Giải SGK Toán 8 Bài 1 (Cánh diều): Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến

Admin Vietjack Ngày: 23-09-2024 Lớp 8

8.5 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến chi tiết sách Toán 8 Tập 1 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến

Video bài giải Toán 8 Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến - Cánh diều

Giải Toán 8 trang 5 Tập 1

Mở đầu trang 5 Toán 8 Tập 1: Biểu thức đại số $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} x y$ còn được gọi là gì?

Lời giải:

Biểu thức đại số $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2} x y$ còn được gọi là đa thức nhiều biến.

1. Đơn thức nhiều biến

HĐ1 trang 5 Toán 8 Tập 1: a) Viết biểu thức biểu thị:

- Diện tích của hình vuông có độ dài cạnh là x (cm)

- Diện tích hình chữ nhật có độ dài hai cạnh lần lượt là 2x (cm), 3y (cm)

- Thể tích của hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là x (cm), 2y (cm), 3z (cm).

b) Cho biết mỗi biểu thức trên gồm những số, biến và phép tính nào.

Lời giải:

a) – Biểu thức diện tích của hình vuông có độ dài cạnh là x (cm): $x . x (c m^{2})$

- Biểu thức diện tích hình chữ nhật có độ dài hai cạnh lần lượt là 2x (cm), 3y (cm): $2 x .3 y = 6 x y (c m^{2})$

- Biểu thức thể tích của hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là x (cm), 2y (cm), 3z (cm): $x .2 y .3 z = 6 x y z (c m^{3})$

b) - Biểu thức: $x . x (c m^{2})$ có số là 1; biến: x; phép tính nhân

- Biểu thức $2 x .3 y = 6 x y (c m^{2})$ có số là: 6; biến: x, y; phép tính nhân

- Biểu thức: $x .2 y .3 z = 6 x y z (c m^{3})$ có số là: 6; biến: x, y, z và phép tính nhân

Giải Toán 8 trang 6 Tập 1

Luyện tập vận dụng 1 trang 6 Toán 8 Tập 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức: $5 y; y + 3 z; \frac{1}{2} x^{3} y^{2} x^{2} z$

Lời giải:

Những biểu thức là đơn thức là: $5 y; \frac{1}{2} x^{3} y^{2} x^{2} z$ .

HĐ2 trang 6 Toán 8 Tập 1: Xét đơn thức $2 x^{3} y^{4}$ . Trong các đơn thức này, biến x, y được viết bao nhiêu lần dưới dạng một lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Lời giải:

Đơn thức $2 x^{3} y^{4}$ các biến x, y được viết một lần dưới dạng lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Luyện tập vận dụng 2 trang 6 Toán 8 Tập 1: Thu gọn mỗi đơn thức sau: $y^{3} y^{2} z$ ; $\frac{1}{3} x y^{2} x^{3} z$

Lời giải:

$y^{3} y^{2} z = y^{5} z$

$\frac{1}{3} x y^{2} x^{3} z = \frac{1}{3} x^{4} y^{2} z$

Giải Toán 8 trang 7 Tập 1

HĐ3 trang 7 Toán 8 Tập 1: Cho hai đơn thức: $2 x^{3} y^{4}$ và $- 3 x^{3} y^{4}$

a) Nêu hệ số của mỗi đơn thức trên.

b) So sánh phần biến của hai đơn thức trên

Lời giải:

a) Đơn thức: $2 x^{3} y^{4}$ có hệ số là 2

Đơn thức: $- 3 x^{3} y^{4}$ có hệ số là -3

b) Hai đơn thức $2 x^{3} y^{4}$ và $- 3 x^{3} y^{4}$ có cùng phần biến là: $x^{3} y^{4}$

Luyện tập vận dụng 3 trang 7 Toán 8 Tập 1: Chỉ ra các đơn thức đồng dạng trong mỗi trường hợp sau:

a) $x^{2} y^{4}; - 3 x^{2} y^{4}$ và $\sqrt{5} x^{2} y^{4}$

b) $- x^{2} y^{2} z^{2}$ và $- 2 x^{2} y^{2} z^{3}$

Lời giải:

a) Những đơn thức $x^{2} y^{4}; - 3 x^{2} y^{4}$ và $\sqrt{5} x^{2} y^{4}$ có hệ số khác 0 và có cùng phần biến nên chúng là những đơn thức đồng dạng.

b) Những đơn thức $- x^{2} y^{2} z^{2}$ và $- 2 x^{2} y^{2} z^{3}$ không có cùng phần biến nên chúng không phải là hai đơn thức đồng dạng.

