30 bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng đặt nhân tử chung có đáp án
Lớp 8Toán

30 bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng đặt nhân tử chung có đáp án

Trả lời nhanh

Đặt nhân tử chung dựa trên tính chất phân phối A·B + A·C = A·(B + C). Cách làm: tìm ƯCLN của các hệ số, lấy mỗi biến chung với số mũ nhỏ nhất, đổi dấu khi cần (A − B = −(B − A)) để lộ nhân tử chung, rồi chia từng hạng tử cho nhân tử đó. Bài viết gồm 30 bài tập chia 5 dạng: phân tích, tính nhanh, tính giá trị, tìm x, chứng minh chia hết, đều có đáp án.

Phương pháp đặt nhân tử chung trong 4 bước

Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức thành một tích của những đa thức. Đặt nhân tử chung là phương pháp đầu tiên cần thử, trước cả hằng đẳng thức hay nhóm hạng tử.

  1. Hệ số: tìm ƯCLN của các hệ số (lấy giá trị tuyệt đối).
  2. Phần biến: lấy các biến có mặt trong mọi hạng tử, mỗi biến với số mũ nhỏ nhất.
  3. Đổi dấu nếu cần: nhận ra (5 − x) = −(x − 5), (3 − y)2 = (y − 3)2.
  4. Chia và kiểm tra: chia từng hạng tử cho nhân tử chung để được ngoặc còn lại; nhân ngược lại để kiểm tra.
Mô hình diện tích minh hoạ phân tích đa thức thành nhân tử bằng đặt nhân tử chung
Hình 1. Mô hình diện tích của phép đặt nhân tử chung a·b + a·c = a·(b + c).

Hình chữ nhật giúp em nhớ bản chất: hai hình chữ nhật cùng chiều cao a ghép lại thành một hình chữ nhật chiều cao a, chiều dài b + c. Nhân tử chung chính là “cạnh chung”.

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử (13 bài)

Bài Đa thức Kết quả Ghi chú
1 6x + 9 3(2x + 3) ƯCLN(6; 9) = 3
2 5x2 − 15x 5x(x − 3) Lấy x với số mũ nhỏ nhất là 1
3 4x3y − 8x2y2 + 12xy3 4xy(x2 − 2xy + 3y2) Cả x và y đều chung
4 −7a2b − 14ab2 −7ab(a + 2b) Đặt cả dấu trừ ra ngoài cho gọn
5 x(y − 2) + 3(y − 2) (y − 2)(x + 3) Nhân tử chung là cả một đa thức
6 2a(x − 5) − b(5 − x) (x − 5)(2a + b) −b(5 − x) = +b(x − 5)
7 3x(x − 1)2 − 6x2(x − 1) −3x(x − 1)(x + 1) Ngoặc còn lại: x − 1 − 2x = −x − 1
8 (2x + 1)2 − 4(2x + 1) (2x + 1)(2x − 3) Rút gọn 2x + 1 − 4
9 (2/5)x2 − (4/5)x (2/5)x(x − 2) Hệ số phân số vẫn đặt chung được
10 a3b2c − a2b3c + a2b2c2 a2b2c(a − b + c) Ba biến đều chung
11 9x(y − 3)2 + 6x2(3 − y) 3x(y − 3)(3y − 9 − 2x) Đổi 3 − y = −(y − 3)
12 (x + 2)(x − 3) − (x + 2)2 −5(x + 2) Ngoặc còn lại: x − 3 − x − 2 = −5
13 12x2y − 18xy2 − 30y2 6y(2x2 − 3xy − 5y) Hạng tử cuối không chứa x nên x không chung

Giải chi tiết bài 7 (bài hay sai nhất): nhân tử chung của 3x(x − 1)2 và 6x2(x − 1) là 3x(x − 1). Chia: 3x(x − 1)2 : 3x(x − 1) = x − 1; 6x2(x − 1) : 3x(x − 1) = 2x. Vậy đa thức bằng 3x(x − 1)(x − 1 − 2x) = 3x(x − 1)(−x − 1) = −3x(x − 1)(x + 1).

Giải chi tiết bài 11: 6x2(3 − y) = −6x2(y − 3). Nhân tử chung là 3x(y − 3), ta được 3x(y − 3)[3(y − 3) − 2x] = 3x(y − 3)(3y − 9 − 2x).

Dạng 2: Tính nhanh (5 bài)

Ý tưởng: tìm thừa số lặp lại, đặt ra ngoài để phần trong ngoặc thành số tròn.

  1. 37·64 + 37·36 = 37·(64 + 36) = 37·100 = 3700.
  2. 2,6·85 + 26·1,5 = 2,6·85 + 2,6·15 = 2,6·100 = 260 (viết 26·1,5 = 2,6·15).
  3. 54·999 + 54 = 54·(999 + 1) = 54 000 (nhớ 54 = 54·1).
  4. 12,5·47 − 12,5·7 = 12,5·40 = 500.
  5. 81·35 + 81·75 − 81·10 = 81·(35 + 75 − 10) = 81·100 = 8100.

