Giải SGK Toán 10 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

Nguyễn Linh Anh Ngày: 24-08-2024 Lớp 10

4.7 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

1. Số trung bình

Giải toán lớp 10 trang 112 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 1 trang 112 Toán lớp 10: Điểm số bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong Tổ 1 là 6; 10; 6; 8; 7; 10, còn của các bạn Tổ 2 là 10; 6; 9; 9; 8; 9. Theo em, tổ nào có kết quả kiểm tra tốt hơn? Tại sao?

Lời giải:

Trung bình, mỗi bạn ở Tổ 1 được: $\frac{6 + 10 + 6 + 8 + 7 + 10}{6} \approx 7, 83$

Trung bình, mỗi bạn ở Tổ 2 được: $\frac{10 + 6 + 9 + 9 + 8 + 9}{6} = 8, 5 > 7, 83$

Vậy tổ 2 có kết quả kiểm tra tốt hơn

Giải toán lớp 10 trang 114 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Vận dụng 1 trang 114 Toán lớp 10: Thời gian chạy 100 mét (đơn vị: giây) của các bạn học sinh ở hai nhóm A và B được ghi lại ở bảng sau:

Nhóm A	12,2	13,5	12,7	13,1	12,5	12,9	13,2	12,8
Nhóm B	12,1	13,4	13,2	12,9	13,7

Nhóm nào có thành tích chạy tốt hơn?

Phương pháp giải:

So sánh thời gian chạy trung bình của 2 nhóm.

Lời giải:

Số giây trung bình để chạy 100 mét của các bạn học sinh ở nhóm A là:

$\frac{12, 2 + 13, 5 + 12, 7 + 13, 1 + 12, 5 + 12, 9 + 13, 2 + 12, 8}{8} \approx 12, 65$

Số giây trung bình để chạy 100 mét của các bạn học sinh ở nhóm B là:

$\frac{12, 1 + 13, 4 + 13, 2 + 12, 9 + 13, 7}{5} = 13, 06$

Vậy nhóm A có thành tích chạy tốt hơn.

Vận dụng 2 trang 114 Toán lớp 10: Số bàn tháng mà một đội bóng ghi được ở mỗi trận đấu trong một mùa giải được thống kê lại ở bảng sau:

Số bàn thắng	0	1	2	3	4	6
Số trận	5	10	5	3	2	1

Hãy xác định số bàn thắng trung bình đội đó ghi được trong một trận đấu của mùa giải.

Phương pháp giải:

Số bàn thắng trung bình trong mỗi trận = tổng của số bàn thắng của mùa giải: tổng số trận

Lời giải:

Số bàn thắng ghi được trong mùa giải đó là:

$0.5 + 1.10 + 2.5 + 3.3 + 4.2 + 6.1 = 43$ (bàn thắng)

Số bàn thắng trung bình đội đó ghi được trong một trận đấu là:

$\frac{43}{5 + 10 + 5 + 3 + 2 + 1} \approx 1, 65$

Vậy trung bình một trận đội đó ghi được 1,65 bàn thắng.

2. Trung vị và tứ phân vị

HĐ Khám phá 2 trang 114 Toán lớp 10: Bảng sau thống kê số sách mỗi bạn học sinh Tổ 1 và Tổ 2 đã đọc ở thư viện trường trong một tháng:

Tổ 1	3	1	2	1	2	2	3	25	1
Tổ 2	4	5	4	3	3	4	5	4

a) Trung bình mỗi bạn Tổ 1 và mỗi bạn Tổ 2 đọc bao nhiêu quyển sách ở thư viện trường trong tháng đó?

b) Em hãy thảo luận với các bạn trong nhóm xem tổ nào chăm đọc sách ở thư viện hơn.

Lời giải:

a) Trung bình mỗi bạn Tổ 1 đọc:

$\frac{3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 3 + 25 + 1}{9} \approx 4, 44$ (quyển sách)

Trung bình mỗi bạn Tổ 2 đọc:

$\frac{4 + 5 + 4 + 3 + 3 + 4 + 5 + 4}{8} = 4$ (quyển sách)

b) Sắp xếp số sách mối bạn Tổ 1 đã đọc theo thứ tự không giảm, ta được dãy:

1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 25

Vì cỡ mẫu bằng 9 nên trung vị của Tổ 1 là số liệu thứ 5 của dãy trên, tức là $M_{e} = 2.$

Sắp xếp số sách mối bạn Tổ 2 đã đọc theo thứ tự không giảm, ta được dãy:

3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5.

Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của Tổ 2 là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên, tức là $M_{e} = \frac{1}{2} (4 + 4) = 4.$

Vậy nếu so sánh theo trung vị thì các bạn Tổ 2 đọc nhiều sách ở thư viện hơn các bạn Tổ 1.

Giải toán lớp 10 trang 115 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 115 Toán lớp 10: Hãy tìm trung vị của các số liệu ở Vận dụng 1 và Vận dụng 2.

Phương pháp giải:

Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm.

Bước 2: Tìm cỡ mẫu n.

+ Nếu $n = 2 k - 1$ thì trung vị là số liệu thứ k

+ Nếu $n = 2 k$ thì trung vị $= \frac{1}{2} ($ số liệu thứ k + số liệu thứ (k+1))

Lời giải:

Vận dụng 1:

Nhóm A	12,2	13,5	12,7	13,1	12,5	12,9	13,2	12,8
Nhóm B	12,1	13,4	13,2	12,9	13,7

Sắp xếp thời gian chạy của nhóm A theo thứ tự không giảm ta được dãy:

$12, 2; 12, 5; 12, 7; 12, 8; 12, 9; 13, 1; 13, 2; 13, 5$

Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của nhóm A là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên, tức là $M_{e} = \frac{1}{2} (12, 8 + 12, 9) = 12, 85.$

Sắp xếp thời gian chạy của nhóm B theo thứ tự không giảm ta được dãy:

$12, 1; 12, 9; 13, 2; 13, 4; 13, 7$

Vì cỡ mẫu bằng 5 nên trung vị của nhóm B là số liệu thứ 3 của dãy trên, tức là $M_{e} = 13, 2.$

Vận dụng 2:

Số bàn thắng	0	1	2	3	4	6
Số trận	5	10	5	3	2	1

Sắp xếp số bàn thắng của đội theo thứ tự không giảm ta được dãy:

$0; 0; 0; 0; 0; \underset{10 s o 1}{\underset{⏟}{1; . . .; 1}}; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 6.$

Vì cỡ mẫu bằng $5 + 10 + 5 + 3 + 2 + 1 = 26$ nên trung vị của đội là trung bình cộng của số liệu thứ 13 và thứ 14 của dãy trên, tức là $M_{e} = \frac{1}{2} (1 + 1) = 1.$

Giải toán lớp 10 trang 116 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 3 trang 116 Toán lớp 10: Cân nặng của 20 vận động viên môn vật của một câu lạc bộ được ghi lại ở bảng sau:

50	56	57	62	58	52	66	61	54	61
64	69	52	65	58	68	67	56	59	54

Để thuận tiện cho việc luyện tập, ban huấn luyện muốn xếp 20 vận động viên trên thành 4 nhóm, mỗi nhóm gồm 25% số vận động viên có cân nặng gần nhau. Bạn hãy giúp ban huấn luyện xác định các ngưỡng cân nặng để phân nhóm mỗi vận động viên.

Phương pháp giải:

Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm.

Bước 2: Tính cỡ mẫu n, tìm tứ phân vị thứ hai $Q_{2}$ (chính là trung vị của mẫu).

Bước 3: Tìm tứ phân vị thứ nhất: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ)

Bước 4: Tìm tứ phân vị thứ ba: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ)

Lời giải:

Sắp xếp các cân nặng theo thứ tự không giảm, ta được dãy:

50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58; 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69.

+) Vì cỡ mẫu $n = 20$ , là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là $Q_{2} = \frac{1}{2} (58 + 59) = 58, 5$

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58.

Do đó $Q_{1} = \frac{1}{2} (54 + 56) = 55$

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69.

Do đó $Q_{3} = \frac{1}{2} (64 + 65) = 64, 5$

Vậy 3 ngưỡng cân nặng để phân nhóm là: 55kg; 58,5 kg; 64,5 kg.

Giải toán lớp 10 trang 117 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 117 Toán lớp 10: Hãy tìm tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:

a) 10; 13; 15; 2; 10; 19; 2; 5; 7

b) 15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15

Phương pháp giải:

Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm.

Bước 2: Tính cỡ mẫu n, tìm tứ phân vị thứ hai $Q_{2}$ (chính là trung vị của mẫu).