HĐ4 trang 7 Toán 8 Tập 1: a) Tính tổng: $5 x^{3} + 8 x^{3}$

b) Nêu quy tắc cộng (hay trừ) hai đơn thức có cùng số mũ của biến:

$a x^{k} + b x^{k}; a x^{k} - b x^{k} (k \in N *)$

Lời giải:

a) $5 x^{3} + 8 x^{3} = (5 + 8) x^{3} = 13 x^{3}$

b) Quy tắc cộng (hay trừ) hai đơn thức có cùng số mũ của biến là: cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến: $a x^{k} + b x^{k} = (a + b) x^{k}; a x^{k} - b x^{k} = (a - b) x^{k} (k \in N *)$

Giải Toán 8 trang 8 Tập 1

Luyện tập vận dụng 4 trang 8 Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép tính:

$a) 4 x^{4} y^{6} + 2 x^{4} y^{6}$

$b) 3 x^{3} y^{5} - 5 x^{3} y^{5}$

Lời giải:

$a) 4 x^{4} y^{6} + 2 x^{4} y^{6} = (4 + 2) x^{4} y^{6} = 6 x^{4} y^{6}$

$b) 3 x^{3} y^{5} - 5 x^{3} y^{5} = (3 - 5) x^{3} y^{5} = - 2 x^{3} y^{5}$

2. Đa thức nhiều biến

HĐ5 trang 8 Toán 8 Tập 1: Cho biểu thức: $x^{2} + 2 x y + y^{2}$

a) Biểu thức trên có bao nhiêu biến?

b) Mỗi số hạng xuất hiện trong biểu thức có dạng như thế nào?

Lời giải:

a) Biểu thức: $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ có 2 biến là x, y.

b) Các số hạng của biểu thức là: $x^{2}; 2 x y; y^{2}$ đều có dạng là những đơn thức.

Luyện tập vận dụng 5 trang 8 Toán 8 Tập 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức: $y + 3 z + \frac{1}{2} y^{2} z; \frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}$

Lời giải:

Biểu thức: $y + 3 z + \frac{1}{2} y^{2} z$ là đa thức

Biểu thức: $\frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}$ không phải là đa thức

Giải Toán 8 trang 9 Tập 1

HĐ6 trang 9 Toán 8 Tập 1: Cho đa thức: $P = x^{3} + 2 x^{2} y + x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$

Thực hiện phép cộng các đơn thức đồng dạng sao cho đa thức P không còn hai đơn thức nào đồng dạng.

Lời giải:

Ta có: $\begin{array}{l} P = x^{3} + 2 x^{2} y + x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} \\ P = x^{3} + (2 x^{2} y + x^{2} y) + 3 x y^{2} + y^{3} \\ P = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} \end{array}$

Luyện tập vận dụng 6 trang 9 Toán 8 Tập 1: Thu gọn đa thức: $R = x^{3} - 2 x^{2} y - x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}$

Lời giải:

Ta có: $\begin{array}{l} R = x^{3} - 2 x^{2} y - x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} \\ R = x^{3} + (- 2 x^{2} y - x^{2} y) + 3 x y^{2} - y^{3} \\ R = x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} \end{array}$

HĐ7 trang 9 Toán 8 Tập 1: Cho đa thức: $P = x^{2} - y^{2}$ . Đa thức P được xác định bằng biểu thức nào? Tính giá trị của P tại x = 1; y = 1

Lời giải:

Đa thức P được xác định bằng biểu thức: $x^{2} - y^{2}$

Thay x = 1; y = 1 vào đa thức P ta được:

$P = 1^{2} - 1^{2} = 0$

Vậy đa thức P = 0 tại x = 1; y=1

Luyện tập vận dụng 7 trang 9 Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của đa thức: $Q = x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}$ tại x = 2; y = 1

