Trả lời nhanh
Bài toán quỹ tích tìm hình gồm đúng những điểm có chung một tính chất. Làm đủ phần thuận (điểm có tính chất thì nằm trên hình), phần đảo (điểm trên hình thì có tính chất) và giới hạn, rồi mới kết luận. Bốn quỹ tích cơ bản của hình học lớp 8 là đường trung trực, tia phân giác, hai đường thẳng song song và đường tròn.
Bốn quỹ tích cơ bản và cách trình bày
Quỹ tích của những điểm có tính chất T là tập hợp mọi điểm có tính chất T, không thiếu và không thừa. Thiếu một phần thì chưa đủ điểm; thừa một phần thì có điểm không thỏa T. Vì vậy bài làm luôn có ba việc, viết theo thứ tự này.
- Phần thuận. Giả sử điểm M có tính chất T. Chỉ ra M phải thuộc một hình H xác định.
- Giới hạn. Xem M chỉ chạy trên một phần của H, ví dụ một tia, một cung, hay H bỏ đi vài điểm làm tam giác bị suy biến.
- Phần đảo. Lấy M bất kì trên phần hình vừa giới hạn, chứng minh M có tính chất T.
Kết luận một câu: quỹ tích của M là hình đó. Bỏ phần đảo thì mới chỉ chứng minh được M nằm trên H, chưa chứng minh mọi điểm của H đều dùng được.
Bốn mệnh đề cần thuộc trước khi đụng bài:
| Tính chất của M | Yếu tố cố định | Quỹ tích |
|---|---|---|
| Cách đều hai đầu đoạn thẳng | Đoạn AB cố định | Đường trung trực của AB |
| Nằm trong một góc và cách đều hai cạnh | Góc xOy cố định | Tia phân giác của góc đó |
| Cách một đường thẳng một khoảng h không đổi | Đường thẳng d và số h | Hai đường thẳng song song với d, mỗi đường cách d một khoảng h |
| Cách một điểm một khoảng R không đổi | Điểm O và số R | Đường tròn tâm O bán kính R |
Khi đọc đề, em khoanh ba chữ: cái gì cố định, cái gì không đổi (độ dài, khoảng cách, góc), cái gì chuyển động. Vẽ ba vị trí của điểm cần tìm. Ba điểm thẳng hàng thì nghĩ tới đường thẳng; ba điểm không thẳng hàng thì nghĩ tới đường tròn. Đó mới là dự đoán. Dự đoán chưa phải lời giải.
Hình minh họa quỹ tích thứ nhất: mọi điểm M trên đường trung trực d đều thỏa MA = MB, và mọi điểm thỏa MA = MB đều nằm trên d. Điểm I, trung điểm của AB, cũng thuộc quỹ tích vì IA = IB.
Năm ví dụ giải đủ thuận và đảo
Ví dụ 1. Cách đều hai đầu đoạn thẳng
Cho đoạn thẳng AB cố định. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho MA = MB.
Phần thuận. MA = MB nên M cách đều hai đầu đoạn AB. Theo quỹ tích cơ bản, M thuộc đường trung trực d của AB.
Giới hạn. Không có điều kiện nào khác, M chạy khắp đường thẳng d, kể cả trung điểm I của AB.
Phần đảo. Lấy M trên d. Đường trung trực là tập hợp các điểm cách đều A và B, nên MA = MB.
Kết luận. Quỹ tích là đường trung trực của AB.
Nếu đề đòi tam giác MAB cân tại M thì vẫn là đường trung trực, nhưng bỏ điểm I và mọi điểm nằm trên đường thẳng AB, vì khi M thẳng hàng với A và B thì không có tam giác.
Ví dụ 2. Cách đều hai cạnh của một góc
Cho góc xOy cố định, khác góc bẹt. Tìm quỹ tích các điểm M nằm trong góc và cách đều hai cạnh Ox, Oy.
Phần thuận. Kẻ MH vuông góc với Ox, MK vuông góc với Oy. Đề cho MH = MK và M ở miền trong. Đó đúng là tính chất của điểm trên tia phân giác Ot của góc xOy.
Giới hạn. M ở trong góc nên chỉ lấy tia Ot, không lấy tia đối của phân giác (tia đối nằm ngoài góc). Không lấy đỉnh O nếu em coi khoảng cách từ O tới mỗi cạnh bằng 0: O vẫn cách đều hai cạnh, và O là gốc của tia, nên O được giữ.
Phần đảo. M trên tia Ot thì khoảng cách từ M tới Ox bằng khoảng cách từ M tới Oy, và M nằm trong góc.
Kết luận. Quỹ tích là tia phân giác Ot của góc xOy.
Ví dụ 3. Cách một đường thẳng một khoảng không đổi
Cho đường thẳng d và độ dài h > 0. Tìm quỹ tích các điểm M cách d một khoảng bằng h.
Phần thuận. Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng là độ dài đường vuông góc kẻ từ điểm đó xuống đường thẳng. Tập hợp những điểm có cùng khoảng cách h tới d gồm đúng hai đường thẳng d1, d2 song song với d, nằm hai phía, mỗi đường cách d một khoảng h.
Giới hạn. Cả hai đường, trừ khi đề nói “về một phía của d”. Nếu đề giới hạn một nửa mặt phẳng thì chỉ còn một đường.
Phần đảo. M thuộc d1 hoặc d2 thì đường vuông góc từ M xuống d có độ dài h, nên khoảng cách đúng bằng h.
Kết luận. Quỹ tích là hai đường thẳng song song với d và cách d một khoảng h.
Ví dụ 4. Cách một điểm cố định một đoạn không đổi
Cho điểm O cố định và độ dài R > 0. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho OM = R.
Phần thuận và phần đảo là định nghĩa đường tròn: M cách O đúng R khi và chỉ khi M nằm trên đường tròn tâm O bán kính R. Không bỏ điểm nào. Kết luận: quỹ tích là đường tròn (O; R).
Nếu đề thêm “M nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuông” thì đó là đường tròn đường kính AB, bỏ hai điểm A và B. Mệnh đề này học kĩ ở lớp 9; ở lớp 8 em chỉ dùng khi thầy cô đã chứng minh.
Ví dụ 5. Trung điểm của bán kính đang quay
Cho đường tròn (O; R). Điểm M chạy trên đường tròn. Gọi I là trung điểm của đoạn OM. Tìm quỹ tích của I.
Phần thuận. I là trung điểm OM nên O, I, M thẳng hàng và OI = IM = OM / 2. M trên đường tròn nên OM = R, do đó OI = R / 2. Vậy I thuộc đường tròn (O; R/2).
Giới hạn. M chạy hết đường tròn thì tia OM quét mọi hướng. I cũng chạy hết đường tròn (O; R/2), không thiếu cung nào.
Phần đảo. Lấy I bất kì trên đường tròn (O; R/2). Trên tia OI lấy điểm M sao cho OM = 2 OI. Khi đó OM = 2 × (R/2) = R, nên M thuộc (O; R), và I là trung điểm OM.
Kết luận. Quỹ tích của I là đường tròn tâm O bán kính R/2.
Trường hợp riêng dễ kiểm: R = 6 cm thì quỹ tích là đường tròn tâm O bán kính 3 cm. Nếu I trùng O thì OI = 0, không xảy ra vì R/2 > 0.
Ba bài tự luyện
Bài 1. Tìm quỹ tích tâm các đường tròn đi qua hai điểm cố định A và B phân biệt.
Đáp án. Tâm O thỏa OA = OB (cùng bằng bán kính). Quỹ tích là đường trung trực của AB. Mọi điểm trên trung trực đều làm tâm được: bán kính lấy bằng khoảng cách từ điểm đó tới A. Trung điểm của AB cũng dùng được, bán kính bằng một nửa AB.
Bài 2. Cho đường thẳng d và một nửa mặt phẳng bờ d. Tìm quỹ tích các điểm thuộc nửa mặt phẳng đó và cách d đúng 4 cm.
Đáp án. Chỉ một đường thẳng song song với d, nằm trong nửa mặt phẳng đã cho, cách d 4 cm. Đường song song ở phía bên kia bị loại vì ngoài nửa mặt phẳng. Đây là chỗ phải viết giới hạn sau phần thuận.
Bài 3. Cho đường tròn (O; 5 cm). M chạy trên đường tròn. N là điểm sao cho O là trung điểm của MN. Tìm quỹ tích của N.
Đáp án. O là trung điểm MN nên O nằm giữa M và N, OM = ON và ba điểm thẳng hàng. M trên đường tròn nên OM = 5 cm, vậy ON = 5 cm. N thuộc đường tròn (O; 5 cm). Phần đảo: với N trên đường tròn này, lấy M là điểm đối xứng của N qua O thì OM = ON = 5 cm, M trên đường tròn đã cho và O là trung điểm MN. Quỹ tích của N chính là đường tròn (O; 5 cm).
Những chỗ dễ mất điểm
- Chỉ viết phần thuận. Thuận mới cho “M nằm trên H”. Đảo mới cho “H không thừa điểm”. Thiếu đảo, kết luận chưa đủ.
- Quên giới hạn. Điểm cách đều hai cạnh của một góc mà lấy cả đường thẳng phân giác thì nửa đường thẳng phía ngoài không nằm trong góc.
- Nhầm trung trực với trung tuyến. Trung tuyến kẻ từ đỉnh tới trung điểm cạnh đối trong một tam giác. Trung trực là đường thẳng qua trung điểm và vuông góc với đoạn. Quỹ tích cách đều hai đầu mút là trung trực, không phải một trung tuyến của một tam giác có sẵn.
- Nhầm phân giác với đường cao. Phân giác dùng cho điểm cách đều hai cạnh. Đường cao dùng cho góc vuông hoặc khoảng cách xuống đáy.
- Lấy cả hai đường song song khi đề chỉ một phía. Đọc lại chữ “trong nửa mặt phẳng”, “phía trong góc”, “không nằm trên đoạn AB”.
Khi trình bày, nên vẽ hình có tên điểm cố định trước, đặt tên hình H (d, Ot, d1, đường tròn), rồi viết thuận, giới hạn, đảo, kết luận thành bốn dòng ngắn. Bài quỹ tích cho điểm ở cách lập luận, không cho điểm vì vẽ được một nét đứt mà không nói vì sao.
Câu hỏi thường gặp
Quỹ tích là gì?
Quỹ tích của những điểm có tính chất T là hình gồm tất cả những điểm có tính chất đó, không thiếu điểm và không thừa điểm.
Bài toán quỹ tích cần mấy phần?
Ba phần: thuận, giới hạn, đảo. Kết luận nêu tên hình quỹ tích sau khi cả ba phần đã xong.
Quỹ tích các điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng là gì?
Là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Quỹ tích các điểm cách một điểm O một khoảng R là gì?
Là đường tròn tâm O bán kính R.
Vì sao có hai đường thẳng song song trong quỹ tích khoảng cách tới một đường?
Một đường thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa. Mỗi nửa có một đường song song cách đường đã cho đúng khoảng h.