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức (4 bài)

Phân tích trước, thay số sau: tích thường dễ tính hơn nhiều so với tổng.

  1. A = x(x − y) + y(y − x) tại x = 53, y = 3. Ta có A = x(x − y) − y(x − y) = (x − y)2 = 502 = 2500.
  2. B = 5x(x − 1000) − x + 1000 tại x = 1001. B = 5x(x − 1000) − (x − 1000) = (x − 1000)(5x − 1) = 1·5004 = 5004.
  3. C = 2x(y − 5) − 3y(5 − y) tại x = 1, y = 6. C = (y − 5)(2x + 3y) = 1·(2 + 18) = 20.
  4. D = x2(y − 1) + 4(1 − y) tại x = 12, y = 11. D = (y − 1)(x2 − 4) = 10·140 = 1400.

Dạng 4: Tìm x (5 bài)

Đưa về dạng A·B = 0 rồi dùng tính chất: tích bằng 0 khi một trong các thừa số bằng 0. Tuyệt đối không chia hai vế cho biểu thức chứa x vì sẽ làm mất nghiệm.

  1. 3x2 − 12x = 0 ⇔ 3x(x − 4) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4.
  2. x(x − 5) − 2(5 − x) = 0 ⇔ (x − 5)(x + 2) = 0 ⇔ x = 5 hoặc x = −2.
  3. 5x(x − 3) = x − 3 ⇔ (x − 3)(5x − 1) = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = 1/5. Nếu chia hai vế cho x − 3 sẽ mất nghiệm x = 3.
  4. (2x − 1)2 − 3(2x − 1) = 0 ⇔ (2x − 1)(2x − 4) = 0 ⇔ x = 1/2 hoặc x = 2.
  5. 4x3 = 6x2 ⇔ 2x2(2x − 3) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3/2.

Dạng 5: Chứng minh chia hết (3 bài)

Đặt lũy thừa có số mũ nhỏ nhất làm nhân tử chung, phần còn lại là một số cụ thể chứa ước cần tìm.

  1. Chứng minh 7n+2 + 7n chia hết cho 50 với mọi số tự nhiên n. Giải: 7n+2 + 7n = 7n(49 + 1) = 50·7n chia hết cho 50.
  2. Chứng minh 3n+3 − 3n+1 chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n. Giải: 3n+3 − 3n+1 = 3n+1(9 − 1) = 8·3·3n = 24·3n chia hết cho 24.
  3. Chứng minh n2(n + 1) + 2n(n + 1) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. Giải: biểu thức bằng n(n + 1)(n + 2), là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, mà ƯCLN(2; 3) = 1 nên chia hết cho 6.

Lỗi sai thường gặp và cách tránh

  • Quên số 1: 54·999 + 54 phải viết 54(999 + 1), không phải 54·999. Khi cả hạng tử là nhân tử chung, trong ngoặc còn lại 1.
  • Đổi dấu sai: −b(5 − x) bằng +b(x − 5), nhiều bạn giữ nguyên dấu trừ. Nhớ: đổi dấu trong ngoặc thì đổi dấu đằng trước.
  • Đặt chưa “hết”: 4x2 − 8x viết 4(x2 − 2x) chưa xong vì trong ngoặc vẫn còn x chung; kết quả đúng là 4x(x − 2).
  • Lấy số mũ lớn nhất: nhân tử chung lấy số mũ nhỏ nhất, vì phải chia hết cho mọi hạng tử.
  • Chia hai vế khi tìm x: làm mất nghiệm; luôn chuyển vế rồi đặt nhân tử chung.

Khi đã vững đặt nhân tử chung, em học tiếp bài tập phân tích bằng hằng đẳng thức và bài tập nhóm hạng tử; muốn luyện tốc độ thì làm 32 câu trắc nghiệm đặt nhân tử chung.

Câu hỏi thường gặp

Phương pháp đặt nhân tử chung là gì?

Là cách phân tích đa thức thành nhân tử dựa trên tính chất A·B + A·C = A·(B + C): tìm nhân tử A có mặt trong mọi hạng tử rồi đưa ra ngoài dấu ngoặc.

Làm sao tìm đúng nhân tử chung của đa thức?

Lấy ƯCLN của các hệ số nhân với các biến có mặt trong mọi hạng tử, mỗi biến lấy số mũ nhỏ nhất; nếu có các ngoặc đối nhau như (x − 5) và (5 − x) thì đổi dấu trước.

Khi nào phải đổi dấu để đặt nhân tử chung?

Khi hai hạng tử chứa hai biểu thức đối nhau, ví dụ (a − b) và (b − a). Dùng a − b = −(b − a); riêng lũy thừa bậc chẵn thì (a − b)² = (b − a)², không cần đổi dấu.

Tìm x bằng đặt nhân tử chung có được chia hai vế không?

Không nên, vì chia cho biểu thức chứa x có thể làm mất nghiệm. Hãy chuyển hết về một vế, đặt nhân tử chung để được A·B = 0 rồi xét từng thừa số.

Bài học liên quan