Giải Toán 8 Bài 1: Tứ giác

hoa Ngày: 27-09-2022 Lớp 8

2.7 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 8 Bài 1: Tứ giác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Tứ giác lớp 8.

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 1: Tứ giác

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 64 Toán 8 Tập 1: Trong các tứ giác ở hình 1, tứ giác nào luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác?

Giải Toán 8 Bài 1: Tứ giác (ảnh 1)

Phương pháp giải: Hình gồm đường thẳng a và một phần của mặt phẳng bị chia cắt bởi a được gọi là nửa mặt phẳng bờ a.

Lời giải:

a) Tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác

b) Tứ giác nằm trên hai nửa mặt phẳng có bờ $B C$ (hoặc bờ $C D$ )

c) Tứ giác nằm trên hai nửa mặt phẳng có bờ $A D$ (hoặc bờ $B C$ ).

Trả lời câu hỏi 2 trang 65 Toán 8 Tập 1: Quan sát tứ giác $A B C D$ ở hình $3$ rồi điền vào chỗ trống:

Giải Toán 8 Bài 1: Tứ giác (ảnh 2)

a) Hai đỉnh kề nhau: $A$ và $B$ , …

Hai đỉnh đối nhau: $A$ và $C$ , …

b) Đường chéo (đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau): $A C$ , …

c) Hai cạnh kề nhau: $A B$ và $B C$ , …

Hai cạnh đối nhau: $A B$ và $C D$ , …

d) Góc: $\hat{A}$ , …

Hai góc đối nhau: $\hat{A}$ và $\hat{C}$ , …

e) Điểm nằm trong tứ giác (điểm trong của tứ giác): $M$ , …

Điểm nằm ngoài tứ giác (điểm ngoài của tứ giác): $N$ , …

Lời giải:

a) Hai đỉnh kề nhau: $A$ và $B$ , $B$ và $C$ , $C$ và $D$ , $D$ và $A$ .

Hai đỉnh đối nhau: $A$ và $C$ , $B$ và $D$

b) Đường chéo (đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau): $A C, B D$ .

c) Hai cạnh kề nhau: $A B$ và $B C$ , $B C$ và $C D$ , $C D$ và $D A$ , $D A$ và $A B$

Hai cạnh đối nhau: $A B$ và $C D$ , $A D$ và $B C$ .

d) Góc: $\hat{A}$ , $\hat{B}$ , $\hat{C}$ , $\hat{D}$

Hai góc đối nhau: $\hat{A}$ và $\hat{C}$ , $\hat{B}$ và $\hat{D}$

e) Điểm nằm trong tứ giác (điểm trong của tứ giác): $M, P$ .

Điểm nằm ngoài tứ giác (điểm ngoài của tứ giác): $N, Q$ .

Trả lời câu hỏi 3 trang 65 Toán 8 Tập 1: a) Nhắc lại định lý về tổng ba góc của một tam giác.

Phương pháp giải: Trong một tam giác, tổng ba góc là $180^{o}$ .

Lời giải:

Định lý: Tổng ba góc của một tam giác là $180^{o}$ .

b) Vẽ tứ giác $A B C D$ tùy ý. Dựa vào định lý về tổng ba góc của một tam giác, hãy tính tổng $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} .$

Phương pháp giải: Trong một tam giác, tổng ba góc của một tam giác là $180^{o}$ .

Lời giải:

Giải Toán 8 Bài 1: Tứ giác (ảnh 3)

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào $Δ A B C$ ta có:

$\hat{A_{1}} + \hat{B} + \hat{C_{1}} = 180^{o}$

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào $Δ A D C$ ta có:

$\hat{A_{2}} + \hat{D} + \hat{C_{2}} = 180^{o}$

$\begin{aligned} \Rightarrow \hat{A_{1}} + \hat{B} + \hat{C_{1}} + \hat{A_{2}} + \hat{D} + \hat{C_{2}} = 180^{o} + 180^{o} \\ \Rightarrow (\hat{A_{1}} + \hat{A_{2}}) + \hat{B} + (\hat{C_{1}} + \hat{C_{2}}) + \hat{D} = 180^{o} + 180^{o} \\ \Rightarrow \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 360^{o} \end{aligned}$

Câu hỏi và bài tập (trang 66, 67 sgk Toán 8 tập 1)

Bài 1 trang 66 sgk Toán 8 tập 1: Tìm x ở hình 5, hình 6:

Giải Toán 8 Bài 1: Tứ giác (ảnh 4)

Phương pháp giải: Áp dụng định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng $360^{0} .$