Bước 3: Tìm tứ phân vị thứ nhất: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ)

Bước 4: Tìm tứ phân vị thứ ba: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ)

Lời giải:

a) Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19

+) Vì cỡ mẫu là $n = 9$ , là số lẻ, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là $Q_{2} = 10$

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 2; 5; 7.

Do đó $Q_{1} = \frac{1}{2} (2 + 5) = 3, 5$

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 10; 13; 15; 19.

Do đó $Q_{3} = \frac{1}{2} (13 + 15) = 14$

b) Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19

+) Vì cỡ mẫu là $n = 10$ , là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là $Q_{2} = \frac{1}{2} (9 + 10) = 9, 5$

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 5; 5; 9.

Do đó $Q_{1} = 5$

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 10; 10; 15; 15; 19.

Do đó $Q_{3} = 15$

3. Mốt

HĐ Khám phá 4 trang 117 Toán lớp 10: Một cửa hàng kinh doanh hoa thống kê số hoa hồng bán được trong ngày 14 tháng 2 theo loại hoa và thu được bảng tần số sau:

Loại hoa	Hồng bạch	Hồng nhung	Hồng vàng	Hồng kem
Số bông bán được	120	230	180	150

Cửa hàng nên nhập loại hoa hồng nào nhiều nhất để bán trong ngày 14 tháng 2 năm tiếp theo? Tại sao?

Lời giải:

Dễ thấy: Hoa hồng nhung là loại hoa bán được nhiều nhất trong dịp năm nay, do đó cửa hàng nên nhập loại hoa này nhiều nhất để bán vào dịp 14 tháng 2 năm sau.

Thực hành 3 trang 117 Toán lớp 10: Hãy tìm mốt của số liệu điểm kiểm tra các bạn Tổ 1 trong Hoạt động khám phá 1.

Lời giải:

Điểm số bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong Tổ 1 là 6; 10; 6; 8; 7; 10

Số điểm 6 là 2, bằng số điểm 10 và nhiều hơn số điểm 7, điểm 8. Do đó mẫu số liệu trên có $M_{o} = 6, M_{o} = 10.$

Bài tập

Giải toán lớp 10 trang 118 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 118 Toán lớp 10: Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau:

a) 23; 41; 71; 29; 48; 45; 72; 41.

b) 12; 32; 93; 78; 24; 12; 54; 66; 78.

Lời giải:

a) $23; 41; 71; 29; 48; 45; 72; 41$ .

) $23; 41; 71; 29; 48; 45; 72; 41$ .

+) Số trung bình: $\bar{x} = \frac{23 + 41 + 71 + 29 + 48 + 45 + 72 + 41}{8} = 46, 25$

+) Tứ phân vị: $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $23; 29; 41; 41; 45; 48; 71; 72$

Bước 2: $n = 8$ , là số chẵn nên $Q_{2} = M_{e} = \frac{1}{2} (41 + 45) = 43$

$Q_{1}$ là trung vị của nửa số liệu $23; 29; 41; 41$ . Do đó $Q_{2} = \frac{1}{2} (29 + 41) = 35$

$Q_{3}$ là trung vị của nửa số liệu $45; 48; 71; 72$ . Do đó $Q_{3} = \frac{1}{2} (48 + 71) = 59, 5$

+) Chỉ có giá trị 41 xuất hiện 2 lần, nhiều hơn các giá trị còn lại.

Do đó mốt $M_{o} = 41$

b) $12; 32; 93; 78; 24; 12; 54; 66; 78$ .

) $12; 32; 93; 78; 24; 12; 54; 66; 78$ .

+) Số trung bình: $\bar{x} = \frac{12 + 32 + 93 + 78 + 24 + 12 + 54 + 66 + 78}{9} \approx 49, 89$

+) Tứ phân vị: $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $12; 12; 24; 32; 54; 66; 78; 78; 93$

Bước 2: $n = 9$ , là số lẻ nên $Q_{2} = M_{e} = 54$

$Q_{1}$ là trung vị của nửa số liệu $12; 12; 24; 32$ . Do đó $Q_{2} = \frac{1}{2} (12 + 24) = 18$

$Q_{3}$ là trung vị của nửa số liệu $66; 78; 78; 93$ . Do đó $Q_{3} = \frac{1}{2} (78 + 78) = 78$

+) Giá trị 12 và giá trị 78 xuất hiện 2 lần, nhiều hơn các giá trị còn lại.

Do đó mốt $M_{o} = 12, M_{o} = 78.$

Bài 2 trang 118 Toán lớp 10: Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau:

Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau

Lời giải:

a) Bảng số liệu là bảng tần số.

