Với giải Hoạt động khám phá 2 trang 72 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 2: Giới hạn của hàm số giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Hoạt động khám phá 2 trang 72 Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số y = f(x) = 2x và y = g(x) = $\frac{x}{x+1}$.

a) Giả sử (x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn x_n ≠ – 1 với mọi n và x_n → 1 khi n → +∞. Tìm giới hạn lim[f(x_n) + g(x_n)].

b) Từ đó, tìm giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\text{[}f\left(x\right)+g\left(x\right)\text{]}$, và so sánh với $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$.

Lời giải:

+) Hàm số y = f(x) = 2x xác định trên $ℝ$.

Dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn x_n ≠ – 1 với mọi n và x_n → 1 khi n → +∞, ta có:

limf(x_n) = lim(2x_n) = 2.limx_n = 2.1 = 2.

Suy ra$\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ = 2.

+) Hàm số y = g(x) = $\frac{x}{x+1}$ xác định trên ℝ \ {2}.

Dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn x_n ≠ – 1 với mọi n và x_n → 1 khi n → +∞, ta có:

limg(x_n) =$\lim \frac{x_n}{x_n+1}=\frac{1}{2}$.

Suy ra $\underset{x\to -1}{\lim }g\left(x\right)=\frac{1}{2}$.

a) Ta có: lim[f(x_n) + g(x_n)] = limf(x_n) + limg(x_n) = $2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$.

b) Ta có $\text{lim[}f\left(x_n\right)+g\left(x_n\right)\text{]=}\frac{5}{2}$ nên $\underset{x\to 1}{\lim }\text{[}f\left(x\right)+g\left(x\right)\text{]=}\frac{5}{2}$.

Ta lại có: $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$.

Vì vậy $\underset{x\to 1}{\lim }\text{[}f\left(x\right)+g\left(x\right)\text{]=}\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$.

Lý thuyết Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

a, Nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ và $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=M$ thì

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f(x)\pm g(x)\right]=L\pm M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f(x).g(x)\right]=L.M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{L}{M}\left(M\ne 0\right)$

b, Nếu $f(x)\ge 0$ với mọi $x\in \left(a;b\right)\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$ và $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ thì $L\ge 0$và $\underset{x\to x_0}{lim}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$.

* Nhận xét:

$\begin{array}{l}a,\underset{x\to x_0}{lim}{x}^k={x_0}^k,k\in {\mathbb{Z}}^{+}.\\ b,\underset{x\to x_0}{lim}\left[c.f(x)\right]=c.\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\end{array}$

($c\in \mathbb{R}$, nếu tồn tại $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\in \mathbb{R}$)