Lời giải:

Thay x = 2; y = 1 vào đa thức Q ta được:

$Q = 2^{3} - {3.2}^{2} .1 + {3.2.1}^{3} - 1^{3} = 8 - 12 + 6 - 1 = 1$

Vậy đa thức Q = 1 tại x = 2; y = 1

Giải Toán 8 trang 10 Tập 1

Bài tập

Bài 1 trang 10 Toán 8 Tập 1: a) Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức:

$\frac{1}{5} x y^{2} z^{3}; 3 - 2 x^{3} y^{2} z; - \frac{3}{2} x^{4} y x z^{2}; \frac{1}{2} x^{2} (y^{3} - z^{3})$

b) Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức:

$2 - x + y; - 5 x^{2} y z^{3} + \frac{1}{3} x y^{2} z + x + 1; \frac{x - y}{x y^{2}}; \frac{1}{x} + 2 y - 3 z$

Lời giải:

a) Các biểu thức: $\frac{1}{5} x y^{2} z^{3}; - \frac{3}{2} x^{4} y x z^{2}$ là đơn thức

b) Các biểu thức: $2 - x + y; - 5 x^{2} y z^{3} + \frac{1}{3} x y^{2} z + x + 1; \frac{1}{x} + 2 y - 3 z$ là đa thức

Bài 2 trang 10 Toán 8 Tập 1: Thu gọn mỗi đơn thức sau:

a) $- \frac{1}{2} x^{2} y x y^{3}$

b) $0, 5 x^{2} y z x y^{3}$

Lời giải:

a) $- \frac{1}{2} x^{2} y x y^{3} = - \frac{1}{2} x^{3} y^{4}$

b) $0, 5 x^{2} y z x y^{3} = 0, 5 x^{3} y^{4} z$

Bài 3 trang 10 Toán 8 Tập 1: Chỉ ra các đơn thức đồng dạng trong mỗi trường hợp sau:

a) $x^{3} y^{5}; - \frac{1}{6} x^{3} y^{5}$ và $\sqrt{3} x^{3} y^{5}$

b) $x^{2} y^{3}$ và $x^{2} y^{7}$

Lời giải:

a) Các đơn thức: $x^{3} y^{5}; - \frac{1}{6} x^{3} y^{5}$ và $\sqrt{3} x^{3} y^{5}$ có phần hệ số khác 0 và có cùng phần biến là những đơn thức đồng dạng.

b) Các đơn thức: $x^{2} y^{3}$ và $x^{2} y^{7}$ không có cùng phần biến nên chúng không phải những đơn thức đồng dạng.

Bài 4 trang 10 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép tính:

a) $9 x^{3} y^{6} + 4 x^{3} y^{6} + 7 x^{3} y^{6}$

b) $9 x^{5} y^{6} - 14 x^{5} y^{6} + 5 x^{5} y^{6}$

Lời giải:

a) $9 x^{3} y^{6} + 4 x^{3} y^{6} + 7 x^{3} y^{6} = (9 + 4 + 7) x^{3} y^{6} = 20 x^{3} y^{6}$

b) $9 x^{5} y^{6} - 14 x^{5} y^{6} + 5 x^{5} y^{6} = (9 - 14 + 5) x^{5} y^{6} = 0$

Bài 5 trang 10 Toán 8 Tập 1: Thu gọn mỗi đa thức sau:

a) $A = 13 x^{2} y + 4 + 8 x y - 6 x^{2} y - 9$

b) $B = 4, 4 x^{2} y - 40, 6 x y^{2} + 3, 6 x y^{2} - 1, 4 x^{2} y - 26$

Lời giải:

a) $A = 13 x^{2} y + 4 + 8 x y - 6 x^{2} y - 9 = (13 x^{2} y - 6 x^{2} y) + 8 x y + 4 = 7 x^{2} y + 8 x y + 4$

b) $\begin{array}{l} B = 4, 4 x^{2} y - 40, 6 x y^{2} + 3, 6 x y^{2} - 1, 4 x^{2} y - 26 \\ B = (4, 4 x^{2} y - 1, 4 x^{2} y) + (- 40, 6 x y^{2} + 3, 6 x y^{2}) - 26 \\ B = 3 x^{2} y - 37 x y^{2} - 26 \end{array}$

