Trả lời nhanh
Với điều kiện thường gặp ME = MA, ta chứng minh ΔMAB = ΔMEC (c.g.c) nên AB = CE và AB // CE (hai góc so le trong bằng nhau). Dùng ΔABM = ΔACM (c.c.c) suy ra AM ⊥ BC. Từ AB = AC = CE = BE còn suy ra ABEC là hình thoi.
Đề bài và cách hiểu đề
Đề đầy đủ thường được cho như sau: Cho tam giác ABC có AB = AC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Sau đó là các câu chứng minh quen thuộc: AB = CE, AB // CE, AM ⊥ BC, …
Lưu ý: nếu đề của em có thêm câu hỏi khác thì cách làm vẫn tương tự, vì các tam giác bằng nhau dưới đây dùng được cho hầu hết các ý.
Vẽ hình
Vẽ tam giác cân ABC (đỉnh A), lấy M là trung điểm đáy BC, nối A với M rồi kéo dài về phía M, lấy E sao cho ME = MA. Nối B với E và C với E.
Lời giải chi tiết
Câu a) Chứng minh AB = CE và AB // CE
Xét ΔMAB và ΔMEC có:
- MA = ME (theo cách lấy điểm E);
- ∠AMB = ∠EMC (hai góc đối đỉnh, vì A, M, E thẳng hàng và B, M, C thẳng hàng);
- MB = MC (M là trung điểm của BC).
Do đó ΔMAB = ΔMEC (c.g.c). Suy ra AB = CE (hai cạnh tương ứng) và ∠BAM = ∠CEM (hai góc tương ứng).
Hai góc ∠BAM và ∠CEM nằm ở vị trí so le trong của hai đường thẳng AB, CE cắt bởi cát tuyến AE. Hai góc này bằng nhau nên AB // CE.
Câu b) Chứng minh AM ⊥ BC
Xét ΔABM và ΔACM có:
- AB = AC (giả thiết);
- BM = CM (M là trung điểm của BC);
- AM chung.
Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c), suy ra ∠AMB = ∠AMC. Mà ∠AMB + ∠AMC = 180° (hai góc kề bù) nên mỗi góc bằng 90°. Vậy AM ⊥ BC.
Câu c) Chứng minh AC = BE, AC // BE và ABEC là hình thoi
Tương tự câu a, ΔMAC = ΔMEB (c.g.c) nên AC = BE và ∠CAM = ∠BEM, suy ra AC // BE.
Ta có AB = CE, AC = BE và AB = AC nên AB = BE = EC = CA. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi, nên ABEC là hình thoi. Điều này cũng giải thích vì sao AM ⊥ BC: hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau.
Vì sao làm như vậy? Mẹo nhận biết
- Thấy “trung điểm” + “lấy điểm đối xứng” (ME = MA) thì nghĩ ngay đến cặp tam giác bằng nhau có góc đối đỉnh tại M. Đây là mẫu quen thuộc để tạo ra hai đường thẳng song song.
- Muốn chứng minh vuông góc từ tam giác cân: dùng hai tam giác bằng nhau chia đôi tam giác cân (c.c.c) rồi cộng hai góc kề bù bằng 180°.
- Muốn chứng minh song song: tìm cặp góc so le trong (hoặc đồng vị) bằng nhau từ hai tam giác đã bằng nhau.
Lỗi sai thường gặp
- Quên nêu lý do “hai góc đối đỉnh” khi dùng ∠AMB = ∠EMC, nên bị trừ điểm.
- Viết sai thứ tự đỉnh tương ứng, ví dụ viết ΔMAB = ΔMCE. Thứ tự đúng phải là A ↔ E, B ↔ C.
- Dùng “AB = AC” để chứng minh ΔMAB = ΔMEC. Hai tam giác này không chứa cạnh AC, nên giả thiết đó không dùng được ở đây.
- Chỉ ra hai góc bằng nhau mà không nói rõ chúng ở vị trí so le trong của cặp đường thẳng nào.
Bài luyện tập
Bài 1. Với hình trên, chứng minh ∠ABC = ∠ACB.
Gợi ý: Từ ΔABM = ΔACM (c.c.c) suy ra ∠ABM = ∠ACM, tức ∠ABC = ∠ACB.
Bài 2. Cho AB = AC = 13 cm, BC = 10 cm. Tính AM, AE và diện tích hình thoi ABEC.
Đáp án: BM = 5 cm; vì AM ⊥ BC nên AM² = 13² − 5² = 144, AM = 12 cm. AE = 2·12 = 24 cm. Diện tích hình thoi = (AE · BC) : 2 = (24 · 10) : 2 = 120 cm².
Bài 3. Kẻ MH ⊥ AB tại H và MK ⊥ AC tại K. Chứng minh MH = MK.
Gợi ý: ΔAHM = ΔAKM (cạnh huyền – góc nhọn, vì ∠HAM = ∠KAM do ΔABM = ΔACM và AM chung), suy ra MH = MK.
Câu hỏi thường gặp
Nếu đề không ghi ME = MA thì làm thế nào?
Khi đó không thể chứng minh các tam giác bằng nhau như trên. Đề gốc thường có điều kiện ME = MA, em nên kiểm tra lại đề; nếu thiếu thì chỉ làm được các ý dựa vào AB = AC và M là trung điểm BC, như AM ⊥ BC.
Vì sao AB // CE?
Vì ΔMAB = ΔMEC nên ∠BAM = ∠CEM. Hai góc này ở vị trí so le trong của AB và CE với cát tuyến AE, nên AB // CE.
Tứ giác ABEC là hình gì?
ABEC là hình thoi vì AB = BE = EC = CA. Hai đường chéo AE và BC cắt nhau tại trung điểm M và vuông góc với nhau.
AM có phải là tia phân giác của góc BAC không?
Có. Từ ΔABM = ΔACM (c.c.c) suy ra ∠BAM = ∠CAM, nên AM là tia phân giác của góc BAC.