Cỡ mẫu là n = 6 + 8 + 10 + 6 + 4 + 3 = 37.

Số trung bình của mẫu là: $\bar{x} = \frac{6.23 + 8.25 + 10.28 + 6.31 + 4.33 + 3.37}{37} \approx 28, 3$ .

Giá trị 28 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu là Mo = 28.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

23; 23; 23; 23; 23; 23; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 31; 31; 31; 31; 31; 31; 33; 33; 33; 33; 37; 37; 37.

Vì cỡ mẫu là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q2 = 28.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 23; 23; 23; 23; 23; 23; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 28; 28; 28; 28. Do đó Q1 = 25.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 28; 28; 28; 28; 28; 31; 31; 31; 31; 31; 31; 33; 33; 33; 33; 37; 37; 37. Do đó Q3 = 31.

b) Bảng số liệu là bảng tần số tương đối.

Số trung bình là: $\bar{x} = 0, 6.0 + 0, 2.2 + 0, 1.4 + 0, 1.5 = 1, 3$ .

Tần số tương đối là tỉ số của tần số với cỡ mẫu, do đó, giá trị có tần số tương đối lớn nhất thì có tần số lớn nhất, vậy giá trị 0 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu là Mo = 0.

Giả sử cỡ mẫu là n = 10, khi đó:

Tần số của giá trị 0 là 0,6 . 10 = 6.

Tần số của giá trị 2 là 0,2 . 10 = 2.

Tần số của giá trị 4 là 0,1 . 10 = 1.

Tần số của giá trị 5 là 0,1 . 10 = 1.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

0; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 2; 4; 5.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q2 = 0.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 0; 0; 0; 0; 0. Do đó Q1 = 0.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 0; 2; 2; 4; 5. Do đó Q3 = 2.

Bài 3 trang 118 Toán lớp 10: An lấy ra ngẫu nhiên 3 quả bóng từ một hộp có chứa nhiều bóng xanh và bóng đỏ. An đếm xem có bao nhiêu bóng đỏ trong 3 bóng lấy ra rồi trả bóng lại hộp. An lặp lại phép thử trên 100 lần và ghi lại kết quả ở bảng sau:

An lấy ra ngẫu nhiên 3 quả bóng từ một hộp có chứa nhiều bóng xanh và bóng đỏ

Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của bảng kết quả trên.

Phương pháp giải:

Cho bảng số liệu:

Giá trị	$x_{1}$	$x_{2}$	…	$x_{m}$
Tần số	$f_{1}$	$f_{2}$	…	$f_{m}$

+) Số trung bình: $\bar{x} = \frac{x_{1} . f_{1} + x_{2} . f_{2} + . . . + x_{m} . f_{m}}{f_{1} + f_{2} + . . . + f_{m}}$

+) Tứ phân vị: $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $n = f_{1} + f_{2} + . . . + f_{m}$

Bước 2: $Q_{2}$ là trung vị của mẫu số liệu trên.

$Q_{1}$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ)

$Q_{3}$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ)

+) Mốt $M_{o}$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)

Lời giải:

+) Số trung bình: $\bar{x} = \frac{0.10 + 1.30 + 2.40 + 3.20}{100} = 1, 7$

+) Tứ phân vị: $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $\underset{10}{\underset{⏟}{0, . . ., 0}}, \underset{30}{\underset{⏟}{1, . . ., 1}}, \underset{40}{\underset{⏟}{2, . . ., 2}}, \underset{20}{\underset{⏟}{3, . . ., 3}} .$

Bước 2: Vì $n = 100$ , là số chẵn nên $Q_{2} = \frac{1}{2} (2 + 2) = 2$

$Q_{1}$ là trung vị của nửa số liệu: $\underset{10}{\underset{⏟}{0, . . ., 0}}, \underset{30}{\underset{⏟}{1, . . ., 1}}, \underset{10}{\underset{⏟}{2, . . ., 2}} .$ Do đó $Q_{1} = \frac{1}{2} (1 + 1) = 1$

$Q_{3}$ là trung vị của nửa số liệu $\underset{30}{\underset{⏟}{2, . . ., 2}}, \underset{20}{\underset{⏟}{3, . . ., 3}} .$ Do đó $Q_{3} = \frac{1}{2} (2 + 2) = 2$

+) Mốt $M_{o} = 2$

Bài 4 trang 118 Toán lớp 10: Trong một cuộc thi nghề, người ta ghi lại thời gian hoàn thành một sản phẩm của một số thí sinh ở bảng sau:

Trong một cuộc thi nghề, người ta ghi lại thời gian hoàn thành một sản phẩm

a) Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của thời gian thi nghề của các thí sinh trên.

b) Năm ngoái, thời gian thi của các thí sinh có số trung bình và trung vị đều bằng 7. Bạn hãy so sánh thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm.

