Với giải HĐ Khám phá 3 trang 70 Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 2: Định lí cosin và định lí sin học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Định lí cosin và định lí sin

HĐ Khám phá 3 trang 70 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC như Hình 10.

a) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo a và $h_a$

b) Tính $h_a$ theo b và sinC.

c) Dùng hai kết quả trên để chứng minh công thức $S=\frac{1}{2}ab\sin C$

d) Dùng định lí sin và kết quả ở câu c) để chứng minh công thức $S=\frac{abc}{4R}$

Lời giải:

a) Diện tích S của tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}a.h_a$

b) Xét tam giác vuông AHC ta có:  $\sin C=\frac{AH}{AC}=\frac{h_a}{b}$

$\Rightarrow h_a=b.\sin C$

c) Thay $h_a=b.\sin C$ vào công thức diện tích, ta được: $S=\frac{1}{2}ab\sin C$

d) Theo định lí sin ta có: $\frac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow \sin C=\frac{c}{2R}$

Thay vào công thức ở c) ta được: $S=\frac{1}{2}ab\frac{c}{2R}=\frac{abc}{4R}.$

Lý thuyết Các công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC. Ta kí hiệu:

+) BC = a, CA = b, AB = c.

+) h_a, h_b, h_c là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB.

+) R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

+) r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

+) p là nửa chu vi tam giác.

+) S là diện tích tam giác.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác sau:

(1) $S=\frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c;$ 

(2)$S=\frac{1}{2}ab.\sin C=\frac{1}{2}bc.\sin A=\frac{1}{2}ac.\sin B;$ 

(3) $S=\frac{abc}{4R};$ 

(4) S = pr;

(5) $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$ (Công thức Heron).

Ví dụ 3. Tính diện tích S của tam giác ABC, bán kính đường tròn nội tiếp r và bán kính đường tròn ngoại tiếp R (nếu chưa biết) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba) trong các trường hợp sau:

a) $\widehat{A}=30°,\widehat{B}=45°,R=3$;

b) AB = 10, AC = 17, BC = 21.

Hướng dẫn giải

a)

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=30°,\widehat{B}=45°$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}$ 

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-30°-45°=105°$

Theo hệ quả định lí sin ta có:

+) BC = 2.R.sinA = 2.3.sin30° = $6.\frac{1}{2}$ = 3;

+) AC = 2.R.sinB = 2.3.sin45° = $6.\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2};$ 

 +) AB = 2.R.sinC = 2.3.sin105° ≈ 5,796.

Theo công thức tính diện tích tam giác ta có:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A\approx \frac{1}{2}.5,796.3\sqrt{2}.\sin 30°\approx 6,148$  (đơn vị diện tích)

Ta có nửa chu vi tam giác ABC là:

$p=\frac{AB+BC+AC}{2}\approx \frac{5,796+3+3\sqrt{2}}{2}\approx 6,519.$  

Mà S_ABC = pr $\Rightarrow r=\frac{S_{ABC}}{p}\approx \frac{6,148}{6,519}\approx 0,943.$

Vậy S_ABC ≈ 6,148 (đơn vị diện tích) và r ≈ 0,943.

b) Nửa chu vi tam giác ABC là:

$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{10+17+21}{2}=24$ 

Áp dụng công thức Heron ta có:

$S_{ABC}=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}$ 

$S_{ABC}=\sqrt{24.\left(24-10\right).\left(24-17\right).\left(24-21\right)}=84$ (đơn vị diện tích)

Mà S_ABC = pr $\Rightarrow r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{84}{24}=3,5$ 

Lại có $S_{ABC}=\frac{AB.AC.BC}{4R}\Rightarrow R=\frac{AB.AC.BC}{4S}=\frac{\mathrm{10.17.21}}{4.84}=10,625$.

Vậy S = 84 (đơn vị diện tích) và r = 3,5; R = 10,625.

Xem thêm các bài giải Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

HĐ Khởi động trang 65 Toán lớp 10: Làm thế nào để tính độ dài cạnh chưa biết của hai tam giác dưới đây?...

HĐ Khám phá 1 trang 66 Toán lớp 10: a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và $\hat{C}\ge \hat{B}$ Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1...

Thực hành 1 trang 67 Toán lớp 10:Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong hình 4...

Vận dụng 1 trang 67 Toán lớp 10: Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc $70°$ (Hình 5)...

HĐ Khám phá 2 trang 67 Toán lớp 10: a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông có BC=a, AC=b, AB=c và R là bán kính của đường trong ngoại tiếp tam giác đó. Vẽ đường kính BD...

Thực hành 2 trang 69 Toán lớp 10: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong Hình 8...

Vận dụng 2 trang 69 Toán lớp 10: Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một tháp canh và hai bồn chứa nước A, B để phòng hỏa hoạn. Từ tháp canh, người ta phát hiện đám cháy và số liệu đưa về như Hình 9. Nên dẫn nước từ bồn chứa A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn?...

HĐ Khám phá 4 trang 70 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và (I;r) là đường tròn nội tiếp tam giác (Hình 11)...

Thực hành 3 trang 71 Toán lớp 10: Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:...

Vận dụng 3 trang 72 Toán lớp 10: Tính diện tích một cánh buồm hình tam giác. Biết cách buồm đó có chiều dài một cạnh là 3,2 m và hai góc kề cách đó có số đo là $48°$ và $105°$ (Hình 12)...

Bài 1 trang 72 Toán lớp 10: Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau:...

Bài 2 trang 72 Toán lớp 10: Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở Hình 14...

Bài 3 trang 72 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 152, $\hat{B}=79°$, $\hat{C}=61°$. Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó...

Bài 4 trang 73 Toán lớp 10: Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc của tam giác đó...

Bài 5 trang 73 Toán lớp 10: Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90 cm và góc ở đỉnh là 35°...

Bài 6 trang 73 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và $\hat{A}=60°$...

Bài 7 trang 73 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là 15, 18, 27...

Bài 8 trang 73 Toán lớp 10: Cho ha là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh hệ thức ha = 2RsinBsinC...

Bài 9 trang 73 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao...

Bài 10 trang 73 Toán lớp 10: Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = x, BD = y và góc giữa AC và BD bằng α. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD...

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰

Bài 2: Định lí cosin và định lí sin

Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Khái niệm vecto