Lời giải:

Áp dụng: Tổng bốn góc trong 1 tứ giác bằng 3600

Ta có: Ở hình 5

a) Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác vào tứ giác $A B C D$ ta được:

$\begin{aligned} \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 360^{0} \\ \Rightarrow \hat{D} = 360^{0} - (\hat{A} + \hat{B} + \hat{C}) \\ \Rightarrow x = 360^{0} - (110^{0} + 120^{0} + 80^{0}) \\ = 360^{0} - 310^{0} = 50^{0} \end{aligned}$

b) Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác vào tứ giác $E F G H$ ta được:

$\begin{aligned} \hat{E} + \hat{F} + \hat{G} + \hat{H} = 360^{0} \\ \Rightarrow \hat{G} = 360^{0} - (\hat{E} + \hat{F} + \hat{H}) \\ \Rightarrow x = 360^{0} - (90^{0} + 90^{0} + 90^{0}) \\ = 360^{0} - 270^{0} = 90^{0} \end{aligned}$

c) Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác vào tứ giác $A B D E$ ta được:

$\begin{aligned} \hat{A} + \hat{B} + \hat{D} + \hat{E} = 360^{0} \\ \Rightarrow \hat{D} = 360^{0} - (\hat{A} + \hat{B} + \hat{E}) \\ \Rightarrow x = 360^{0} - (65^{0} + 90^{0} + 90^{0}) \\ = 360^{0} - 245^{0} = 115^{0} \end{aligned}$

d) Ta có: $\hat{I K M} + 60^{0} = 180^{0}$ (hai góc kề bù) $\Rightarrow \hat{I K M} = 180^{0} - 60^{0} = 120^{0}$

$\hat{K M N} + 105^{0} = 180^{0}$ (hai góc kề bù) $\Rightarrow \hat{K M N} = 180^{0} - 105^{0} = 75^{0}$

Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác vào tứ giác $M N I K$ ta được:

$\begin{aligned} \hat{K M N} + \hat{M N I} + \hat{N I K} + \hat{I K M} = 360^{0} \\ \Rightarrow \hat{M N I} = 360^{0} - (\hat{K M N} + \hat{I K M} + \hat{N I K}) \\ \Rightarrow x = 360^{0} - (75^{0} + 120^{0} + 90^{0}) \\ = 360^{0} - 285^{0} = 75^{0} \end{aligned}$

Ở hình 6

a) Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác vào tứ giác $P Q R S$ ta được:

$\begin{aligned} \hat{P} + \hat{Q} + \hat{R} + \hat{S} = 360^{0} \\ \Rightarrow \hat{P} + \hat{Q} = 360^{0} - (\hat{S} + \hat{R}) \\ \Rightarrow x + x = 360^{0} - (65^{0} + 95^{0}) \\ \Rightarrow 2 x = 360^{0} - 160^{0} \\ \Rightarrow x = \frac{360^{0} - 160^{0}}{2} \\ \Rightarrow x = \frac{200^{0}}{2} \\ \Rightarrow x = 100^{0} \end{aligned}$

b) Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác vào tứ giác $M N P Q$ ta được:

$\begin{aligned} \hat{M} + \hat{N} + \hat{P} + \hat{Q} = 360^{0} \\ 3 x + 4 x + x + 2 x = 360^{0} \\ 10 x = 360^{0} \\ x = \frac{360^{0}}{10} = 36^{0} \end{aligned}$

Bài 2 trang 66 sgk Toán 8 tập 1: Góc kề bù với một góc của tứ giác gọi là góc ngoài của tứ giác.

Giải Toán 8 Bài 1: Tứ giác (ảnh 6)

a) Tính các góc ngoài của tứ giác ở hình 7a.

Phương pháp giải: Áp dụng định lý: Tổng các góc trong tứ giác bằng $360^{0}$

Lời giải:

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 360^{0}$ (định lý tổng các góc của tứ giác)

$\begin{array}{l} \hat{D} = 360^{0} - (\hat{A} + \hat{B} + \hat{C}) \\ = 360^{0} - (75^{0} + 90^{0} + 120^{0}) \\ = 360^{0} - 285^{0} \\ = 75^{0} \end{array}$

Ta có:

+) $\hat{B A D} + \hat{A_{1}} = 180^{0}$ (2 góc kề bù)

$\begin{array}{l} \hat{A_{1}} = 180^{0} - \hat{B A D} \\ = 180^{0} - 75^{0} = 105^{0} . \end{array}$

+) $\hat{B_{1}} + \hat{C B A} = 180^{0}$ (2 góc kề bù)