Lời giải:

+) Số trung bình: $\bar{x} = \frac{1.5 + 3.6 + 5.7 + 2.8 + 1.35}{1 + 3 + 5 + 2 + 1} = 9, 08$

+) Tứ phân vị: $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 35$

Bước 2: Vì $n = 12$ , là số chẵn nên $Q_{2} = \frac{1}{2} (7 + 7) = 7$

$Q_{1}$ là trung vị của nửa số liệu: $5, 6, 6, 6, 7, 7$ Do đó $Q_{1} = \frac{1}{2} (6 + 6) = 6$

$Q_{3}$ là trung vị của nửa số liệu $7, 7, 7, 8, 8, 35$ Do đó $Q_{3} = \frac{1}{2} (7 + 8) = 7, 5$

+) Mốt $M_{o} = 7$

+) Nếu so sánh số trung bình: 9,08 > 7 do đó thời gian thi nói chung của các thí sinh trong năm nay là lớn hơn so với năm trước.

+) Nếu so sánh trung vị: Trung vị của hai năm đều bằng 7 do đó thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm là như nhau.

Do có 1 thí sinh có thời gian thi lớn hơn hẳn so với các thí sinh khác => nên so sánh theo trung vị.

Bài 5 trang 118 Toán lớp 10: Bác Dũng và bác Thu ghi lại số cuộc điện thoại mà mỗi người gọi mỗi ngày trong 10 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên từ tháng 01/2021 ở bảng sau:

Bác Dũng và bác Thu ghi lại số cuộc điện thoại mà mỗi người gọi mỗi ngày

a) Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của số cuộc điện thoại mà mỗi bác gọi theo số liệu trên.

b) Nếu so sánh theo số trung bình thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?

c) Nếu so sánh theo số trung vị thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?

Phương pháp giải:

a) Cho bảng số liệu:

Giá trị	$x_{1}$	$x_{2}$	…	$x_{m}$
Tần số	$f_{1}$	$f_{2}$	…	$f_{m}$

+) Số trung bình: $\bar{x} = \frac{x_{1} . f_{1} + x_{2} . f_{2} + . . . + x_{m} . f_{m}}{f_{1} + f_{2} + . . . + f_{m}}$

+) Tứ phân vị: $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $n = f_{1} + f_{2} + . . . + f_{m}$

Bước 2: $Q_{2}$ là trung vị của mẫu số liệu trên.

$Q_{1}$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ)

$Q_{3}$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ)

+) Mốt $M_{o}$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)

d) So sánh:

+) Nếu các số liệu không có một giá trị nào quá lớn hoặc quá nhỏ => so sánh số trung bình.

+) Nếu các số liệu có một giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ => so sánh trung vị.

Lời giải:

a) Bác Dũng:

+) Số trung bình: $\bar{x} = \frac{2 + 7 + 3 + 6 + 1 + 4 + 1 + 4 + 5 + 1}{10} = 3, 4$

+) Tứ phân vị: $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $1, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7$

Bước 2: Vì $n = 10$ , là số chẵn nên $Q_{2} = \frac{1}{2} (3 + 4) = 3, 5$

$Q_{1}$ là trung vị của nửa số liệu: $1, 1, 1, 2, 3$ Do đó $Q_{1} = 1$

$Q_{3}$ là trung vị của nửa số liệu $4, 4, 5, 6, 7$ Do đó $Q_{3} = 5$

+) Mốt $M_{o} = 1$

Bác Thu

+) Số trung bình: $\bar{x} = \frac{1 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + 1 + 2 + 20 + 2}{10} = 3, 9$

+) Tứ phân vị: $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 20$

Bước 2: Vì $n = 10$ , là số chẵn nên $Q_{2} = \frac{1}{2} (2 + 2) = 2$

$Q_{1}$ là trung vị của nửa số liệu: $1, 1, 1, 2, 2$ Do đó $Q_{1} = 1$

$Q_{3}$ là trung vị của nửa số liệu $2, 3, 3, 4, 20$ Do đó $Q_{3} = 3$

+) Mốt $M_{o} = 1, M_{o} = 2$

b) Do 3,9 > 3,4 nên theo số trung bình thì bác Thu có nhiều cuộc điện thoại hơn.

c) Do 3,5 > 2 nên theo số trung vị thì bác Dũng có nhiều cuộc điện thoại hơn.

d) Vì trong mẫu số liệu có một ngày bác Thu có tới 20 cuộc điện thoại, lớn hơn nhiều so với các ngày khác, do đó ta nên so sánh theo số trung vị.

