Với giải Hoạt động 5 trang 74 Toán lớp 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Hoạt động 5 trang 74 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB =c và diện tích là S. (Hình 24).

a) Từ định lí cosin, chứng tỏ rằng:

$\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ ở đó $p=\frac{a+b+c}{2}$

b) Bằng cách sử dụng công thức $S=\frac{1}{2}bc\sin A$,hãy chứng tỏ rằng: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính cos A theo a, b, c.

Bước 2: Tính sin A theo cos A.

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A$$\Rightarrow \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Mà $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$.

$\Rightarrow \sin A=\sqrt{1-{\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}^2}=\sqrt{\frac{{(2bc)}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}{{(2bc)}^2}}$

$\iff \sin A=\frac{1}{2bc}\sqrt{{(2bc)}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}$

Đặt $M=\sqrt{{(2bc)}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}$

$\begin{array}{l}\iff M=\sqrt{(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^2-c^2+a^2)}\\ \iff M=\sqrt{\left[{(b+c)}^2-a^2\right].\left[a^2-{(b-c)}^2\right]}\\ \iff M=\sqrt{(b+c-a)(b+c+a)(a-b+c)(a+b-c)}\end{array}$

Ta có: $a+b+c=2p$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}b+c-a=2p-2a=2(p-a)\\ a-b+c=2p-2b=2(p-b)\\ a+b-c=2p-2c=2(p-c)\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff M=\sqrt{2(p-a).2p.2(p-b).2(p-c)}\\ \iff M=4\sqrt{(p-a).p.(p-b).(p-c)}\\ \Rightarrow \sin A=\frac{1}{2bc}.4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\ \iff \sin A=\frac{2}{bc}.\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\end{array}$

b) Ta có: $S=\frac{1}{2}bc\sin A$

Mà $\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow S=\frac{1}{2}bc.\left(\frac{2}{bc}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\right)\\ \iff S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.\end{array}$

Lý thuyết Tính diện tích tam giác

Công thức tính diện tích tam giác:

• Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Khi đó, diện tích S của tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}$bc.sinA = $\frac{1}{2}$ca.sin = $\frac{1}{2}$ab.sinC

Ví dụ: Cho tam giác ABC có BC = $4\sqrt{2}$, $\widehat{\mathrm{A}}$= 45°, $\widehat{\mathrm{B}}$= 120°. Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\widehat{\mathrm{A}}$ + $\widehat{\mathrm{B}}$ + $\widehat{\mathrm{C}}$= 180° (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra: $\widehat{\mathrm{C}}$= 180° – $\widehat{\mathrm{A}}$ – $\widehat{\mathrm{B}}$ = 180° – 45° – 120° = 15°

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{sinA}}$ = $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{sinB}}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{sinC}}$

Suy ra:

AC = $\frac{\mathrm{BC}.\mathrm{sinB}}{\mathrm{sinA}}$ = $\frac{4\sqrt{2}.\sin 120°}{\sin 45°}$ = $4\sqrt{3}$;

AB = $\frac{\mathrm{AC}.\mathrm{sinC}}{\mathrm{sinB}}$= $\frac{4\sqrt{3}.\sin 15°}{\sin 120°}$ = $2\sqrt{6}-2\sqrt{2}$;

Diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}$AC.AB.sinA = $\frac{1}{2}.4\sqrt{3}.(2\sqrt{6}-2\sqrt{2}).\sin 45°$ = $12-4\sqrt{3}$(đơn vị diện tích).

• Công thức Heron:

Công thức toán học Heron được sử dụng để tính diện tích của một tam giác theo độ dài ba cạnh như sau:

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, $\mathrm{p}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}$. Khi đó, diện tích S của tam giác ABC là:

$\mathrm{S}=\sqrt{\mathrm{p}(\mathrm{p}-\mathrm{a})(\mathrm{p}-\mathrm{b})(\mathrm{p}-\mathrm{c})}$.

Trong đó p là nửa chu vi tam giác ABC.

Ví dụ: Chứng minh công thức Heron.

Hướng dẫn giải:

Gọi a, b, c lần lượt là 3 cạnh của tam giác và A, B, C lần lượt là các góc đối diện của các cạnh. Theo hệ quả định lý cosin, ta có:

cosC = $\frac{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2}{2\mathrm{ab}}$.

