 005}{1, 73} \approx 0, 3 %$

b) Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của d=0,003 là hàng phần nghìn.

Quy tròn $\bar{a}$ đến hàng phần nghìn ta được số gần đúng của $\bar{a}$ là $a = 1, 732$ .

c) Độ chính xác đến hàng phần chục nghìn

Quy tròn $\bar{a}$ đến hàng phần chục nghìn ta được số gần đúng của $\bar{a}$ là $a = 1, 7321$ .

Bài 4 trang 109 Toán lớp 10: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng trong những trường hợp sau:

a) 4536002 ± 1000;

b) 10,05043 ± 0,002.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định a và d trong số đúng $a \pm d$

Bước 2: Tìm hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của d

Bước 3: Quy tròn số a ở hàng gấp 10 lần hàng tìm được.

Lời giải:

a) $a = 4536002; d = 1000$

Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của $d = 1000$ là hàng nghìn, nên ta quy tròn a đến hàng chục nghìn.

Vậy số quy tròn của a là $4540000$ .

b) $a = 10, 05043; d = 0, 002$

Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của $d = 0, 002$ là hàng phần nghìn, nên ta quy tròn a đến hàng phần trăm.

Vậy số quy tròn của a là $10, 05$ .

Bài 5 trang 109 Toán lớp 10: Một tam giác có ba cạnh đo được như sau: a = 5,4 cm ± 0,2 cm; b = 7,2 cm ± 0,2 cm và c = 9,7 cm ± 0,1 cm. Tính chu vi của tam giác đó.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} 5, 4 - 0, 2 < a < 5, 4 + 0, 2 (c m); \\ 7, 2 - 0, 2 < b < 7, 2 + 0, 2 (c m); \\ 9, 7 - 0, 1 < c < 9, 7 + 0, 1 (c m) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5, 4 + 7, 2 + 9, 7 - 0, 5 < a + b + c < 5, 4 + 7, 2 + 9, 7 + 0, 5 (c m) \\ \Leftrightarrow 22, 3 - 0, 5 < a + b + c < 22, 3 + 0, 5 (c m) \end{array}$

Vậy chu vi $P = a + b + c$ của tam giác đó là $P = 22, 3 c m \pm 0, 5 c m$

Bài 6 trang 109 Toán lớp 10: Chiếc kim màu đỏ chỉ cân nặng của bác Phúc (Hình 5). Hãy viết cân nặng của bác Phúc dưới dạng số gần đúng với độ chính xác 0,5 kg.

Chiếc kim màu đỏ chỉ cân nặng của bác Phúc (Hình 5)

Lời giải:

Dễ thấy cân nặng đúng $\bar{a}$ của bác Phúc thuộc khoảng (63;64) (kg)

Độ chính xác $d = 0, 5 k g$ nên ta có: $(a - 0, 5; a + 0, 5) = (63; 64) \Rightarrow a = 63, 5 k g$

Vậy cân nặng của bác Phúc là $63, 5 k g \pm 0, 5 k g$

Lý thuyết Số gần đúng và sai số

1. Số gần đúng

Trong thực tế cuộc sống cũng như trong khoa học kĩ thuật, có nhiều đại lượng mà ta không thể xác định được giá trị chính xác. Mỗi dụng cụ hay phương pháp đo khác nhau có thể sẽ cho ra các kết quả khác nhau. Vì vậy kết quả thu được thường chỉ là những số gần đúng.

Ví dụ:

- Chiều cao của một cây cau trong vườn nhà.

- Tốc độ của một chiếc tàu hỏa đang chạy tại một thời điểm nào đó.

- Giá trị của số π được làm tròn là 3,14, ta nói 3,14 là số gần đúng của số π.

2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

2.1. Sai số tuyệt đối

Nếu a là số gần đúng của số đúng $\bar{a}$ thì $Δ_{a} = |\bar{a} - a|$ được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.

Ví dụ:

Ta có: $10 \sqrt{3}$ ≈ 17,32.

Suy ra $\bar{a} = 10 \sqrt{3}$ là số đúng; a = 17,32 là số gần đúng.

Khi đó ta có: $Δ_{a} = |a - \bar{a}| = |17, 32 - 10 \sqrt{3}| \approx 0, 0005$ .

Vậy ∆_a = 0,0005 là sai số tuyệt đối của số gần đúng a = 17,32.