$\begin{array}{l} \hat{B_{1}} = 180^{0} - \hat{C B A} \\ = 180^{0} - 90^{0} = 90^{0} . \end{array}$

+) $\hat{C_{1}} + \hat{B C D} = 180^{0}$ (2 góc kề bù)

$\begin{array}{l} \hat{C_{1}} = 180^{0} - \hat{B C D} \\ = 180^{0} - 120^{0} = 60^{0} . \end{array}$

+) $\hat{D_{1}} + \hat{A D C} = 180^{0}$

$\begin{array}{l} \hat{D_{1}} = 180^{0} - \hat{A D C} \\ = 180^{0} - 75^{0} = 105^{0} . \end{array}$

b) Tính tổng các góc ngoài của tứ giác ở hình 7b (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài): $\hat{A_{1}} + \hat{B_{1}} + \hat{C_{1}} + \hat{D_{1}} = ?$

Phương pháp giải: Áp dụng định lý: Tổng các góc trong tứ giác bằng $360^{0}$

Lời giải:

Ta có:

+) $\hat{A} + \hat{A_{1}} = 180^{0}$ (2 góc kề bù) $\Rightarrow \hat{A_{1}} = 180^{0} - \hat{A}$

+) $\hat{B} + \hat{B_{1}} = 180^{0}$ (2 góc kề bù) $\Rightarrow \hat{B_{1}} = 180^{0} - \hat{B}$

+) $\hat{C} + \hat{C_{1}} = 180^{0}$ (2 góc kề bù) $\Rightarrow \hat{C_{1}} = 180^{0} - \hat{C}$

+) $\hat{D} + \hat{D_{1}} = 180^{0}$ (2 góc kề bù) $\Rightarrow \hat{D_{1}} = 180^{0} - \hat{D}$

Lại có: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 360^{0}$ (định lý tổng 4 góc trong tứ giác ABCD)

Ta có:

$\begin{array}{l} \hat{A_{1}} + \hat{B_{1}} + \hat{C_{1}} + \hat{D_{1}} \\ = (180^{0} - \hat{A}) + (180^{0} - \hat{B}) \\ + (180^{0} - \hat{C}) + (180^{0} - \hat{D}) \\ = 180^{0} .4 - (\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D}) \\ = 720^{0} - 360^{0} = 360^{0} . \end{array}$

c) Có nhận xét gì về tổng các góc ngoài của tứ giác?

Phương pháp giải: Áp dụng tính chất: Tổng hai góc kề bù bằng $180^{0}$

Lời giải:

Nhận xét: Tổng các góc ngoài của tứ giác bằng $360^{0}$

Bài 3 trang 67 sgk Toán 8 tập 1: Ta gọi tứ giác $A B C D$ trên hình $8$ có $A B = A D, C B = C D$ là hình "cái diều"

Giải Toán 8 Bài 1: Tứ giác (ảnh 7)

a) Chứng minh rằng $A C$ là đường trung trực của $B D .$

Phương pháp giải: Áp dụng: Tính chất: Một điểm thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Lời giải:

Ta có: $A B = A D$ (giả thiết) $\Rightarrow A$ thuộc đường trung trực của $B D$ (Theo tính chất một điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng thì thuộc đường trung trực của đoạn thẳng đó).

$C B = C D$ (giả thiết) $\Rightarrow C$ thuộc đường trung trực của $B D$ (Theo tính chất một điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng thì thuộc đường trung trực của đoạn thẳng đó).

Vậy $A C$ là đường trung trực của $B D .$

b) Tính $\hat{B}; \hat{D}$ biết rằng $\hat{A} = 100^{0}; \hat{C} = 60^{0}$ .

Phương pháp giải: Áp dụng: - Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng $360^{0}$

- Tính chất hai tam giác bằng nhau.

Lời giải:

Xét $∆ A B C$ và $∆ A D C$ có:

+) $A B = A D$ (giả thiết)

+) $B C = D C$ (giả thiết)

+) $A C$ cạnh chung

Suy ra $∆ A B C = ∆ A D C$ (c.c.c)

Giải Toán 8 Bài 1: Tứ giác (ảnh 9)

$\Rightarrow \hat{B} = \hat{D}$ (hai góc tương ứng)

Xét tứ giác $A B C D$ , ta có: $\hat{B} + \hat{B C D} + \hat{D} + \hat{B A D} = 360^{0}$ (Định lí tổng các góc của một tứ giác).

$\begin{array}{l} \Rightarrow \hat{B} + \hat{D} = 360^{0} - (\hat{B C D} + \hat{B A D}) \\ = 360^{0} - (60^{0} + 100^{0}) = 200^{0} \\ Mà \hat{B} = \hat{D} (chứng minh trên) \\ \Rightarrow \hat{B} + \hat{B} = 200^{0} \\ \Rightarrow 2 \hat{B} = 200^{0} \end{array}$

Do đó $\hat{B} = \hat{D} = 200^{0} : 2 = 100^{0} .$

Bài 4 trang 67 sgk Toán 8 tập 1: Dựa vào cách vẽ các tam giác đã học, hãy vẽ lại các tứ giác ở hình $9$ , hình $10$ vào vở.

Phương pháp giải: Áp dụng cách vẽ tam giác biết độ dài $3$ cạnh, $2$ cạnh và $1$ góc xen giữa.

Lời giải:

* Cách vẽ hình $9$ :

Vẽ $Δ A B C$ trước rồi vẽ $Δ A C D$ (hoặc ngược lại).

- Vẽ đoạn thẳng $A C = 3 c m$ .

- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $A C$ , vẽ cung tròn tâm $A$ bán kính $1, 5 c m$ với cung tròn tâm $C$ bán kính $2 c m$ .

- Hai cung tròn trên cắt nhau tại $B$ .

- Vẽ các đoạn thẳng $A B, A C$ ta được $Δ A B C$ .

- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $A C$ không chứa $B$ , vẽ cung tròn tâm $A$ bán kính $3 c m$ với cung tròn tâm $C$ bán kính $3, 5 c m$ .

- Hai cung tròn trên cắt nhau tại $D$ .

- Vẽ các đoạn thẳng $A D, A C$ ta được $Δ A D C$ .

Tứ giác $A B C D$ là tứ giác cần vẽ.

Giải Toán 8 Bài 1: Tứ giác (ảnh 11)

* Cách vẽ hình 10:

Vẽ $Δ M Q P$ trước rồi vẽ $Δ M N P$ .

Vẽ $Δ M Q P$ biết hai cạnh và góc xen giữa.

- Vẽ góc $\hat{x Q y} = 70^{0}$

- Trên tia $Q y$ lấy điểm $M$ sao cho $Q M = 2 c m .$

- Trên tia $Q x$ lấy điểm $P$ sao cho $Q P = 4 c m .$

- Vẽ đoạn thẳng $M P$ , ta được $Δ M Q P$ .

Vẽ $Δ M N P$ biết ba cạnh, với cạnh $M P$ đã vẽ.

- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $M P$ không chứa $Q$ , vẽ cung tròn tâm $M$ bán kính $1, 5 c m$ và cung tròn tâm $P$ bán kính $3 c m$ .

- Hai cung tròn trên cắt nhau tại $N .$

- Vẽ các đoạn thẳng $M N$ , $P N$ ta được $Δ M N P$ .

Tứ giác $M N P Q$ là tứ giác cần vẽ.

Giải Toán 8 Bài 1: Tứ giác (ảnh 12)

Bài 5 trang 67 sgk Toán 8 tập 1: Đố em tìm thấy vị trí của "kho báu" trên hình $11$ , biết rằng kho báu nằm tại giao điểm các đường chéo của tứ giác $A B C D$ , trong đó các đỉnh của tứ giác có tọa độ như sau: $A (3; 2), B (2; 7), C (6; 8), D (8; 5) .$

- Áp dụng cách xác định tọa độ của một điểm trên hệ trục tọa độ $O x y .$ Giải Toán 8 Bài 1: Tứ giác (ảnh 13)

Phương pháp giải: Áp dụng cách xác định tọa độ của một điểm trên hệ trục tọa độ $O x y .$

Lời giải:

Các bước làm như sau: - Xác định các điểm $A, B, C, D$ trên hình vẽ với $A (3; 2), B (2; 7), C (6; 8), D (8; 5)$ .

- Vẽ tứ giác $A B C D .$

- Vẽ hai đường chéo $A C$ và $B D$ . Gọi $K$ là giao điểm của hai đường chéo đó.

- Xác định tọa độ của điểm $K$ là $K (5; 6)$

Vậy vị trí kho báu có tọa độ $K (5; 6)$ trên hình vẽ.

Giải Toán 8 Bài 1: Tứ giác (ảnh 14)

Lý thuyết tứ giác

1. Các kiến thức cần nhớ

- Tứ giác: Định nghĩa : Tứ giác $A B C D$ là một hình gồm bốn đoạn thẳng $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A,$ trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.