Giải toán lớp 10 trang 119 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 6 trang 119 Toán lớp 10: Tổng số điểm mà các thành viên đội tuyển Olympic Toán quốc tế (IMO) của Việt Nam đạt được trong 20 kì thi được cho ở bảng sau:

Tổng số điểm mà các thành viên đội tuyển Olympic Toán quốc tế (IMO) của Việt Nam

Có ý kiến cho rằng điểm thi của đội tuyển giai đoạn 2001 – 2010 cao hơn giai đoạn 2011 – 2020. Hãy sử dụng số trung bình và trung vị để kiểm nghiệm xem ý kiến trên có đúng không?

Phương pháp giải:

+) Số trung bình: $\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n}$

+) Trung vị: $M_{e}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n}$

Bước 2: Tình trung vị: $M_{e} = {\begin{cases} X_{k + 1} (n = 2 k + 1) \\ \frac{1}{2} (X_{k} + X_{k + 1}) (n = 2 k) \end{cases}$

Lời giải:

+) Giai đoạn 2001 – 2010

Số trung bình $\bar{x} = \frac{139 + 166 + 172 + 196 + 143 + 131 + 168 + 159 + 161 + 133}{10} = 156, 8$

Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: $131, 133, 139, 143, 159, 161, 166, 168, 172, 196$

Do $n = 10$ , là số chẵn nên trung vị là: $M_{e} = \frac{1}{2} (159 + 161) = 160$

+) Giai đoạn 2011 – 2020

Số trung bình $\bar{x} = \frac{150 + 177 + 148 + 155 + 151 + 151 + 157 + 180 + 148 + 113}{10} = 153$

Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: $113, 148, 148, 150, 151, 151, 155, 157, 177, 180$

Do $n = 10$ , là số chẵn nên trung vị là: $M_{e} = \frac{1}{2} (151 + 151) = 151$

+) So sánh theo số trung bình hay số trung vị ta đều thấy điểm thi của đổi tuyển giai đoạn 2001 – 2010 cao hơn giai đoạn 2011 – 2020.

Vậy ý kiến trên là đúng.

Bài 7 trang 119 Toán lớp 10: Kết quả bài kiểm tra giữa kì của các bạn học sinh lớp 10A, 10B, 10C được thống kê ở các biểu đồ dưới đây.

Kết quả bài kiểm tra giữa kì của các bạn học sinh lớp 10A, 10B, 10C

a) Hãy lập bảng thống kê số lượng học sinh theo điểm số ở mỗi lớp.

b) Hãy so sánh điểm số của học sinh các lớp đó theo số trung bình, trung vị và mốt.

Phương pháp giải:

+) Số trung bình: $\bar{x} = \frac{x_{1} . f_{1} + x_{2} . f_{2} + . . . + x_{m} . f_{m}}{f_{1} + f_{2} + . . . + f_{m}}$

+) Trung vị: $M_{e}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n}$

Bước 2: Tình trung vị: $M_{e} = {\begin{cases} X_{k + 1} (n = 2 k + 1) \\ \frac{1}{2} (X_{k} + X_{k + 1}) (n = 2 k) \end{cases}$

+) Mốt $M_{o}$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)

Lời giải:

a) Lập bảng thống kê số lượng học sinh theo điểm số:

Lớp 10A

Điểm số	5	6	7	8	9	10
Số học sinh	1	4	5	8	14	8

Lớp 10B

Điểm số	5	6	7	8	9	10
Số học sinh	4	6	10	10	6	4

Lớp 10C

Điểm số	5	6	7	8	9	10
Số học sinh	1	3	17	11	6	2

+ Lớp 10A:

Cỡ mẫu là: 1 + 4 + 5 + 8 + 14 + 8 = 40.

Số trung bình: $\frac{1.5 + 4.6 + 5.7 + 8.8 + 14.9 + 8.10}{40} = 8, 35$ .