* Độ chính xác:

Trên thực tế ta thường không biết số đúng $\bar{a}$ nên không thể tính được chính xác ∆_a. Khi đó, ta thường tìm cách khống chế sai số tuyệt đối ∆_a không vượt quá mức d > 0 cho trước:

$Δ_{a} = |\bar{a} - a| \leq d$ hay a – d ≤ $\bar{a}$ ≤ a + d.

Khi đó, ta nói a là số gần đúng của số đúng $\bar{a}$ với độ chính xác d.

Quy ước viết gọn: $\bar{a} = a \pm d$ .

Ví dụ:

Trên gói kẹo có ghi khối lượng tịnh là 100g ± 2g.

+ Khối lượng thực tế của gói kẹo $\bar{a}$ là số đúng. Tuy không biết $\bar{a}$ nhưng ta xem khối lượng gói kẹo là 100g nên 100 là số gần đúng cho $\bar{a}$ . Độ chính xác d = 2 (g).

+ Giá trị của $\bar{a}$ nằm trong đoạn [100 – 2; 100 + 2] hay [98; 102].

2.2. Sai số tương đối

Sai số tương đối của số gần đúng a, kí hiệu là δ_a, là tỉ số giữa sai số tuyệt đối ∆_a và |a|, tức là $δ_{a} = \frac{Δ_{a}}{| a |}$ .

Nếu thì ∆_a ≤ d. Do đó $δ_{a} = \frac{Δ_{a}}{| a |}$ . Nếu δ_a hay $\frac{d}{| a |}$ càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán càng cao.

Chú ý: Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm.

Ví dụ: Bao bì của một chai nước suối có ghi thể tích thực là 500 ml, biết rằng sai số tuyệt đối là 3 ml. Tìm sai số tương đối của chai nước suối.

Hướng dẫn giải

Ta có a = 500 (ml) và ∆_a = 3 (ml), do đó sai số tương đối là:

$δ_{a} = \frac{Δ_{a}}{|a|} = \frac{3}{500} = 0, 6 %$ .

3. Số quy tròn

3.1. Quy tắc làm tròn số

Quy tắc làm tròn số đến một hàng nào đó (gọi là hàng quy tròn):

+ Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bởi chữ số 0.

+ Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên nhưng cộng thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng quy tròn.

Ví dụ: Hãy quy tròn số $\bar{a} = \frac{5}{3} = 1, 66666....$ đến hàng phần trăm và ước lượng sai số tương đối.

Hướng dẫn giải

Quy tròn số $\bar{a} = \frac{5}{3} = 1, 66666....$ đến hàng phần trăm, ta được số gần đúng là a = 1,67.

Do $\bar{a} < a < 1, 675$ nên sai số tuyệt đối $Δ_{a} = |\bar{a} - a| < 0, 005$ .

Sai số tương đối là $δ_{a} \leq \frac{0, 005}{1, 67} \approx 0, 3 %$ .

Chú ý:

+ Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng quy tròn. Ta có thể nói độ chính xác của số quy tròn bằng nửa đơn vị của hàng quy tròn.

+ Khi quy tròn số đúng $\bar{a}$ đến một hàng nào đó thì ta nói số gần đúng a nhận được là chính xác đến hàng đó. Ví dụ số gần đúng của π chính xác đến hàng phần trăm là 3,14.

3.2. Xác định số quy tròn của số gần đúng với độ chính xác cho trước

Các bước xác định số quy tròn của số gần đúng a với độ chính xác d cho trước:

Bước 1: Tìm hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của d.

Bước 2: Quy tròn số a ở hàng gấp 10 lần hàng tìm được ở Bước 1.

Ví dụ: Cho số gần đúng a = 2032 với độ chính xác d = 50. Hãy viết số quy tròn của số a.

Hướng dẫn giải

Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 50 là hàng chục, nên ta quy tròn a đến hàng phần trăm.

Vậy số quy tròn của a là 2000.

3.3. Xác định số gần đúng của một số với độ chính xác cho trước

Để tìm số gần đúng a của số đúng $\bar{a}$ với độ chính xác d, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của d.

Bước 2: Quy tròn $\bar{a}$ đến hàng tìm được ở trên.

Ví dụ: Cho $\bar{a} = 2 - \sqrt{11} = - 1, 31662479...$ . Hãy xác định số gần đúng của $\bar{a}$ với độ chính xác d = 0,0001.

Hướng dẫn giải

Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của d = 0,0001 là hàng phần chục nghìn. Quy tròn $\bar{a}$ đến hàng phần chục nghìn ta được số gần đúng của $\bar{a}$ là a = – 1,3166.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 5

Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ

Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

Bài 4: Các số đặc trưng mức độ phân tán của mẫu số liệu