Mà:

sin²C + cos²C = 1

⇒ sinC = $\sqrt{1-{\cos }^2\mathrm{C}}$= $\sqrt{1-{\left(\frac{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2}{2\mathrm{ab}}\right)}^2}$= $\frac{\sqrt{4{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2-{({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2)}^2}}{2\mathrm{ab}}$

Ta có công thức tính diện tích tam giác ABC:

S = $\frac{1}{2}$absinC

   = $\frac{1}{2}$ab. $\frac{\sqrt{4{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2-{({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2)}^2}}{2\mathrm{ab}}$

   = $\frac{1}{4}$$\sqrt{4{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2-{({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2)}^2}$

   = $\frac{1}{4}\sqrt{(2\mathrm{ab}-({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2\left)\right)(2\mathrm{ab}+({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2\left)\right)}$

   = $\frac{1}{4}\sqrt{({\mathrm{c}}^2-{(\mathrm{a}-\mathrm{b})}^2)({(\mathrm{a}+\mathrm{b})}^2-{\mathrm{c}}^2)}$

   = $\frac{1}{4}\sqrt{(\mathrm{c}-(\mathrm{a}-\mathrm{b}\left)\right)(\mathrm{c}+(\mathrm{a}-\mathrm{b}\left)\right)\left(\right(\mathrm{a}+\mathrm{b})-\mathrm{c})\left(\right(\mathrm{a}+\mathrm{b})+\mathrm{c})}$

   = $\frac{1}{4}\sqrt{(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})(\mathrm{c}-\mathrm{a}+\mathrm{b})(\mathrm{c}+\mathrm{a}-\mathrm{b})(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c})}$

   = $\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}).\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}-2\mathrm{a}).\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}-2\mathrm{b}).\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}-2\mathrm{c})$

   = $\sqrt{\mathrm{p}(\mathrm{p}-\mathrm{a})(\mathrm{p}-\mathrm{b})(\mathrm{p}-\mathrm{c})}$

Với $\mathrm{p}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}$.

Suy ra $\mathrm{S}=\sqrt{\mathrm{p}(\mathrm{p}-\mathrm{a})(\mathrm{p}-\mathrm{b})(\mathrm{p}-\mathrm{c})}$ (đpcm).

Ví dụ: Cho tam giác ABC có BC = 9, CA = 6, AB = 5. Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Nửa chu vi tam giác ABC là:

$\mathrm{p}=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}+\mathrm{BC}}{2}$= $\frac{5+6+9}{2}$= 10

Áp dụng công thức Heron, diện tích tam giác ABC là:

$\mathrm{S}=\sqrt{\mathrm{p}(\mathrm{p}-\mathrm{AB})(\mathrm{p}-\mathrm{AC})(\mathrm{p}-\mathrm{BC})}$= $\sqrt{10(10-5)(10-6)(10-9)}$= $10\sqrt{2}$(đvdt)

Xem thêm các bài giải Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Câu hỏi khởi động trang 72 Toán lớp 10: Từ xa xưa, con người đã cần đo đạc các khoảng cách mà không thể trực tiếp đo được. Chẳng hạn, để đo khoảng cách từ vị trí A trên bờ biển tới một hòn đảo (hay con tàu,...) trên biển, người xưa đã tìm ra một cách đo khoảng cách đó như sau: ...

Hoạt động 1 trang 72 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có...

Hoạt động 2 trang 72 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có...

Hoạt động 3 trang 73 Toán lớp 10: Viết công thức định lí sin cho tam giác ABC....

Luyện tập vận dụng 1 trang 74 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có AB = 12;...

Luyện tập vận dụng 2 trang 76 Toán lớp 10: Từ trên nóc của một tòa nhà cao 18,5 m, bạn Nam quan sát một cái cây cách tòa nhà 30 m...

Bài 1 trang 77 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có...

Bài 2 trang 77 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có...

Bài 3 trang 77 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có...

Bài 4 trang 77 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có...

Bài 5 trang 77 Toán lớp 10: Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau:...

Bài 6 trang 77 Toán lớp 10: Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A và B mà ta không thể đi trực tiếp từ A đến B (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy, …),...

Bài 7 trang 77 Toán lớp 10: Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là...

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác

Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Bài 3: Khái niệm vectơ

Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 5: Tích của một số với một vectơ