Luyện tập 3 trang 87 Toán 10 tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Thảo Ngày: 23-08-2024 Lớp 10

2.6 K

Với giải Luyện tập 3 trang 87 Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống trong Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán

Luyện tập 3 trang 87 Toán lớp 10: Dùng đồng hồ đo thời gian có độ chia nhỏ nhất đến 0,001 giây để đo 7 lần thời gian rơi tự do của một vật bắt đầu từ điểm A $(v_{A} = 0)$ đến điểm B. Kết quả đo như sau:

0,398 0,399 0,408 0,410 0,406 0,405 0,402.

(Theo Bài tập Vật lý 10, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2018)

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này. Qua các đại lượng này, em có nhận xét gì về độ chính xác của phép đo trên?

Phương pháp giải:

Giá trị trung bình: $\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n}$

Phương sai:

$s^{2} = \frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + . . . + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n}$

Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^{2}}$

Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ chính xác càng thấp.

Lời giải:

Ta có giá trị trung bình:

$\bar{x} = \frac{0, 398 + 0, 399 + 0, 408 + 0, 410 + 0, 406 + 0, 405 + 0, 402}{7}$

$= 0, 404$

Ta có bảng sau:

Giá trị	Độ lệch	Bình phương độ lệch
0,398	0,006	$3, {6.10}^{- 5}$
0,399	0,005	$2, {5.10}^{- 5}$
0,408	0,004	$1, {6.10}^{- 5}$
0,410	0,006	$3, {6.10}^{- 5}$
0,406	0,002	$0, {4.10}^{- 5}$
0,405	0,001	$0, {1.10}^{- 5}$
0,402	0,002	$0, {4.10}^{- 5}$
Tổng		$12, {2.10}^{- 5}$

Phương sai:

$s^{2} = \frac{12, {2.10}^{- 5}}{7} \approx 0, 000017$

Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^{2}} \approx 4, {17.10}^{- 3}$

Phép đo có độ chính xác cao.

Lý thuyết Phương sai và độ lệch chuẩn

Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu (bỏ qua thông tin của tất cả các giá trị khác). Khoảng tứ phân vị chỉ sử dụng thông tin của 50% số liệu chính giữa. Có một vài số đặc trưng khác đo độ phân tán sử dụng thông tin của tất cả các giá trị trong mẫu số liệu. Hai trong số đó là phương sai và độ lệch chuẩn.

Cụ thể với mẫu số liệu x₁, x₂,..., x_n, nếu gọi số trung bình là $\bar{x}$ thì với mỗi giá trị x_i, độ lệch của nó so với giá trị trung bình là x_i – $\bar{x}$ .

•Phương sai là giá trị $s^{2} = \frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + ... + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n}$ .

•Căn bậc hai của phương sai, s = $\sqrt{s^{2}}$ , được gọi là độ lệch chuẩn.

Chú ý: Người ta còn sử dụng đại lượng để đo độ phân tán của mẫu số liệu:

${\hat{s}}^{2} = \frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + ... + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n - 1}$ .

Ý nghĩa: Nếu số liệu càng phân tán thì phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn.

Ví dụ: Mẫu số liệu sau đây cho biết số học sinh được lên lớp của 7 lớp khối 10 tại một trường Trung học phổ thông:

45424740414442

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu trên. Qua các đại lượng này, em có nhận xét gì về độ phân tán của mẫu số liệu?

Hướng dẫn giải

Số trung bình của mẫu số liệu là: $\bar{x} = \frac{45 + 42 + 47 + 40 + 41 + 44 + 42}{7}$ = 43.

Ta có bảng sau:

Giá trị	Độ lệch	Bình phương độ lệch
45	45 – 43 = 2	4
42	42 – 43 = –1	1
47	47 – 43 = 4	16
40	40 – 43 = –3	9
41	41 – 43 = –2	4
44	44 – 43 = 1	1
42	42 – 43 = –1	1
Tổng		36