Bài 6 trang 10 Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của mỗi đa thức sau:

a) $P = x^{3} y - 14 y^{3} - 6 x y^{2} + y + 2$ tại x =-1; y = 0,5

b) $Q = 15 x^{2} y - 5 x y^{2} + 7 x y - 21$ tại x = 0,2; y = -1,2

Lời giải:

a) Thay x = -1 , y=0,5 vào đa thức P ta được:

$\begin{array}{l} P = {(- 1)}^{3} .0, 5 - 14.0, 5^{3} - 6. (- 1) .0, 5 + 0, 5 + 2 \\ P = - 0, 5 - 1, 75 + 3 + 2, 5 = 3, 25 \end{array}$

Vậy đa thức P = 3,25 tại x = -1; y = 0,5

b) Thay x = 0,2; y = -1,2 vào đa thức Q ta được:

$\begin{array}{l} Q = 15.0, 2^{2} . (- 1, 2) - 5.0, 2. {(- 1, 2)}^{2} + 7.0, 2.1, 2 - 21 \\ P = - 0, 72 - 1, 44 + 1, 68 - 21 = - 21, 48 \end{array}$

Vậy Q = -21,48 tại x = 0,2; y = -1,2

Video bài giảng Toán 8 Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến Cánh diều

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến

Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến

Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 4: Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

Bài tập cuối chương 1

Lý thuyết Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến

1. Đơn thức nhiều biến

Đơn thức nhiều biến (hay đơn thức) là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Số 0 được gọi là đơn thức không.

Ví dụ: $1; 2 x y; - \frac{3}{4} x^{2} y (- 4 x); . . .$ là các đơn thức.

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm một số với các biến, mà mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương và chỉ được viết một lần.

Ví dụ:

$1; 2 x y; 5 x^{2} y^{4} z; . . .$ là các đơn thức thu gọn.

$3 x^{2} y x; - \frac{3}{4} x^{2} y (- 4 x); . . .$ không phải là các đơn thức thu gọn.

Trong một đơn thức thu gọn, phần số còn gọi là hệ số, phần còn lại gọi là phần biến.

Ví dụ: đơn thức $3 x^{3} . y$ có hệ số là 3, phần biến là $x^{3} . y$ .

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.

Ví dụ:

Hai đơn thức $5 x^{2} y^{4} z$ và $- \frac{1}{3} x^{2} y^{4} z$ có hệ số khác 0 và có cùng phần biến nên chúng là hai đơn thức đồng dạng.

Hai đơn thức $5 x^{2} y^{4} z$ và $5 x y^{2} z$ không có cùng phần biến nên chúng không phải là hai đơn thức đồng dạng.

Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng

Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} 2 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y^{2} = 6 x^{3} y^{2} \\ 4 a y^{2} - 3 a y^{2} = a y^{2} \end{array}$

2. Đa thức nhiều biến

Đa thức nhiều biến (hay đa thức) là một tổng của những đơn thức.

Chú ý: Mỗi đơn thức được gọi là một đa thức.

Ví dụ: $x^{2} - 4 x + 3; x^{2} + 3 x y z^{2} - y z + 1; (x + 3 y) + (2 x - - y)$ là đa thức.

$\frac{x + y}{x - y}, \frac{x^{2} + 2}{x^{2} - y^{2}}$ không phải là đa thức.

Thu gọn đa thức nhiều biến là làm cho trong đa thức đó không còn hai đơn thức nào đồng dạng.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} A = x^{3} - 2 x^{2} y - x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} \\ = x^{3} - 3 x^{2} y - 3 x y^{2} - y^{3} \end{array}$

Tính giá trị của đa thức

Để tính giá trị của một đa thức tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay những giá trị cho trước đó vào biểu thức xác định đa thức rồi thực hiện phép tính.

Ví dụ: Giá trị của biểu thức $x^{2} - 4 x y + 3 y^{2}$ tại x = 2, y = 1 là: $2^{2} - 4.2.1 + {3.1}^{2} = - 1$