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

5; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10.

a) 23; 41; 71; 29; 48; 45; 72; 41.

b) 12; 32; 93; 78; 24; 12; 54; 66; 78.

Lý thuyết Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

1. Số trung bình

1.1. Công thức tính số trung bình

• Giả sử ta có một mẫu số liệu là x₁, x₂, …, x_n.

Số trung bình (hay số trung bình cộng) của mẫu số liệu này, kí hiệu là $\bar{x}$ , được tính bởi công thức

$\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}}{n}$ .

• Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số

Giá trị	x₁	x₂	…	x_k
Tần số	n₁	n₂	…	n_k

Khi đó, công thức tính số trung bình trở thành

$\bar{x} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + ... + n_{k} x_{k}}{n}$ .

Trong đó n = n₁ + n₂ + … + n_k. Ta gọi n là cỡ mẫu.

Chú ý: Nếu kí hiệu $f_{k} = \frac{n_{k}}{n}$ là tần số tương đối (hay còn gọi là tần suất) của x_k trong mẫu số liệu thì số trung bình còn có thể biểu diễn là: $\bar{x} = f_{1} x_{1} + f_{2} x_{2} + ... + f_{k} x_{k}$ .

Ví dụ: Điểm số bài thực hành môn Toán của các bạn học sinh trong nhóm A là 10; 5; 7; 9; 8; 6, còn của các bạn nhóm B là 9; 9; 8; 7; 6; 8. Tính điểm trung bình của mỗi nhóm.

Hướng dẫn giải

Điểm trung bình của nhóm A là: $\frac{1}{6} (10 + 5 + 7 + 9 + 8 + 6) = 7, 5$ .

Điểm trung bình của nhóm B là: $\frac{1}{6} (9 + 9 + 8 + 7 + 6 + 8) \approx 7, 83$ .

1.2.Ý nghĩa của số trung bình

Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó là một số đo xu thế trung tâm của mẫu đó.

Ví dụ: Ở trong Ví dụ thuộc phần 1.1. trên, ta thấy điểm số trung bình của nhóm B cao hơn nhóm A (7,83 > 7,5), ta có thể nói rằng thành tích thực hành của nhóm B tốt hơn nhóm A.

2. Trung vị và tứ phân vị

2.1. Trung vị

2.1.1 Định nghĩa và cách tính số trung vị

Khi các số liệu trong mẫu số liệu chênh lệch nhau quá lớn, ta dùng một đặc trưng khác của mẫu số liệu, gọi là trung vị để so sánh các mẫu số liệu với nhau.

Trung vị được định nghĩa như sau:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n.

Trung vị của mẫu, kí hiệu là M_e, là giá trị ở chính giữa dãy x₁, x₂, …, x_n. Cụ thể:

- Nếu n = 2k + 1, (tức n là số tự nhiên lẻ), thì trung vị của mẫu M_e = x_{k + 1}.

- Nếu n = 2k, (tức n là số tự nhiên chẵn), thì trung vị của mẫu M_e = $\frac{1}{2} (x_{k} + x_{k + 1})$ .

Ví dụ: Tính các trung vị của điểm thực hành môn Toán của các bạn học sinh trong nhóm A và nhóm B trong Ví dụ thuộc phần 1.1.

Hướng dẫn giải

+ Sắp xếp điểm số của mỗi bạn trong nhóm A theo thứ tự không giảm, ta được:

5; 6; 7; 8; 9; 10

Vì cỡ mẫu bằng 6 nên trung vị của nhóm A là trung bình cộng của số liệu thứ 3 và thứ 4 của dãy trên, tức là M_e = $\frac{1}{2} (7 + 8) = 7, 5$ .

+ Sắp xếp điểm số của mỗi bạn trong nhóm B theo thứ tự không giảm, ta được:

6; 7; 8; 8; 9; 9

Vì cỡ mẫu bằng 6 nên trung vị của nhóm B là trung bình cộng của số liệu thứ 3 và thứ 4 của dãy trên, tức là M_e = $\frac{1}{2} (8 + 8) = 8$ .

2.1.2 Ý nghĩa của số trung vị

Trung vị được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu. Trung vị là giá trị nằm ở chính giữa của mẫu số liệu theo nghĩa: luôn có ít nhất 50% số liệu trong mẫu lớn hơn hoặc bằng trung vị và ít nhất 50% số liệu trong mẫu nhỏ hơn hoặc bằng trung vị. Khi trong mẫu xuất hiện thêm một giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ thì số trung bình sẽ bị thay đổi đáng kể nhưng trung vị thì ít thay đổi.

Ví dụ: Bảng sau thống kê số sách mỗi bạn học sinh Tổ 1 và Tổ 2 đã đọc ở thư viện trường trong một tháng:

a) Trung bình mỗi bạn Tổ 1 và mỗi bạn Tổ 2 đọc bao nhiêu quyển sách ở thư viện trường trong tháng đó?

b) Em hãy thảo luận với các bạn trong nhóm xem tổ nào chăm đọc sách ở thư viện hơn.

Hướng dẫn giải

a) Trung bình mỗi bạn Tổ 1 đọc số quyển sách ở thư viện trong tháng trên là:

$\frac{3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 3 + 25 + 1}{9} = \frac{40}{9} \approx 4, 4$ .

Trung bình mỗi bạn Tổ 2 đọc số quyển số ở thư viện trong tháng trên là:

$\frac{4 + 5 + 4 + 3 + 3 + 4 + 5 + 4}{8} = \frac{32}{8} = 4$ .

b) Vì 4,4 > 4 nên theo số trung bình, các bạn Tổ 1 đọc sách chăm hơn.

Nếu dựa vào số trung bình để đánh giá xem tổ nào chăm đọc sách hơn trong bài này thì không phù hợp, do có một số liệu trong mẫu số liệu của Tổ 1 quá lớn so với các số liệu còn lại. Ta sử dụng trung vị để so sánh độ chăm học giữa hai tổ.

+ Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm của Tổ 1:

1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 25

Vì cỡ mẫu n₁ = 9 là số lẻ, nên trung vị của mẫu số liệu Tổ 1 là M_e1 = 2.

+ Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm của Tổ 2:

3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5

Vì cỡ mẫu n₂ = 8 là số chẵn, nên trung vị của mẫu số liệu Tổ 2 là M_e2 = $\frac{1}{2} (4 + 4) = 4$ .

Do đó ta có: M_e2 > M_e1.

Vậy theo trung vị, các bạn Tổ 2 chăm đọc sách ở thư viện hơn Tổ 1.

2.2. Tứ phân vị

• Trung vị chia mẫu thành hai phần. Trong thực tế người ta cũng quan tâm đến trung vị của mỗi phần đó. Ba trung vị này được gọi là tứ phân vị của mẫu.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n.

Tứ phân vị của một mẫu số liệu gồm ba giá trị, gọi là tứ phân vị thứ nhất, thứ hai và thứ ba (lần lượt kí hiệu là Q₁, Q₂, Q₃). Ba giá trị này chia tập hợp dữ liệu đã sắp xếp thành bốn phần đều nhau. Cụ thể:

- Giá trị tứ phân vị thứ hai, Q₂, chính là số trung vị của mẫu.

- Giá trị tứ phân vị thứ nhất, Q₁, là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ).

- Giá trị tứ phân vị thứ ba, Q₃, là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ).

• Ý nghĩa của tứ phân vị

Các điểm tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃ chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành bốn phần, mỗi phần chia khoảng 25% tổng số liệu đã thu thập được.

Tứ phân vị thứ nhất Q₁ còn được gọi là tứ phân vị dưới và đại diện cho nửa mẫu số liệu phía dưới. Tứ phân vị thứ ba Q₃, còn được gọi là tứ phân vị trên và đại diện cho nửa mẫu số liệu ở phía trên.

Ví dụ: Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu sau: 3; 5; 6; 13; 25; 17; 19.

Hướng dẫn giải

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

3; 5; 6; 13; 17; 19; 25.

Vì cỡ mẫu n = 7, là số lẻ, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 13.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 3; 5; 6. Do đó Q₁ = 5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 17; 19; 25. Do đó Q₃ = 19.

3. Mốt

Cho mẫu số liệu dưới dạng bảng tần số. Giá trị có tần số lớn nhất được gọi là mốt của mẫu số liệu và kí hiệu là M_o.

Ý nghĩa của mốt: Mốt đặc trưng cho giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu.

Chú ý: Một mẫu số liệu có thể có rất nhiều mốt. Khi tất cả các giá trị trong mẫu số liệu có tần số xuất hiện bằng nhau thì mẫu số liệu đó không có mốt.

Ví dụ: Cho mẫu số liệu: