Với giải Bài 5.13 trang 88 Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống trong Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán
Bài 5.13 trang 88 Toán lớp 10: Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:
a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
Phương pháp giải:
Khoảng biến thiên R=Số lớn nhất-Số nhỏ nhất
Khoảng tứ phân vị
Phương sai:
Độ lệch chuẩn:
Lời giải:
n=10
Giả sử sau khi sắp xếp 10 số dương theo thứ tự không giảm thì được:
=> Trung vị là giá trị trung bình của số thứ 5 và thứ 6.
=> là số thứ 3 và là số thứ 8.
a) Khi nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì:
+ Số lớn nhất tăng 2 lần và số nhỏ nhất tăng 2 lần
=> R tăng 2 lần
+ và tăng 2 lần
=> Khoảng tứ phân vị tăng 2 lần.
+ Giá trị trung bình tăng 2 lần
=> Độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình cũng tăng 2 lần
=> tăng 4 lần
=> Phương sai tăng 4 lần
=> Độ lệch chuẩn tăng 2 lần.
Vậy R tăng 2 lần, khoảng tứ phân vị tăng 2 lần và độ lệch chuẩn tăng 2 lần.
b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì
+ Số lớn nhất tăng 2 đơn vị và số nhỏ nhất tăng 2 đơn vị
=> R không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.
+ và tăng 2 đơn vị
=> Khoảng tứ phân vị không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.
+ Giá trị trung bình tăng 2 đơn vị
=> Độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.
=> không đổi
=> Phương sai không đổi.
=> Độ lệch chuẩn không đổi.
Vậy khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn đều không đổi.
Bài tập vận dụng:
Bài 1. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
a) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn;
b) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại;
c) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của các giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất;
d) Các số đo độ phân tán đều không âm.
Hướng dẫn giải
a) Sai.
Nếu các giá trị của mẫu số liệu đều tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch của mỗi giá trị xi – càng nhỏ.
Ta suy ra (xi – )2 cũng càng nhỏ.
Do đó tổng các bình phương độ lệch cũng càng nhỏ.
Mà độ lệch chuẩn tỉ lệ thuận với tổng các bình phương độ lệch.
Vậy trong trường hợp này, độ lệch chuẩn càng nhỏ.
b) Đúng.
Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mà bỏ qua thông tin từ tất cả các giá trị khác. Do đó, khoảng biến thiên rất dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.
c) Sai.
Khoảng tứ phân vị chỉ sử dụng 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp.Vậy khoảng biến thiên không sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất.
d) Đúng.
Khoảng biến thiên là hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất. Do đó khoảng biến thiên luôn không âm.
Khoảng tứ phân vị là hiệu của tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất. Do đó khoảng tứ phân vị luôn không âm.
Phương sai là tổng các bình phương các độ lệch nên luôn không âm.
Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai nên độ lệch chuẩn luôn không âm.
Bài 2. Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg):
2,8 2,5 3,1 3,3 2,9 3,5 4,1 2,8 3,0 3,3
Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu trên.
Hướng dẫn giải
+ Khoảng biến thiên:
Số cân nặng cao nhất, thấp nhất lần lượt là 4,1 (kg) và 2,5 (kg). Do đó khoảng biến thiên là R = 4,1 – 2,5 = 1,6 (kg).
+ Khoảng tứ phân vị:
Trước hết, ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:
2,52,82,82,93,0 3,13,33,33,54,1
Mẫu số liệu trên gồm 10 giá trị, hai phần tử chính giữa là 3,0 và 3,1.
Do đó trung vị là Q2 = (3,0 + 3,1) : 2 = 3,05.
Nửa số liệu bên trái là 2,5; 2,8; 2,8; 2,9; 3,0 gồm 5 giá trị. Do đó trung vị là số ở vị trí chính giữa Q1 = 2,8.
Nửa số liệu bên phải là 3,1; 3,3; 3,3; 3,5; 4,1 gồm 5 giá trị, Do đó trung vị là số ở vị trí chính giữa Q3 = 3,3.
Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là ∆Q = Q3 – Q1 = 3,3 – 2,8 = 0,5.
+ Độ lệch chuẩn:
Số trung bình của mẫu số liệu là:
= 3,13
Ta có bảng sau:
Giá trị |
Độ lệch |
Bình phương độ lệch |
2,8 |
2,8 – 3,13 = – 0,33 |
0,1089 |
2,5 |
2,5 – 3,13 = – 0,63 |
0,3969 |
3,1 |
3,1 – 3,13 = – 0,03 |
0,0009 |
3,3 |
3,3 – 3,13 = 0,17 |
0,0289 |
2,9 |
2,9 – 3,13 = – 0,23 |
0,0529 |
3,5 |
3,5 – 3,13 = 0,37 |
0,1369 |
4,1 |
4,1 – 3,13 = 0,97 |
0,9409 |
2,8 |
2,8 – 3,13 = – 0,33 |
0,1089 |
3,0 |
3,0 – 3,13 = – 0,13 |
0,0169 |
3,3 |
3,3 – 3,13 = 0,17 |
0,0289 |
Tổng |
1,821 |
Mẫu số liệu gồm 10 giá trị nên n = 10. Do đó phương sai là: s2 = = 0,1821.
Độ lệch chuẩn là: s = ≈ 0,4267.
Bài 3. Tỉ lệ thất nghiệp từ năm 2006 – 2020 tại Việt Nam (đơn vị %) được cho như sau:
0,00; 2,03; 0,00; 1,74; 1,11; 1,00; 1,03 ; 1,32; 1,26; 1,85; 1,85; 1,87; 1,16; 2,04; 2,39.
Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.
Hướng dẫn giải
Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm ta có:
0,00; 0,00; 1,00; 1,03; 1,11; 1,16; 1,26; 1,32; 1,74; 1,85; 1,85; 1,87; 2,03; 2,04; 2,39.
Từ mẫu số liệu trên, ta tính được Q2 = 1,32; Q1 = 1,03 và Q3 = 1,87. Do đó khoảng tứ phân vị là:
∆Q = Q3 – Q1 = 1,87 – 1,03 = 0,84.
Biểu đồ hộp cho mẫu số liệu này là:
Ta có Q1 – 1,5.∆Q = – 0,23 và Q3 + 1,5.∆Q = 3,13 nên trong mẫu số liệu trên không có giá trị nào được xem là bất thường.
Xem thêm các bài giải Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:
Bài 5.11 trang 88 Toán lớp 10: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?...
Bài 5.12 trang 88 Toán lớp 10: Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như sau:...
Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 13: Các số đặc trưng đo trung tâm xu thế
Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán